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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Problems Without Constraints

First, we introduce the eigenvalue problem ${ }^{13}$ :
$$
\left{\begin{array}{l}
\text { Find }(\mathrm{e}, \lambda) \in(\mathcal{V} \backslash{0}) \times \mathbb{R} \text { such that } \
\forall \mathrm{v} \in \mathcal{V}, a(\mathrm{e}, \mathrm{v})=\lambda(\mathrm{e}, \mathrm{v}) \mathcal{H} .
\end{array}\right.
$$
According to Corollary $4.5 .12$, there exist a non-decreasing sequence of strictly positive eigenvalues $\left(\lambda_i\right){i \in \mathbb{N}}$ and a sequence of eigenfunctions $\left(\mathrm{e}_i\right){i \in \mathbb{N}}$ that are a Hilbert basis of $\mathcal{H}$ and such that $\left(\lambda_i^{-1 / 2} e_i\right){i \in \mathbb{N}}$ is a Hilbert basis for $\mathcal{V}$. This leads to the definition of a scale $\left(\mathcal{V}^s\right){s \in \mathbb{R}}$ of Hilbert spaces, the A-Sobolev spaces.
Definition 4.4.1 Let $s \in \mathbb{R}$. The space $\mathcal{V}^s$ is:

  • if $s \geq 0$, the subspace of $\mathcal{H}$ characterised by the condition
    $$
    \sum_{i \in \mathbb{N}} u_i \mathrm{e}i=\mathrm{u} \in \mathcal{V}^s \Longleftrightarrow|u|{\mathcal{V}^s}^2:=\sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_i^s\left|u_i\right|^2<+\infty,
    $$
    which defines its canonical norm;
  • if $s<0$, the dual of $\mathcal{V}^{-s}$ with respect to the pivot space $\mathcal{H}$.
    Then, we summarise some properties of this scale. The proofs are left to the reader.
    Proposition 4.4.2 The following statements hold true:
  1. $\mathcal{V}^0=\mathcal{H}, \mathcal{V}^1=\mathcal{V}, \mathcal{V}^2=D(\mathrm{~A}), \mathcal{V}^{-1}=\mathcal{V}^{\prime}$, algebraically and topologically.
  2. For all $i \in \mathbb{N}$ and $s \in \mathbb{R}, \mathrm{e}i \in \mathcal{V}^s$. Furthermore, the sequence $\left(\mathrm{e}_i^s\right){i \in \mathbb{N}}:=$ $\left(\lambda_i^{-s / 2} \mathrm{e}i\right){i \in \mathbb{N}}$ is a Hilbert basis for $\mathcal{V}^s$.
  3. For all $t<s \in \mathbb{R}, \mathcal{V}^s$ is densely and compactly imbedded in $\mathcal{V}^t$.
  4. Let $s \in \mathbb{R}$ and $u \in \mathcal{V}^s$. The scalar $u_i$ equivalently defined as
    $$
    u_i=\left\langle\mathrm{u}, \mathrm{e}i^{-t}\right\rangle{\mathcal{V}^{-t}}=\lambda_i^{-t / 2}\left(\mathrm{u}, \mathrm{e}i^t\right){\mathcal{V}^t}
    $$
    does not depend on $t \leq s$. Of course, if $\mathrm{u} \in \mathcal{H}, u_i$ coincides with the coordinate of $\mathrm{u}$ on the basis $\left(\mathrm{e}i\right){i \in \mathbb{N}}$.
  5. As a consequence of items 2 and 4, an element of an A-Sobolev space admits $a$ renormalised expansion $\mathrm{u}=\sum_{i \in \mathbb{N}} u_i \mathrm{e}_i$, which converges in $\mathcal{V}^s$ under the condition (4.29).

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Problems with Constraints

Now, we proceed to the framework of constrained problems. We thus consider a sesquilinear form $b$ on $\mathcal{V} \times \mathcal{Q}$, satisfying the inf-sup condition (4.10), its kernel $\mathcal{K}$ and $\mathcal{L}$ is the closure of $\mathcal{K}$ within $\mathcal{H}$. Furthermore, we assume the double orthogonality property of Definition 4.3.17. We begin by deducing two fundamental consequences of this property.

