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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Symmetry Considerations
From the $N$ linearly independent states $\left|e_j\right\rangle$, we construct, by orthogonalization to $\left|\phi^{(N]}}\right\rangle$, the $N-1$ states
$$
\begin{aligned}
\left|\phi_l^{\mid N}{ }^{1]}\right\rangle &=-\frac{1}{\sqrt{N}}\left|e_N\right\rangle+\sum_{j=1}^{N-1}\left[\frac{1+(1 / \sqrt{N})}{N-1}-\delta_{j l}\right]\left|e_j\right\rangle \
& \equiv \sum_{j=1}^N f_j^l\left|e_j\right\rangle, \quad l=1,2, \ldots, N-1 .
\end{aligned}
$$
The states (7.51) are normalized to 1 and orthogonal to each other and to $\left|\phi^{[N]}\right\rangle$. They comprise the basis of the irreducible representation characterized by the Young tableau ${N-1,1}$.
The wave function of the singly excited multiatom state can be expanded into a sum of states comprising the fully ( $N$-fold) symmetric state and the lower $(N-1)$ fold symmetry states,
$$
\left|\psi_{\text {exc }}\right\rangle=c^{[N]}\left|\phi^{[N]}\right\rangle+\sum_{l=1}^{N-1} c_l^{[N-1]}\left|\phi_l^{[N-1]}\right\rangle,
$$
yielding the set of equations for their probability amplitudes,
$$
\begin{gathered}
\dot{c}^{(N)}=-\gamma_{\mathrm{col}} c^{[N]}-\sum_{l=1}^{N-1} s_l^* c_l^{[N-1]} \
\dot{c}l^{(N-1)}=-s_l c^{(N)}-\sum{l^{\prime}=1}^{N-1} Q_{l^{\prime}} c_{l^{\prime}}^{(N-1)}
\end{gathered}
$$
with the initial conditions
$$
\dot{c}^{[N]}(0)=1, \quad c_l^{[N-1}}(0)=0, \quad l=1,2, \ldots N-1 .
$$
The mixing in (7.53), between the fully symmetric state and the $l$ th state of lower symmetry, occurs at the rate
$$
s_l=\frac{\gamma_1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^N \sum_{j^{\prime}=1}^N f_j^l \mathcal{F}\left(\boldsymbol{r}j-\boldsymbol{r}{j^{\prime}}\right)
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Markovian Theory of Two-Atom Self-Energy
We consider a pair of identical TLS with energy levels $|g\rangle$ and $|e\rangle$ and transition frequency $\omega_{\mathrm{a}}$. These TLS are coupled to the vacuum field of the structure (photonic bath), and we neglect their coupling to modes outside the structure. The TLSbath dipole couplings are $\eta_{k j}=-\wp_{e g} \cdot \boldsymbol{\phi}k\left(\boldsymbol{r}_j\right), \wp{e g}$ denoting [cf. (4.7)] the dipole matrix element of the $|g\rangle \leftrightarrow|e\rangle$ transition (taken to be real), $\omega_k$ and $\boldsymbol{\phi}_k(\boldsymbol{r})$ being, respectively, the $k$ th mode frequency and the spatial function at $r_j$, the location of the $j$ th TLS $(j=1,2)$. The interaction Hamiltonian in the dipole approximation has the following form (without the RWA) in the interaction picture,
$$
H_{\mathrm{I}}=\hbar \sum_{j=1}^2 \sum_k\left(\eta_{k j} \hat{a}k e^{-i \omega_k t}+\text { H.c. }\right)\left(\hat{\sigma}_j^{-} e^{-i \omega_a t}+\text { H.c. }\right), $$ where $\hat{a}_k$ and $\hat{\sigma}_j^{-}$are the field-mode and the TLS lowering operators, respectively. The two-atom dissipative linewidth and dispersive energy-shift, $\gamma{j j j^{\prime}}$ and $\Delta_{j j^{\prime}}$, respectively, are here calculated in the weak-coupling limit to second order in the coupling strength. To this end, we evaluate the two-atom transition amplitude from the state where atom $j$ is excited to the state where atom $j^{\prime}$ is excited, which is then given by
$$
\begin{aligned}
U_{j j^{\prime}} &=\delta_{j j^{\prime}}+U_{j j^{\prime}}^{(2)} \
U_{j j^{\prime}}^{(2)} &=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-t / 2}^{t / 2} d t_1 \int_{-t / 2}^{t / 2} d t_2 \int_{-\infty}^{\infty} d \omega e^{i\left(\omega_{\mathrm{a}}-\omega\right)\left(t_2-t_1\right)} W_{j j^{\prime}}(\omega)
\end{aligned}
$$
in terms of the two-atom self-energy
$$
W_{j j^{\prime}}(\omega)=\sum_k \frac{\eta_{k j} \eta_{k j^{\prime}}^}{\omega-\omega_k+i 0^{+}}+\sum_k \frac{\eta_{k j^{\prime}} \eta_{k j}^}{\omega-2 \omega_{\mathrm{a}}-\omega_k+i 0^{+}} .
