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物理代写|光学代写Optics代考|Free Energy and Torques by Electric and Magnetic Fields
In this section, we consider the interactions of nematic liquid crystals with applied fields (electric or magnetic); we will limit our discussion to only dielectric and diamagnetic interactions.
For a generally applied (dc, low frequency, or optical) electric field $\vec{E}$, the displacement $\vec{D}$ may be written in the form
$$
\vec{D}=\varepsilon_{\perp} \vec{E}+\left(\varepsilon_{|}-\varepsilon_{\perp}\right)(n \cdot \vec{E}) n
$$
The electric interaction energy density is therefore
$$
\mu_E=-\int_0^E \vec{D} \cdot d \vec{E}=-\frac{1}{2} \varepsilon_{\perp}(\vec{E} \cdot \vec{E})-\frac{\Delta \varepsilon}{2}(n \cdot \vec{E})^2 .
$$
Note that the first term on the right-hand side of Eq. (3.24) is independent of the orientation of the director axis. It can therefore be neglected in the director axis deformation energy. Accordingly, the free-energy density term associated with the application of an electric field is given by
$$
F_E=-\frac{\Delta \varepsilon}{2}(n \cdot \vec{E})^2
$$
in SI units (in cgs units, $F_E=-(\Delta \varepsilon / 8 \pi)(\hat{n} \cdot \vec{E})^2$ ). The molecular torque produced by the electric field is given by
$$
\vec{\Gamma}E=\vec{D} \times \vec{E}=\Delta \varepsilon(n \cdot \vec{E})(n \times \vec{E}) . $$ Similar considerations for the magnetic field yield a magnetic energy density term $U_m$ given by $$ U_m=-\int_0^M \vec{B} \cdot d \vec{M}=\frac{1}{2 \mu_0} \chi{\perp}^m B^2-\frac{1}{2 \mu_0} \Delta \chi^m(n \cdot \vec{B})^2,
$$
a magnetic free-energy density (associated with director axis reorientation) $F_m$ given by
$$
F_m=\frac{1}{2 \mu_0} \Delta \chi^m(n \cdot \vec{B})^2,
$$
and a magnetic torque density
$$
\begin{aligned}
\vec{\Gamma}_m &=\vec{M} \times \vec{H} \
&=\Delta \chi^m(n \cdot \vec{H})(n \cdot \vec{H}) .
\end{aligned}
$$
These electric and magnetic torques play a central role in various field-induced effects in liquid crystals.
物理代写|光学代写Optics代考|Linear Susceptibility and Local Field Effect
In the optical regime, $\varepsilon_{|}>\varepsilon_{\perp}$. Typically, $\varepsilon_{|}$is on the order of $2.89 \varepsilon_0$ and $\varepsilon_{\perp}$ is $2.25 \varepsilon_0$. These correspond to refractive indices $n_{|}=1.7$ and $n_{\perp}=1.5$. An interesting property of nematic liquid crystals is that such a large birefringence $\left(\Delta \varepsilon_{\perp}=\varepsilon_{|}-\varepsilon_{\perp} \approx 0.2\right)$ is manifested throughout the whole optical spectral regime (from near-ultraviolet $[\approx 400 \mathrm{~nm}]$, to visible $[\approx 500 \mathrm{~nm}]$ and near-infrared $[1-3 \mu \mathrm{m}]$, to the infrared regime $[8-12 \mu \mathrm{m}$ ], i.e. from $400 \mathrm{~nm}$ to $12 \mu \mathrm{m}$ ). Figure $3.6$ shows the measured birefringence of three typical nematic liquid crystals from the UV to the far-infrared $(\lambda=16 \mu \mathrm{m})$
The optical dielectric constants originate from the linear polarization $\vec{P}$ generated by the incident optical field $\vec{E}_{\mathrm{op}}$ on the nematic liquid crystal:
$$
\vec{P}=\varepsilon_0 \vec{\chi} \cdot \vec{E} .
$$
From the defining equation
$$
\vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\overrightarrow{\bar{\varepsilon}}: \vec{E},
$$
we have
$$
\overrightarrow{\bar{\varepsilon}}=\varepsilon_0\left[1+\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}\right] .
$$
Here $\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}$ is the linear (sometimes termed “first order”) susceptibility tensor of the nematics. $\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}$ is a macroscopic parameter and is related to the microscopic (molecular) parameter, the molecular polarizabilities tensor $\alpha_{i j}$, in the following way:
$$
\begin{gathered}
d_i=\alpha_{i j} E_j^{\text {loc }}, \
\vec{d}=\overrightarrow{\vec{\alpha}} \cdot \vec{E}^{\mathrm{oc}}, \
\vec{P}=N \vec{d},
\end{gathered}
$$
where $d_i$ is the $i$ th component of the induced dipole $\vec{d}$ and $N$ is the number density. In Chapter 8, a rigorous quantum mechanical derivation of $\alpha$ in terms of the dipole matrix elements or oscillator strengths and the energy levels and level populations will be presented. The connection between the microscopic parameter $\alpha_{i j}$ and the macroscopic parameter $\chi_{i j}$ is the local field correction factor (i.e. the difference between the externally applied field and the actual field as experienced by the molecules). Several theoretical formalisms have been developed to evaluate the field correction factor, ranging from simplified to complex and sophisticated ones.
