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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Periodic Structures
The $G_{j j^{\prime}}(\omega)$ two-atom terms are written in free space as sums over wave vectors $\boldsymbol{k}$ of the phase-difference factors $\left(\boldsymbol{\wp} \cdot \boldsymbol{\epsilon}\lambda\right)^2 \exp (i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{R})$, where $\boldsymbol{\epsilon}\lambda$ is a unit vector of polarization and $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{r}j-\boldsymbol{r}{j^{\prime}}$. By contrast, in periodic, dispersive structures, these terms and their contributions to the self-energy can be evaluated in the normalmode basis of the structure described in Chapters 3 and 4 . On separating its real and imaginary parts, we may evaluate in the Markovian limit the principal-value term, $\Delta_{j j^{\prime}}$, that corresponds to the cooperative Lamb (RDDI) shift, and the $\delta$-function term, $\gamma_{j j^{\prime}}$, that represents the cooperative contribution to the line width or rate of fluorescence (spontaneous emission):
$$
\begin{aligned}
\gamma_{j j^{\prime}}-i \Delta_{j j^{\prime}}=& \frac{2 \pi}{\mathcal{V}} \sum_\alpha \omega_\alpha \phi_\alpha^*\left(\boldsymbol{r}j\right) \phi\alpha\left(\boldsymbol{r}{j^{\prime}}\right)\left(\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{\epsilon}\lambda\right)^2 \
& \times\left[\delta\left(\omega_\alpha-\omega_{\mathrm{a}}\right)-i P\left(\frac{1}{\omega_\alpha-\omega_{\mathrm{a}}}+\frac{1}{\omega_\alpha+\omega_{\mathrm{a}}}\right)\right],
\end{aligned}
$$
where (as in Sec. 8.1.1) $\omega_\alpha$ and $\phi_\alpha\left(\boldsymbol{r}_j\right)$ denote the mode frequency and mode function, respectively, $\alpha=(\boldsymbol{K}, n, \lambda)$, where $\hbar \boldsymbol{K}$ is the mode quasimomentum, $n$ is the Brillouin zone number (Ch. 3), and $\mathcal{V}$ is the quantization volume.
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Isotropic Structures
In what follows, (8.15) will be evaluated in the mode-continuum limit for isotropic media in which $\omega$ depends only on the modulus of $\boldsymbol{K}$, so that
$$
\sum_{\alpha=(\boldsymbol{K}, n, \lambda)} \rightarrow \mathcal{V} \sum_{n, \lambda} \int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}} \int K^2 d K
$$
where $\int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}}$ denotes solid-angle integration. This assumption can be invoked in three-dimensional (3D) periodic structures (photonic crystals), upon approximating the polyhedral Brillouin surface in $\boldsymbol{K}$ space by a sphere, so that $\int K^2 d K$ extends over the $n$th Brillouin zone.
To evaluate $\Delta_{j j^{\prime}}$ and $\gamma_{j j^{\prime}}$ in such media, we must first integrate (8.15) over all angles and sum over the mode polarizations. Then, for plane wave $\phi_\alpha$.
$$
\sum_{\lambda=1}^2 \int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}}\left(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon}\lambda\right)^2 \phi\alpha^\left(\boldsymbol{r}j\right) \phi\alpha\left(\boldsymbol{r}{j^{\prime}}\right)=\frac{1}{2} \int d \Omega{\hat{\boldsymbol{K}}}\left[1-(\hat{\boldsymbol{\beta}} \cdot \boldsymbol{K})^2\right] e^{i \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{R}} \equiv f(K R),
$$
(8.17a)
where $\hat{\jmath}$ denotes the unit vector along the atomic dipole $\wp$. This integral may be explicitly performed for two-atom quasi-molecular dimer states, such that $\wp | \boldsymbol{R}$ (dimer $\Sigma$ states) or $\wp \perp \boldsymbol{R}$ (dimer $\Pi$ states),
$$
\begin{aligned}
&f_{\Sigma}(K R)=3\left[\frac{\sin K R}{(K R)^3}-\frac{\cos K R}{(K R)^2}\right], \
&f_{\Pi}(K R)=-\frac{3}{2}\left[\frac{\sin K R}{(K R)^3}-\frac{\cos K R}{(K R)^2}-\frac{\sin K R}{K R}\right] .