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Symmetry Considerations
来自 $N$ 线性独立状态 $\left|e_j\right\rangle$ ，我们构造，通过正交化到 $\backslash$ left|||phi^{(N]}}\right|rangle,，这 $N-1$ 状态
$$
\left|\phi_l^{\left|N_1\right|}\right\rangle=-\frac{1}{\sqrt{N}}\left|e_N\right\rangle+\sum_{j=1}^{N-1}\left[\frac{1+(1 / \sqrt{N})}{N-1}-\delta_{j l}\right]\left|e_j\right\rangle \quad \equiv \sum_{j=1}^N f_j^l\left|e_j\right\rangle, \quad l=1,2, \ldots, N-1 .
$$
状态 (7.51) 被归一化为 1 并且彼此正交并且 $\left|\phi^{[N]}\right\rangle$. 它们构成了以 Young 画面为特征的不可约表示的基础 $N-1,1$.
单激发多原子态的波函数可以扩展为包含完全 $(N$-fold) 对称状态和较低的 $(N-1)$ 折宣对称状态，
$$
\left|\psi_{\text {exc }}\right\rangle=c^{[N]}\left|\phi^{[N]}\right\rangle+\sum_{l=1}^{N-1} c_l^{[N-1]}\left|\phi_l^{[N-1]}\right\rangle,
$$
为它们的概率幅度产生一组方程，
$$
\dot{c}^{(N)}=-\gamma_{c o l} c^{[N]}-\sum_{l=1}^{N-1} s_l^* c_l^{[N-1]} \dot{c} l^{(N-1)}=-s_l c^{(N)}-\sum l^{\prime}=1^{N-1} Q_{l^{\prime}} c_{l^{\prime}}^{(N-1)}
$$
与初始条件
$$
\backslash \text { dot }{c}^{\wedge}{[N]}(0)=1 \text {, \quad c_ }\left.\right|^{\wedge}{[N-1}}(0)=0 \text {, \quad I }=1,2 \text {, } \backslash \text { Idots } N-1 \text { 。 }
$$
（7.53) 中的混合，在完全对称状态和l较低对称性的第 th 状态，发生在速率
$$
s_l=\frac{\gamma_1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^N \sum_{j^{\prime}=1}^N f_j^l \mathcal{F}\left(\boldsymbol{r} j-\boldsymbol{r} j^{\prime}\right)
$$
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Markovian Theory of Two-Atom Self-Energy
我们考虑一对具有相同能级的 TLS $|g\rangle$ 和 $|e\rangle$ 和过渡频率 $\omega_{\mathrm{a}}$. 这些 TLS 耦合到结构的真空场 (光子浴)，我们 忽略了它们与结构外模式的耦合。TLSbath 偶极子耦合器是 $\eta_{k j}=-\wp_{e g} \cdot \phi k\left(\boldsymbol{r}j\right), \wp e g$ 表示 [cf. (4.7)]的偶 极矩阵元素 $|g\rangle \leftrightarrow \mid e)$ 过渡 (被认为是真实的)， $\omega_k$ 和 $\phi_k(\boldsymbol{r})$ 分别是 $k$ 模式频率和空间函数 $r_j$ ，的位置 $j$ TLS $(j=1,2)$. 偶极子近似中的相互作用哈密顿量在相互作用图中具有以下形式（没有 RWA）， $$ H{\mathrm{I}}=\hbar \sum_{j=1}^2 \sum_k\left(\eta_{k j} \hat{a} k e^{-i \omega_k t}+\text { H.c. }\right)\left(\hat{\sigma}j^{-} e^{-i \omega_a t}+\text { H.c. }\right) $$ 在哪里 $\hat{a}_k$ 和 $\hat{\sigma}_j^{-}$分别是字段模式和 TLS 降低运算符。两原子耗散线宽和色散能量位移， $\gamma j j j^{\prime}$ 和 $\Delta{j j^{\prime}}$ ，分别 在这里计算弱耦合极限到耦合强度的二阶。为此，我们从原子所在的状态评估两原子跃迁幅度 $j$ 被激发到原 子的状态 $j^{\prime}$ 是兴奋的，然后由
$$
U_{j j^{\prime}}=\delta_{j j^{\prime}}+U_{j j^{\prime}}^{(2)} U_{j j^{\prime}}^{(2)}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-t / 2}^{t / 2} d t_1 \int_{-t / 2}^{t / 2} d t_2 \int_{-\infty}^{\infty} d \omega e^{i\left(\omega_{\mathrm{a}}-\omega\right)\left(t_2-t_1\right)} W_{j j^{\prime}}(\omega)
$$
就两原子自能而言
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