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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Truncated Exterior Problem

Let us consider the case of an exterior problem, such as a diffraction problem around a perfectly conducting object. In this case, to perform computations, one adjusts the domain (Sect. 1.6.1): this results in a truncated exterior problem, set in a computational domain $\Omega$ that has a boundary $\Gamma$ equal to $\overline{\Gamma_P} \cup \overline{\Gamma_A}$, with $\partial \Gamma_P \cap$ $\partial \Gamma_A=\emptyset$. Here, $\Gamma_P$ is the “physical” part on which the perfect conductor boundary condition is imposed, and $\Gamma_A$ is purely “artificial”. For instance, let us choose $\Gamma_A$ to be a sphere, on which an absorbing boundary condition (referred to as an $\mathrm{ABC}$ from now on) is imposed, such as the Silver-Müller $\mathrm{ABC}$ (1.137) or (1.138). One usually assumes that the medium is homogeneous ${ }^2$ in a neighborhood of $\Gamma_A$, so it writes:
$$
\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}+\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \boldsymbol{H}_{\top}(t)=\boldsymbol{g}^{\star}(t) \text { on } \Gamma_A,
$$

where we recall that $\boldsymbol{H}{\top}(t)$ denote the tangential components of $\boldsymbol{H}(t)$ on the boundary and $g^{\star}$ is the data on $\Gamma_A$. On the other hand, for the truncated exterior problem, one finds the relation below, using the integration-by-parts formula (3.5): $$ \frac{d W}{d t}(t)-\gamma_A\left\langle\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \boldsymbol{H}{\top}(t)\right\rangle_{\pi_A}=-(\boldsymbol{J}(t) \mid \boldsymbol{E}(t)), \quad t>0 .
$$
Above, the duality bracket reduces to $\Gamma_A$, because $\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{n}=0$ on $\Gamma_P$. Hence, the index $_A$. Note that there is no need to use the theory summarized in Theorem 3.1.29, because in the present case, $\partial \Gamma_P \cap \partial \Gamma_A=\emptyset$.
It is possible to address uniqueness as before. Indeed, one now obtains that
$$
\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}+\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \delta \boldsymbol{H}{\top}(t)=0 \text { on } \Gamma_A, $$ together with the relation $$ \begin{aligned} \frac{d}{d t}\left[\frac{1}{2}{(\mathbb{\propto} \delta \boldsymbol{E}(t) \mid \delta \boldsymbol{E}(t))+(\mu \delta \boldsymbol{H}(t) \mid \delta \boldsymbol{H}(t))}\right] \ -\gamma_A\left\langle\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \delta \boldsymbol{H}{\top}(t)\right\rangle_{\pi_A}=0, \quad t>0 .
\end{aligned}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Truncated Interior Problem

At first glance, it appears that one can tackle the case of a truncated interior problem similarly. The first difference with the previous study is that it can happen that $\Gamma=$ $\overline{\Gamma_P} \cup \overline{\Gamma_A}, \Gamma_P \cap \Gamma_A=\emptyset, \partial \Gamma_P \cap \partial \Gamma_A \neq \emptyset .{ }^3$ In this situation, one needs to use the integration-by-parts formula of Theorem 3.1.29, to find
$$
\frac{d W}{d t}(t)-\gamma_A^0\langle\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \boldsymbol{H} \top(t)\rangle_{\pi_A}=-(\boldsymbol{J}(t) \mid \boldsymbol{E}(t)), \quad t>0 .
$$
In other words, the duality product has been modified, to take into account the fact that $\partial \Gamma_A \neq \emptyset$. We consider from now on that $\partial \Gamma_A$ is piecewise curvilinear. Let $v$ be the unit outward normal vector to $\partial \Gamma_A$, and $\tau$ the unit tangent vector to $\partial \Gamma_A$ so that $(\tau, v)$ is direct. As before, to prove uniqueness, we build a relation like (5.22). The obvious difficulty in the present situation is to obtain some decompositions of the traces, with boundary conditions on $\partial \Gamma_A$. We propose below a constructive proof (for the magnetic field), thus complementing the process we described in Sect. $3.1$.
First, thanks to Proposition 3.1.27, we can write on $\Gamma_A$ (for a given $t>0$ )
$$
\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}=\operatorname{curl}{\Gamma} \phi^{-}+\operatorname{grad}{\Gamma} \psi^{+}, \phi^{-} \in \widetilde{H}^{1 / 2}\left(\Gamma_A\right), \psi^{+} \in \mathcal{H}\nu\left(\Gamma_A\right) . $$ Note that we have, in a weak sense, $t_p\left(\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}{\mid \Gamma_A}\right)=0$ on $\partial \Gamma_A$, where we recall that $t_v(\boldsymbol{f}):=\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{v}{\mid \partial \Gamma_A}$, and similarly for $\operatorname{grad}{\Gamma} \psi^{+}$(see the definition of $\mathcal{H}_v\left(\Gamma_A\right)$ ). Hence, we have at hand some boundary conditions for the trace of the electric field.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|ELEC3104

