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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Helmholtz-Like Problem
Let $H$ and $V$ be two Hilbert spaces, such that $V$ is a vector subspace of $H$ with continuous imbedding $i_{V \rightarrow H}$. In what follows, we choose $H$ as the pivot space. Let $a(\cdot, \cdot)$ be a sesquilinear continuous form on $V \times V, A$ the corresponding operator defined at (4.4) with $V=W$, and $\lambda \in \mathbb{C} \backslash{0}$. Given $f \in V^{\prime}$, the Helmholtz-like problem to be solved is
$$
\left{\begin{array}{l}
\text { Find } u \in V \text { such that } \
\forall v \in V, a(u, v)+\lambda(u, v)H=\langle f, v\rangle . \end{array}\right. $$ Such problems are usually solved with the help of the Fredholm alternative. Theorem 4.5.1 (Helmholtz-Like Problem) Assume that the sesquilinear form a is such that $A$ is an isomorphism from $V$ to $V^{\prime}$, and that the canonical imbedding $i{V \rightarrow H}$ is compact. Then:
- either, for all $f \in V^{\prime}$, Problem (4.36) has one, and only one, solution $u$, which depends continuously on $f$;
- or, Problem (4.36) has solutions if, and only if, $f$ satisfies a finite number $n_\lambda$ of orthogonality conditions. Then, the space of solutions is affine, and the dimension of the corresponding linear vector space (i.e., the kernel) is equal to $n_\lambda$. Moreover, the part of the solution that is orthogonal to the kernel depends continuously on the data.
Proof Since the operator $A^{-1}$ is well-defined, one can replace the right-hand side with $a\left(A^{-1} f, v\right)$ in (4.36). Also, one can replace the second term as follows. We mention the imbedding $i_{V \rightarrow H}$ explicitly here, to write
$$
\forall v \in V,(u, v)H=\left(i{V \rightarrow H} u, v\right)H=\left\langle i{V \rightarrow H} u, v\right\rangle=a\left(A^{-1} \circ i_{V \rightarrow H} u, v\right) .
$$
So, Problem (4.36) equivalently rewrites
$$
\left{\begin{array}{l}
\text { Find } u \in V \text { such that } \
\left(I_V+\lambda A^{-1} \circ i_{V \rightarrow H}\right) u=A^{-1} f \text { in } V
\end{array}\right.
$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy Conservation and Uniqueness
Let us consider that $\Omega=\mathbb{R}^3$ is made of a perfect medium (cf. Eqs. (1.18-1.21)), plus initial conditions at time $t=0$ (cf. (1.31)), i.e., $I=] 0,+\infty[$ :
$$
\begin{gathered}
\mathbb{C} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}-\operatorname{curl} \boldsymbol{H}=-\boldsymbol{J}, \quad t>0 \
\mu \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}+\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=0, \quad t>0
\end{gathered}
$$
We also consider that $\Omega$ is an unbounded open subset of $\mathbb{R}^3$ of category (C2) equal to $\Omega=\mathbb{R}^3 \backslash \bar{O}$, where $O$ can be a perfectly conducting obstacle, as for the exterior problem, or the perfectly conducting device of interest, as for the interior problem (cf. Sect. 1.6.1). Or, we let $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ be a domain made of a perfect medium, encased in a perfect conductor. We call this setting the cavity problem. In this case, we add boundary conditions on $\Gamma=\partial \Omega$ to (5.3)-(5.7):
$$
\begin{aligned}
\mu \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{n}=0, & t>0 \
\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{n}=0 . & t>0
\end{aligned}
$$
Using the regularity results $(5.2)$ in space and time of the electromagnetic fields ${ }^1$ (and of the data $\boldsymbol{J}$ ), let us recover the energy conservation relation, starting from Ampère’s and Faraday’s laws. Above, $\S \in{\mathbb{C}, \mu}$ satisfies the following assumption: $\left{\begin{array}{l}\xi \text { is a real-valued, symmetric, measurable tensor field on } \Omega, \ \exists \xi_{-}, \xi_{+}>0, \forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{C}^3, \xi_{-}|\boldsymbol{X}|^2 \leq 8 \boldsymbol{X} \cdot \overline{\boldsymbol{X}} \leq \xi_{+}|\boldsymbol{X}|^2 \text { a.e. in } \Omega .\end{array}\right.$
Remark 5.1.3 Obviously, one infers similar estimates involving the inverses of $\varepsilon_{-}, \varepsilon_{+}$(respectively of $\mu_{-}, \mu_{+}$) for the tensor $\mathbb{C}^{-1}$ (respectively $\mu^{-1}$ ). These assumptions will be frequently used throughout Chaps. $5,6,7$ and 8 . They include the case of an inhomogeneous medium $\left(\mathbb{c}=\varepsilon \mathbb{Z}_3, \mu=\mu \mathbb{I}_3\right)$.