物理代写|光学代写Optics代考|Free Energy and Torques by Electric and Magnetic Fields
在本节中，我们考虑向列液晶与外加场 (电场或磁场) 的相互作用；我们将讨论仅限于介电和抗磁相互作 用。
对于一般应用的 (直流、低频或光学) 电场 $\vec{E}$, 位移 $\vec{D}$ 可以写成形式
$$
\vec{D}=\varepsilon_{\perp} \vec{E}+\left(\varepsilon_{\mid}-\varepsilon_{\perp}\right)(n \cdot \vec{E}) n
$$
因此，电相互作用能量密度为
$$
\mu_E=-\int_0^E \vec{D} \cdot d \vec{E}=-\frac{1}{2} \varepsilon_{\perp}(\vec{E} \cdot \vec{E})-\frac{\Delta \varepsilon}{2}(n \cdot \vec{E})^2 .
$$
请注意，等式右侧的第一项。(3.24) 与导向轴的方向无关。因此在导向轴变形能量中可以忽略不计。因此， 与施加电场相关的自由能密度项由下式给出
$$
F_E=-\frac{\Delta \varepsilon}{2}(n \cdot \vec{E})^2
$$
以 SI 单位 (以 cgs 为单位， $F_E=-(\Delta \varepsilon / 8 \pi)(\hat{n} \cdot \vec{E})^2$ )。由电场产生的分子扭矩由下式给出
$$
\vec{\Gamma} E=\vec{D} \times \vec{E}=\Delta \varepsilon(n \cdot \vec{E})(n \times \vec{E}) .
$$
对磁场的类似考虑产生了磁能密度项 $U_m$ 由
$$
U_m=-\int_0^M \vec{B} \cdot d \vec{M}=\frac{1}{2 \mu_0} \chi \perp^m B^2-\frac{1}{2 \mu_0} \Delta \chi^m(n \cdot \vec{B})^2,
$$
磁自由能密度 (与导向轴重新定向相关) $F_m$ 由
$$
F_m=\frac{1}{2 \mu_0} \Delta \chi^m(n \cdot \vec{B})^2,
$$
和磁转矩密度
$$
\vec{\Gamma}_m=\vec{M} \times \vec{H} \quad=\Delta \chi^m(n \cdot \vec{H})(n \cdot \vec{H}) .
$$
这些电转矩和磁转矩在液晶中的各种场致效应中起着核心作用。
物理代写|光学代写Optics代考|Linear Susceptibility and Local Field Effect
在光学状态下， $\varepsilon \mid>\varepsilon_{\perp}$. 通常， $\varepsilon_{\mid}$是在顺序 $2.89 \varepsilon_0$ 和 $\varepsilon_{\perp}$ 是 $2.25 \varepsilon_0$. 这些对应于折射率 $n=1.7$ 和 $n_{\perp}=1.5$. 向列液晶的一个有趣特性是，如此大的双折射 $\left(\Delta \varepsilon_{\perp}=\varepsilon_{\mid}-\varepsilon_{\perp} \approx 0.2\right)$ 表现在整个光谱范围内 (从近紫外 $[\approx 400 \mathrm{~nm}$ ], 可见 $\approx 500 \mathrm{~nm}]$ 和近红外 $[1-3 \mu \mathrm{m}]$, 到红外区域 $[8-12 \mu \mathrm{m}]$ ， 即从 $400 \mathrm{~nm}$ 至 $12 \mu \mathrm{m})$ 。数字 $3.6$ 显示了从紫外到远红外测量的三种典型向列液晶的双折射 $(\lambda=16 \mu \mathrm{m})$
光学介电常数源于线性偏振 $\vec{P}$ 由入射光场产生 $\vec{E}{\mathrm{op}}$ 关于向列液晶: $$ \vec{P}=\varepsilon_0 \vec{\chi} \cdot \vec{E} . $$ 从定义方程 $$ \vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\vec{\varepsilon}: \vec{E}, $$ 我们有 $$ \overrightarrow{\bar{\varepsilon}}=\varepsilon_0\left[1+\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}\right] $$ 这里 $\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}$ 是向列相的线性 (有时称为”一阶”) 磁化率张量。 $\overrightarrow{\bar{\chi}}^{(1)}$ 是一个宏观参数，与微观 (分子) 参数有 关，即分子极化率张量 $\alpha{i j}$,方式如下:
$$
d_i=\alpha_{i j} E_j^{\text {loc }}, \vec{d}=\overrightarrow{\vec{\alpha}} \cdot \vec{E}^{o c}, \vec{P}=N \vec{d},
$$
在哪里 $d_i$ 是个 $i$ 感应偶极子的第 th 分量 $\vec{d}$ 和 $N$ 是数密度。在第 8 章中，一个严格的量子力学推导 $\alpha$ 将根据偶 极矩阵元素或振菬器强度以及能级和能级群体进行介绍。微㣍数之间的联系 $\alpha_{i j}$ 和宏观参数 $\chi_{i j}$ 是局部场 校正因子 (即外加场与分子所经历的实际场之间的差异)。已经开发了几种理论形式来评估场校正因子， 范围从简化到筫杂和复杂。
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