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物理代写|光学代写Optics代考|Equilibrium Temperature and Order Parameter Dependences
The two principal refractive indices $n_{\perp}$ and $n_{|}$of a uniaxial liquid crystal and the anisotropy $n_{|}-n_{\perp}$ have been the subject of intensive studies for their fundamental importance in the understanding of liquid crystal physics and for their vital roles in applied electro-optic devices. Since the dielectric constants $\left(\varepsilon_{\perp}\right.$ and $\left.\varepsilon_{|}\right)$enter directly and linearly into the constitutive equations (Eqs. (3.30a)-(3.30c)), it is theoretically more convenient to discuss the fundamentals of these temperature dependences in terms of the dielectric constants.
From Eq. (3.34) for the local field $\vec{E}^{\text {loc }}$ and Eq. (3.31) for the induced dipole moments, we can express the polarization $\vec{p} \equiv N \vec{d}$ by
$$
\vec{P}=N \overrightarrow{\bar{\alpha}}:(\overrightarrow{\bar{K}}: \vec{E})
$$
where $\overrightarrow{\bar{\alpha}}$ is the polarizability tensor of the molecule, $N$ is the number of molecules per unit volume, and the parentheses denote averaging over the orientations of all molecules.
The dielectric constant $\overrightarrow{\vec{\varepsilon}}$ (in units of $\varepsilon_0$ ) is therefore given by
$$
\overrightarrow{\bar{\varepsilon}}=1+\frac{N}{\varepsilon_0} \overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\vec{K}}
$$
and
$$
\begin{aligned}
\Delta \varepsilon &=\varepsilon_{|}-\varepsilon_{\perp} \
&=\frac{N}{\varepsilon_0}\left(\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\bar{K}}\rangle_{|}-\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\bar{K}}\rangle_{\perp}\right) .
\end{aligned}
$$
From these considerations and from observations by deJeu and Bordewijk [13] that
$$
\Delta \varepsilon \propto \rho S
$$ and
$$
\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\vec{K}}\rangle_{|}-\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\bar{K}}\rangle_{\perp} \propto S,
$$
we can write $\varepsilon_{|}$and $\varepsilon_{\perp}$ as
$$
\varepsilon_{|}=n_{|}^2=1+\left(\frac{N}{3 \varepsilon_0}\right)\left[\alpha_l K_l(2 S+1)+\alpha_t K_t(2-2 S)\right]
$$
and
$$
\varepsilon_{\perp}=n_{\perp}^2=1+\left(\frac{N}{3 \varepsilon_0}\right)\left[\alpha_l K_l(1-S)+\alpha_t K_t(2+S)\right]
$$
respectively, where $K_l$ and $K_t$ are the values of $\overrightarrow{\bar{K}}$ along the principal axis and $S$ is the order parameter.
物理代写|光学代写Optics代考|FLOWS AND HYDRODYNAMICS
One of the most striking properties of liquid crystals is their ability to flow freely while exhibiting various anisotropic and crystalline properties. This dual nature of liquid crystals makes them very interesting materials to study; it also makes theoretical formalism very complex.
The main feature that distinguishes liquid crystals in their ordered mesophases (e.g. the nematic phase) from ordinary fluids is that their physical properties are dependent on the orientation of the director axis $\vec{n}(\vec{r})$; these orientation flow processes are necessarily coupled, except in very unusual cases (e.g. pure twisted deformation). Therefore, studies of the hydrodynamics of liquid crystals will involve a great deal more (anisotropic) parameters than studies of the hydrodynamics of ordinary liquids.
We begin our discussion by reviewing first the hydrodynamics of an ordinary fluid. This is followed by a discussion of the general hydrodynamics of liquid crystals. Specific cases involving a variety of flow-orientational couplings are then treated.
Consider an elementary volume $d V=d x d y d z$ of a fluid moving in space as shown in Figure 3.9. The following parameters are needed to describe its dynamics:
position vector: $\vec{r}$,
velocity: $\vec{v}(\vec{r}, t)$,
density: $\rho(\vec{r}, t)$,
pressure: $p(\vec{r}, t)$, and
forces in general: $\vec{f}(\vec{r}, t)$.