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Helmholtz-Like Problem
让 $H$ 和 $V$ 是两个希尔伯特空间，这样 $V$ 是一个向量子空间 $H$ 连续嵌入 $i_{V \rightarrow H}$. 下面我们选择 $H$ 作为枢轴空 间。让 $a(\cdot, \cdot)$ 是一个倍半线性连续形式 $V \times V, A(4.4)$ 中定义的相应运算符 $V=W$ ，和 $\lambda \in \mathbb{C} \backslash 0$. 给定 $f \in V^{\prime}$ ，要解决的类亥姆霍兹问题是
$\$ \$$
$\backslash$ left $}$
Find $u \in V$ such that $\forall v \in V, a(u, v)+\lambda(u, v) H=\langle f, v\rangle$.
【正确的。\$\$ 此类问题通常在 Fredholm 替代方案的帮助下得到解决。定理 $4.5 .1$ (类亥姆霍兹问题) 假设 倍半线性形式 a 是这样的 $A$ 是来自的同构 $V$ 至 $V^{\prime}$ ，并且规范嵌入 $i V \rightarrow H$ 紧凑。然后:
- 或者，对于所有人 $f \in V^{\prime}$ ，问题 (4.36) 有一个且只有一个解 $u$ ，它持续依赖于 $f$;
- 或者，问题 (4.36) 有解当且仅当， $f$ 满足有限数 $n_\lambda$ 的正交性条件。那么解的空间是仿射的，对应的线性 向量空间 (即核) 的维数等于 $n_\lambda$. 此外，解中与内核正交的部分持续依赖于数据。
证明自运营商 $A^{-1}$ 是明确定义的，可以将右侧替换为 $a\left(A^{-1} f, v\right)$ 在（4.36) 中。此外，可以如下萌换第二 项。我们提到嵌入 $i_{V \rightarrow H}$ 在这里明确地写
$$
\forall v \in V,(u, v) H=(i V \rightarrow H u, v) H=\langle i V \rightarrow H u, v\rangle=a\left(A^{-1} \circ i_{V \rightarrow H} u, v\right) .
$$
因此，问题 (4.36) 等效地重写了
$\$ \$$
$\backslash$ left
Find $u \in V$ such that $\left(I_V+\lambda A^{-1} \circ i_{V \rightarrow H}\right) u=A^{-1} f$ in $V$
【正确的。
$\$ \$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Energy Conservation and Uniqueness
让我们考虑一下 $\Omega=\mathbb{R}^3$ 由完美介质 (参见方程 (1.18-1.21) ) 加上初始条件组成 $t=0$ (参见 $(1.31))$ ，即， $I=] 0,+\infty[:$
$$
\mathbb{C} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}-\operatorname{curl} \boldsymbol{H}=-\boldsymbol{J}, \quad t>0 \mu \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}+\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=0, \quad t>0
$$
我们也认为 $\Omega$ 是一个无界开子集 $\mathbb{R}^3$ 类别 (C2) 等于 $\Omega=\mathbb{R}^3 \backslash \bar{O}$ ，在哪里 $O$ 对于外部问题，可以是一个完全 导电的障碍物，或者对于内部问题，可以是一个完全导电的设备（参见第 $1.6 .1$ 节) 。或者，我们让 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是一个由完美介质构成的领域，包䡕在完美导体中。我们称这种设置为空腔问题。在这种情况 下，我们在 $\Gamma=\partial \Omega$ 至 (5.3) – (5.7) :
$$
\mu \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{n}=0, t>0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{n}=0 . \quad t>0
$$
使用正则结果 $(5.2)$ 在电磁场的空间和时间 ${ }^1$ (以及数据 $J$ )，让我们从安培定律和法拉第定律开始恢复能量 守恒关系。以上， $\S \in \mathbb{C}, \mu$ 满足以下假设： $\$ \backslash$ left $}$
$\xi$ is a real-valued, symmetric, measurable tensor field on $\Omega, \exists \xi_{-}, \xi_{+}>0, \forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{C}^3, \xi_{-}|\boldsymbol{X}|^2 \leq 8 \boldsymbol{X} \cdot \overline{\boldsymbol{X}}$ 对。\$
备注 5.1.3 显然，可以推断出类似的估计，包括 $\varepsilon_{-}, \varepsilon_{+}$(分别 $\left.\mu_{-}, \mu_{+}\right)$对于张量 $\mathbb{C}^{-1}$ (分别 $\mu^{-1}$ )。这些假 设将在整个章节中经常使用。 $5,6,7$ 和 8 。它们包括不均匀介质的情况 $\left(\mathrm{c}=\varepsilon \mathbb{Z}_3, \mu=\mu \mathbb{I}_3\right)$.
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