\end{aligned}
$$
In periodic structures conforming to the isotropic approximation, these expressions can be generalized to Bloch waves $\phi_\alpha$, yielding, upon averaging over $r_1$ and the orientations of $\boldsymbol{R}$,
$$
\begin{gathered}
\sum_{\lambda=1}^2 \int d \Omega_{\hat{K}}\left(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon}\lambda\right)^2\left\langle\phi\alpha^\left(\boldsymbol{r}j\right) \phi\alpha\left(\boldsymbol{r}{j^{\prime}}\right)\right\rangle=\frac{1}{2} f_n(K R) \Phi_n^{j j^{\prime}}(K), \ \Phi_n^{j j^{\prime}}(K)=\sum_g \frac{\sin g R}{g R}\left(\left|C{g \alpha}\right|^2+\sum_{g^{\prime}} \sum_{\left(g^{\prime} \neq g\right)} C_{g \alpha}^* C_{g^{\prime} \alpha} \frac{\sin \left|g-g^{\prime}\right| r_{j^{\prime}}}{\left|g-g^{\prime}\right| r_{j^{\prime}}}\right),
\end{gathered}
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Periodic Structures
这 $G_{j j^{\prime}}(\omega)$ 两个原子项写在自由空间中作为波向量的总和 $k$ 相位差因数 $(\wp \cdot \epsilon \lambda)^2 \exp (i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{R})$ ，在哪里 $\epsilon \lambda$ 是偏振的单位向量，并且 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{r} j-\boldsymbol{r} j^{\prime}$. 相比之下，在周期性的色散结构中，这些项及其对自能的贡献可 以在第 3 章和第 4 章中描述的结构的正営模式基础上进行评估。在分离它的实部和虚部时，我们可以在马 尔可夫极限中评估主值项， $\Delta_{j j^{\prime}}$ ，这对应于合作 Lamb (RDDI) 偏移，并且 $\delta$-功能术语， $\gamma_{j j^{\prime}}$ ，表示对线宽或 莡光率 (自发发射) 的协同贡献:
$$
\gamma_{j j^{\prime}}-i \Delta_{j j^{\prime}}=\frac{2 \pi}{\mathcal{V}} \sum_\alpha \omega_\alpha \phi_\alpha^*(\boldsymbol{r} j) \phi \alpha\left(\boldsymbol{r} j^{\prime}\right)(\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \lambda)^2 \quad \times\left[\delta\left(\omega_\alpha-\omega_{\mathrm{a}}\right)-i P\left(\frac{1}{\omega_\alpha-\omega_{\mathrm{a}}}+\frac{1}{\omega_\alpha+\omega_{\mathrm{a}}}\right)\right],
$$
哪里 (如第 8.1.1 节) $\omega_\alpha$ 和 $\phi_\alpha\left(\boldsymbol{r}_j\right)$ 分别表示模式频率和模式函数， $\alpha=(\boldsymbol{K}, n, \lambda)$ ，在哪里 $\hbar \boldsymbol{K}$ 是模拟动 量， $n$ 是布里渊区编号 (第 3 章)，以及 $\mathcal{V}$ 是量化体积。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Cooperative Self-Energy in Isotropic Structures
在下文中，(8.15) 将在各向同性介质的模态连续极限中进行评估，其中 $\omega$ 只取决于模数 $\boldsymbol{K}$ ，以便
$$
\sum_{\alpha=(\boldsymbol{K}, n, \lambda)} \rightarrow \mathcal{V} \sum_{n, \lambda} \int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}} \int K^2 d K
$$
在哪里 $\int d \Omega_{\hat{K}}$ 表示立体角积分。这个假设可以在三维 (3D) 周期结构 (光子晶体) 中调用，在近似于多面 体布里渊表面 $K$ 一个球体的空间，所以 $\int K^2 d K$ 延伸到 $n$ 布里渊区。
评估 $\Delta_{j j^{\prime}}$ 和 $\gamma_{j j^{\prime}}$ 在这样的介质中，我们必须首先在所有角度上积分 (8.15) 并对模式极化求和。那么，对于平 面波 $\phi_\alpha$.
$$
\sum_{\lambda=1}^2 \int d \Omega_{\hat{\boldsymbol{K}}}(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \lambda)^2 \phi \alpha^{(\boldsymbol{r} j)} \phi \alpha\left(\boldsymbol{r} j^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \int d \Omega \hat{\boldsymbol{K}}\left[1-(\hat{\boldsymbol{\beta}} \cdot \boldsymbol{K})^2\right] e^{i \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{R}} \equiv f(K R),
$$
其中 $\hat{\jmath}$ 表示沿原子偶极子的单位向量 $\wp$. 该积分可以明确地针对双原子准分子二聚体状态执行，使得 $\wp \mid \boldsymbol{R}$ (二聚体 $\Sigma$ 州) 或 $\wp \perp \boldsymbol{R}$ (二聚体П状态)，
$$
f_{\Sigma}(K R)=3\left[\frac{\sin K R}{(K R)^3}-\frac{\cos K R}{(K R)^2}\right], \quad f_{\Pi I}(K R)=-\frac{3}{2}\left[\frac{\sin K R}{(K R)^3}-\frac{\cos K R}{(K R)^2}-\frac{\sin K R}{K R}\right] .
$$
在符合各向同性近似的周期性结构中，这些表达式可以推广到布洛赫波 $\phi_\alpha$ ，屈服，平均超过 $r_1$ 和方向 $\boldsymbol{R}$ ～
$$
\sum_{\lambda=1}^2 \int d \Omega_{\hat{K}}(\hat{\boldsymbol{\rho}} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \lambda)^2\left\langle\phi \alpha^{(\boldsymbol{r} j)} \phi \alpha\left(\boldsymbol{r} j^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{1}{2} f_n(K R) \Phi_n^{j j^{\prime}}(K), \Phi_n^{j j^{\prime}}(K)=\sum_g \frac{\sin g R}{g R}\left(|C g \alpha|^2+\sum_{g^{\prime}} \sum_{\left(g^{\prime} \neq g\right)}\right.
$$
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