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Truncated Exterior Problem

让我们考虑外部问题的情况,例如完美导电物体周围的衍射问题。在这种情况下,为了执行计算,需要调 整域 (第 $1.6 .1$ 节) : 这会导致截断外部问题,设置在计算域中 $\Omega$ 有边界的 $\Gamma$ 等于 $\overline{\Gamma_P} \cup \overline{\Gamma_A}$ ,和 $\partial \Gamma_P \cap$ $\partial \Gamma_A=\emptyset$. 这里, $\Gamma_P$ 是施加完美导体边界条件的“物理”部分,并且 $\Gamma_A$ 纯属“人工”。例如,让我们选择 $\Gamma_A$ 是 一个球体,在其上具有吸收边界条件 (称为 $\mathrm{ABC}$ 从现在开始) 被强加,例如 Silver-MüllerABC(1.137) 或 (1.138)。人们通常假设介质是均匀的 ${ }^2$ 在附近 $\Gamma_A$ ,所以它写道:
$$
\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}+\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \boldsymbol{H}{\top}(t)=\boldsymbol{g}^{\star}(t) \text { on } \Gamma_A, $$ 我们记得 $\boldsymbol{H} \top(t)$ 表示切向分量 $\boldsymbol{H}(t)$ 在边界和 $g^{\star}$ 是关于 $\Gamma_A$. 另一方面,对于截断外部问题,可以使用分部 积分公式 (3.5) 找到以下关系: $$ \frac{d W}{d t}(t)-\gamma_A\langle\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \boldsymbol{H} \top(t)\rangle{\pi_A}=-(\boldsymbol{J}(t) \mid \boldsymbol{E}(t)), \quad t>0 .
$$
上面,对偶括号减少到 $\Gamma_A$ ,因为 $\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{n}=0$ 上 $\Gamma_P$. 因此,指数 ${ }A$. 请注意,没有必要使用定理 3.1.29 中总 结的理论,因为在本例中, $\partial \Gamma_P \cap \partial \Gamma_A=\emptyset$. 可以像以前一样解决唯一性问题。确实,现在人们得到了 $$ \delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}+\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \delta \boldsymbol{H} \top(t)=0 \text { on } \Gamma_A, $$ 连同关系 $$ \frac{d}{d t}\left[\frac{1}{2}(\propto \delta \boldsymbol{E}(t) \mid \delta \boldsymbol{E}(t))+(\mu \delta \boldsymbol{H}(t) \mid \delta \boldsymbol{H}(t))\right]-\gamma_A\langle\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \delta \boldsymbol{H} \top(t)\rangle{\pi_A}=0, \quad t>0
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Truncated Interior Problem

乍一看,似乎可以类似地处理截断内部问题的情况。与之前的研究的第一个区别是它可能发生 $\Gamma=$
$\overline{\Gamma_P} \cup \overline{\Gamma_A}, \Gamma_P \cap \Gamma_A=\emptyset, \partial \Gamma_P \cap \partial \Gamma_A \neq \emptyset .{ }^3$ 在这种情况下,需要使用定理 $3.1 .29$ 的分部积分公式,求
$$
\frac{d W}{d t}(t)-\gamma_A^0\langle\boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n}, \boldsymbol{H} \top(t)\rangle_{\pi_A}=-(\boldsymbol{J}(t) \mid \boldsymbol{E}(t)), \quad t>0 .
$$
换句话说,对偶乘积已被修改,以考虑到以下事实: $\partial \Gamma_A \neq \emptyset$. 我们从现在开始考虑 $\partial \Gamma_A$ 是分段曲线。让 $v$ 是单位外法向量 $\partial \Gamma_A$ ,和 $\tau$ 单位切向量 $\partial \Gamma_A$ 以便 $(\tau, v)$ 是直接的。和以前一样,为了证明唯一性,我们建立 了一个类似 (5.22) 的关系。目前情况下明显的困难是获得轨迹的一些分解,边界条件为 $\partial \Gamma_A$. 我们在下面 提出了一个建设性的证明 (对于磁场),从而补充了我们在 Sect 中描述的过程。3.1.
首先,感㓔命题 3.1.27,我们可以写在 $\Gamma_A$ (对于给定的 $t>0$ ) $\$ \$$
$t_p\left(\delta \boldsymbol{E}(t) \times \boldsymbol{n} \mid \Gamma_A\right)=0$ 上 $\partial \Gamma_A$ , 我们记得 $t_v(\boldsymbol{f}):=\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{v} \mid \partial \Gamma_A$ ,同样对于 $\operatorname{grad} \Gamma \psi^{+}$(见定义 $\mathcal{H}_v\left(\Gamma_A\right.$ )
)。因此,我们手头有一些电场轨迹的边界条件。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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