In later chapters where we study laser-induced acoustic (sound, density) waves in liquid crystals, or generally, when one deals with acoustic waves, it is necessary to assume that the density $\rho(\vec{r}, t)$ is a spatially and temporally varying function. In this chapter, however, we “decouple” such density wave excitation from all the processes under consideration and basically limit our attention to the flow and orientational effects of an incompressible fluid. In that case, we have
$$
\rho(\vec{r}, t)=\text { constant }
$$
For all liquids, in fact for all gas particles or charges in motion, the equation of continuity also holds
$$
\nabla \cdot(\hat{\rho} \vec{v})=-\begin{aligned}
&\partial \rho \
&\partial t
\end{aligned}
$$
物理代写|光学代写Optics代考|Equilibrium Temperature and Order Parameter Dependences
两个主要折射率 $n_{\perp}$ 和 $n$ 单轴液晶和各向异性 $n_{\mid}-n_{\perp}$ 由于它们在理解液晶物理方面的根本重要性以及它们 在应用电光器件中的重要作用，它们一直是深入研究的主题。由于介电常数 $\left(\varepsilon_{\perp}\right.$ 和 $\left.\varepsilon_{\mid}\right)$直接和线性地进入本 构方程 (方程 (3.30a) – (3.30c))，理论上更方便根据介电常数讨论这些温度依赖性的基本原理。
从方程式。(3.34) 用于局部字段 $\vec{E}^{l o c}$ 和等式。(3.31) 对于诱导偶极矩，我们可以表示极化 $\vec{p} \equiv N \vec{d}$ 经过
$$
\vec{P}=N \overrightarrow{\vec{\alpha}}:(\overrightarrow{\bar{K}}: \vec{E})
$$
在哪里 $\overrightarrow{\bar{\alpha}}$ 是分子的极化张量， $N$ 是每单位体积的分子数，括号表示所有分子方向的平均值。 介电常数 $\vec{\varepsilon}\left(\right.$ 以 $\left.\varepsilon_0\right)$ 因此由下式给出
$$
\overrightarrow{\vec{\varepsilon}}=1+\frac{N}{\varepsilon_0} \overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\vec{K}}
$$
和
$$
\Delta \varepsilon=\varepsilon_1-\varepsilon_{\perp} \quad=\frac{N}{\varepsilon_0}\left(\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\vec{K}}\rangle_{\mid}-\langle\overrightarrow{\vec{\alpha}}: \overrightarrow{\vec{K}}\rangle_{\perp}\right)
$$
根据这些考虑以及 deJeu 和 Bordewijk [13] 的观察，
$$
\Delta \varepsilon \propto \rho S
$$
和
$$
\langle\vec{\alpha}: \overrightarrow{\vec{K}}\rangle_1-\langle\vec{\alpha}: \overrightarrow{\vec{\alpha}}\rangle_{\perp} \propto S
$$
我们可以写 $\varepsilon_{\mid}$和 $\varepsilon_{\perp}$ 作为
$$
\varepsilon_{\mid}=n_{\mid}^2=1+\left(\frac{N}{3 \varepsilon_0}\right)\left[\alpha_l K_l(2 S+1)+\alpha_t K_t(2-2 S)\right]
$$
和
$$
\varepsilon_{\perp}=n_{\perp}^2=1+\left(\frac{N}{3 \varepsilon_0}\right)\left[\alpha_l K_l(1-S)+\alpha_t K_t(2+S)\right]
$$
分别，其中 $K_l$ 和 $K_t$ 是的值 $\overrightarrow{\bar{K}}$ 沿主轴和 $S$ 是订单参数。
物理代写|光学代写Optics代考|FLOWS AND HYDRODYNAMICS
液晶最引人注目的特性之一是它们能够自由流动，同时表现出各种各向异性和结晶特性。液晶的这种双重 性质使它们成为非常有趣的研究材料；它也使理论形式主义变得非常复杂。
将有序中间相 (例如向列相) 中的液晶与普通流体区分开来的主要特征是它们的物理性质取决于导向轴的 方向 $\vec{n}(\vec{r})$; 这些定向流动过程必然是耦合的，除非在非常不寻常的情况下（例如纯扭曲变形）。因此，液晶 流体动力学的研究将比普通液体的流体动力学研究涉及更多的 (各向异性) 参数。
我们首先回顾普通流体的流体动力学来开始我们的讨论。随后讨论液晶的一般流体动力学。然后处理涉及 各种流动定向怽萬合的具体案例。
考虑一个基本体积 $d V=d x d y d z$ 如图 $3.9$ 所示，流体在空间中移动。需要以下参数来描述其动力学:
位置向量: $\vec{r}$ ，
速度: $\vec{v}(\vec{r}, t)$ ，
密度: $\rho(\vec{r}, t)$ ，
压力: $p(\vec{r}, t)$ ，以及
一般的力: $\vec{f}(\vec{r}, t)$.
在后面我们研究液晶中激光诱导的声 (声、密度) 波的章节中，或者一般来说，当我们处理声波时，有必 要假设密度 $\rho(\vec{r}, t)$ 是一个空间和时间变化的函数。然而，在本章中，我们将这种密度波激发与所考虑的所 有过程“分离“，基本上将我们的注意力限制在不可压缩流体的流动和定向效应上。在这种情况下，我们有 $\rho(\vec{r}, t)=$ constant
对于所有液体，实际上对于所有运动中的气体粒子或电荷，连续性方程也成立
$$
\nabla \cdot(\hat{\rho} \vec{v})=-\partial \rho \quad \partial t
$$
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