Lemma 4.4.5 Assume that the sesquilinear, continuous and Hermitian form a fulfills property (4.15) with $v=0$, and that the double orthogonality property holds between $\mathcal{V}$ and $\mathcal{H}$. Then, for any $\mathrm{v} \in \mathcal{V}^s$ with $s \geq 0$, its $\mathcal{H}$-orthogonal projections $\mathrm{v}{|} \in \mathcal{L}$ and $\mathrm{v}{\perp} \in \mathcal{L}^{\perp}$ belong to $\mathcal{V}^s$, with $\left|\mathrm{v}{|}\right|{\mathcal{V}^s}^2+\left|\mathrm{v}{\perp}\right|{\mathcal{V}^s}^2=| \mathrm{v}_{\mathcal{V}^s}^2$.

Proof Let e be a solution to (4.28). Taking a test function $\mathrm{v}{|} \in \mathcal{K}$ and using the double orthogonality, one obtains $a\left(\mathrm{e}{|}, \mathrm{v}{|}\right)=\lambda\left(\mathrm{e}{|}, \mathrm{v}{|}\right) \mathcal{H}$. Again invoking the double orthogonality, one arrives at: $a\left(\mathrm{e}{|}, \mathrm{v}\right)=\lambda(\mathrm{e} |, \mathrm{v}){\mathcal{H}}, \quad \forall \mathrm{v} \in \mathcal{V}, \quad$ and similarly, $\quad a\left(\mathrm{e}{\perp}, \mathrm{v}\right)=\lambda\left(\mathrm{e}{\perp}, \mathrm{v}\right){\mathcal{H}}$
In other words, the projections onto $\mathcal{K}$ and $\mathcal{K}^{\perp}$ of any eigenfunction are either an eigenfunction, or zero. Thus, the Hilbert basis $\left(\mathrm{e}i\right){i \in \mathbb{N}}$ can be chosen such that all its elements belong either to $\mathcal{K}$ or to $\mathcal{K}^{\perp}$. Let $I_{|}$(respectively $I_{\perp}$ ) be the set of indices $i$ such that $\mathrm{e}i \in \mathcal{K}$ (respectively $\mathrm{e}_i \in \mathcal{K}^{\perp}$ ). Then, we have: $$ \forall \mathrm{v}=\sum{i \in \mathbb{N}} v_i \mathbf{e}i \in \mathcal{H}, \quad \mathrm{v}{|}=\sum_{i \in I_I} v_i \mathbf{e}i \quad \text { and } \quad \mathrm{v}{\perp}=\sum_{i \in I_{\perp}} v_i \mathbf{e}_i
$$
The conclusion follows using the property (4.29).

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Problems Without Constraints

首先,我们介绍特征值问题 ${ }^{13}$ :
$\$ \$$
Find $(\mathrm{e}, \lambda) \in(\mathcal{V} \backslash 0) \times \mathbb{R}$ such that $\forall \mathrm{v} \in \mathcal{V}, a(\mathrm{e}, \mathrm{v})=\lambda(\mathrm{e}, \mathrm{v}) \mathcal{H}$
址确的。
$\$ \$$
根据推论4.5.12,存在严格正特征值的非减序列 $\left(\lambda_i\right) i \in \mathbb{N}$ 和一系列特征函数 $\left(\mathrm{e}_i\right) i \in \mathbb{N}$ 是希尔伯特基 $\mathcal{H}$ 并 且这样 $\left(\lambda_i^{-1 / 2} e_i\right) i \in \mathbb{N}$ 是希尔伯特基 $\mathcal{V}$. 这导致了规模的定义 $\left(\mathcal{V}^s\right) s \in \mathbb{R}$ 布尔伯特空间, A-Sobolev 空 间。
定义 4.4.1 让 $s \in \mathbb{R}$. 空间 $\mathcal{V}^s$ 是:

  • 如果 $s \geq 0$, 的子空间 $\mathcal{H}$ 以条件为特征
    $$
    \sum_{i \in \mathbb{N}} u_i \mathrm{e} i=\mathrm{u} \in \mathcal{V}^s \Longleftrightarrow|u| \mathcal{V}^{s 2}:=\sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_i^s\left|u_i\right|^2<+\infty,
    $$
    它定义了它的规范规范;
  • 如果 $s<0$ ,对偶 $\mathcal{V}^{-s}$ 关于枢轴空间 $\mathcal{H}$.
    然后,我们总结了这个量表的一些性质。证明留给读者。
    命题 4.4.2 以下陈述成立:
  1. $\mathcal{V}^0=\mathcal{H}, \mathcal{V}^1=\mathcal{V}, \mathcal{V}^2=D(\mathrm{~A}), \mathcal{V}^{-1}=\mathcal{V}^{\prime}$ ,代数和拓扑。
  2. 对所有人 $i \in \mathbb{N}$ 和 $s \in \mathbb{R}, \mathrm{e} i \in \mathcal{V}^s$. 此外,序列 $\left(\mathrm{e}_i^s\right) i \in \mathbb{N}:=\left(\lambda_i^{-s / 2} \mathrm{e} i\right) i \in \mathbb{N}$ 是苃尔伯特基 $\mathcal{V}^s$.
  3. 对所有人 $t<s \in \mathbb{R}, \mathcal{V}^s$ 密密麻麻地嵌入 $\mathcal{V}^t$.
  4. 让 $s \in \mathbb{R}$ 和 $u \in \mathcal{V}^s$. 标量 $u_i$ 等效定义为
    $$
    u_i=\left\langle\mathrm{u}, \mathrm{e} i^{-t}\right\rangle \mathcal{V}^{-t}=\lambda_i^{-t / 2}\left(\mathrm{u}, \mathrm{e} i^t\right) \mathcal{V}^t
    $$
    不依赖于 $t \leq s$. 当然,如果 $\mathrm{u} \in \mathcal{H}, u_i$ 与坐标相吻合 $\mathrm{u}$ 基本上来说 $(\mathrm{e} i) i \in \mathbb{N}$.
  5. 作为第 2 项和第 4 项的结果, $\mathrm{A}-S \mathrm{Sobolev}$ 空间的一个元责承认 $a$ 重整化扩展 $\mathrm{u}=\sum_{i \in \mathbb{N}} u_i \mathrm{e}_i$ ,收玫于 $\mathcal{V}^s$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Problems with Constraints

现在,我们进入约束问题的框架。因此,我们考虑一个倍半线性形式 $b$ 上 $\mathcal{V} \times \mathcal{Q}$ ,满足 inf-sup 条件 (4.10),其核 $\mathcal{K}$ 和 $\mathcal{L}$ 是关闭 $\mathcal{K}$ 内 $\mathcal{H}$. 此外,我们假设定义 $4.3 .17$ 的双正交特性。我们首先推断出这个風性 的两个基本结果。
引理 4.4.5 假设倍半线性、连续和 Hermitian 形式满足性质 (4.15) $v=0$ ,并且双正交属性在 $\mathcal{V}$ 和 $\mathcal{H}$. 那么,对 于任何 $\mathrm{V} \in \mathcal{V}^s$ 和 $s \geq 0$ ,它的 $\mathcal{H}$-正交投影 $\mathrm{v} \mid \in \mathcal{L}$ 和 $\mathrm{v} \perp \in \mathcal{L}^{\perp}$ 属于 $\mathcal{V}^s , \quad$ 和 $|\mathrm{v}|\left|\mathcal{V}^{s 2}+\right| \mathrm{v} \perp\left|\mathcal{V}^{s 2}=\right| \mathrm{v}{\mathcal{V}^2}$. 证明令 $\mathrm{e}$ 是 (4.28) 的一个解。进行测试功能 $\mathrm{v} \mid \in \mathcal{K}$ 并使用双正交性,可以得到 $a(\mathrm{e}|, \mathrm{v}|)=\lambda(\mathrm{e}|, \mathrm{v}|) \mathcal{H}$. 再次调用双正交性,可以得出: $a(\mathrm{e} \mid, \mathrm{v})=\lambda(\mathrm{e}, \mathrm{v}) \mathcal{H}, \quad \forall \mathrm{v} \in \mathcal{V}$, 同样, $a(\mathrm{e} \perp, \mathrm{v})=\lambda(\mathrm{e} \perp, \mathrm{v}) \mathcal{H}$ 换句话说,投影到 $\mathcal{K}$ 和 $\mathcal{K}^{\perp}$ 的任何特征函数要么是特征函数,要么为零。因此,苃尔伯特基 $(\mathrm{e} i) i \in \mathbb{N}$ 可以 选择它的所有元綁都属于 $\mathcal{K}$ 或者 $\mathcal{K}^{\perp}$. 让 $I{\mid}$(分别 $I_{\perp}$ ) 是一组索引 $i$ 这样 $\mathrm{e} i \in \mathcal{K}$ (分别 $\mathrm{e}i \in \mathcal{K}^{\perp}$ )。然后,我 们有: $$ \forall \mathrm{v}=\sum i \in \mathbb{N} v_i \mathbf{e} i \in \mathcal{H}, \quad \mathbf{v} \mid=\sum{i \in I_I} v_i \mathbf{e} i \quad \text { and } \quad \mathbf{v} \perp=\sum_{i \in I_{\perp}} v_i \mathbf{e}_i
$$
使用性质 (4.29) 得出结论。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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