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电气工程代写|信号和系统代写signals and systems代考|Fast Fourier Transform
For spectral analysis of discrete signals, DFT approach is a very straight forward one. For larger values of $N$, DFT becomes tedious because of the huge number of mathematical operations required to perform. Consider the following DFT where $N=8$
$$
X(k)=\sum_{k=0}^7 x(n) \mathrm{e}^{\frac{-12 \pi n}{8}}, \quad k=0,1, \ldots, 7
$$
Substituting $(k 2 \pi / 8)=K$ in the above equation we get,
$$
\begin{aligned}
X(k)=& x(0) \mathrm{e}^{-j K 0}+x(1) \mathrm{e}^{-j K}+x(2) \mathrm{e}^{-j K 2}+x(3) \mathrm{e}^{-j K 3}+x(4) \mathrm{e}^{-j K 4} \
&+x(5) \mathrm{e}^{-j K 5}+x(6) \mathrm{e}^{-j K 6}+x(7) \mathrm{e}^{-j K 7} \quad k=0,1, \ldots, 7
\end{aligned}
$$
Equation (2.70) has eight terms in the right hand side in which each term contains multiplication of a real term with complex exponential. Thus, for example $x(1) \mathrm{e}^{-j k}=x(1)[\cos K-j \sin K]$ requires two multiplications and one addition for each value of $K$ where $K=\frac{2 \pi k}{8}, k=0,1,2, \ldots, 7$. Thus, in Eq. (2.70) each term in the right-hand side requires eight complex multiplications and seven additions. The eight-point DFT therefore requires $8 \times 8=8^2=64$ complex multiplications $8 \times 7=8(8-1)=56$ additions.
In general, for an $N$-point DFT, $N^2$ multiplications and $N(N-1)$ additions are required. For $N=1024$, about $10^8$ multiplications and equal number of additions are required which results in computational burden. Further such a huge number of mathematical operations limit the bandwidth of digital signal processors. Several algorithms have been developed to reduce the computation burden and ease the implementation of DFT. The algorithm developed by Cooley and Tukey in 1965 is the most efficient one and is called fast Fourier transform (FFT). The application FFT algorithms are discussed below with illustrated examples.
电气工程代写|信号和系统代写signals and systems代考|Radix-2 FFT Algorithm
For efficient computation of DFT several algorithms have been developed based on divide and conquer methods. However, the method is applicable for $N$ not being a prime number. Consider the case when $N=r_1 r_2 r_3 \ldots r_v$ where the $\left{r_j\right}$ are prime. If $r_1=r_2=r_3=\ldots=r$, then $N=r^v$. In such a case the DFTs are of size $r$. The number $r$ is called the radix of the FFT algorithm. The most widely used FFT algorithms are radix-2 and radix-4 algorithms and are discussed in the following sections.
For performing radix-2 FFT, the value of $N$ should be such that, $N=2^m$. Here the decimation can be performed $m$ times, where $m=\log _2^N$.
In direct computation of $N$-point $\mathrm{DFT}$, the total number of complex addition are $N(N-1)$ and total number of complex multiplications are $N^2$. In radix-2 FFT, the total number of complex additions is reduced to $N \log _2^N$ and total number of complex multiplications is $\left(\frac{N}{2}\right) \log _2^N$. Comparison of number of computations by DFT and FFT is shown in Table $2.2$.
信号和系统代考
电气工程代写|信号和系统代写signals and systems代考|Fast Fourier Transform
对于离散信号的频缙分析，DFT 方法是一种非常直接的方法。对于较大的值 $N$ ，由于需要执行大量的数学 运算，DFT 变得乏味。考虑以下 DFT，其中 $N=8$
$$
X(k)=\sum_{k=0}^7 x(n) \mathrm{e}^{\frac{-12 \pi n}{8}}, \quad k=0,1, \ldots, 7
$$
替代 $(k 2 \pi / 8)=K$ 在上面的等式中，我们得到，
$$
X(k)=x(0) \mathrm{e}^{-j K 0}+x(1) \mathrm{e}^{-j K}+x(2) \mathrm{e}^{-j K 2}+x(3) \mathrm{e}^{-j K 3}+x(4) \mathrm{e}^{-j K 4} \quad+x(5) \mathrm{e}^{-j K 5}+x(6) \mathrm{e}^{-j K 6}+x(7) e^2
$$
等式 (2.70) 右则有八个项，其中每个项包含实数与复指数的乘积。因此，例如 $x(1) \mathrm{e}^{-j k}=x(1)[\cos K-j \sin K]$ 每个值需要两次乘法和一次加法 $K$ 在哪里
$K=\frac{2 \pi k}{8}, k=0,1,2, \ldots, 7$. 因此，在等式。(2.70) 右边的每一项都需要八次复数乘法和七次加法。因 此，八点 DFT 需要 $8 \times 8=8^2=64$ 复数乘法 $8 \times 7=8(8-1)=56$ 补充。
一般来说，对于一个 $N$ 点 DFT， $N^2$ 乘法和 $N(N-1)$ 需要添加。为了 $N=1024$ ，关于 $10^8$ 需要乘法和相 等数量的加法，这会导致计算负担。此外，如此大量的数学运算限制了数字信号处理器的带宽。已经开发 了几种算法来减少计算负担并简化 DFT 的实现。Cooley 和 Tukey 在 1965 年开发的算法是最有效的一种， 称为仜速傅里叶变换 (FFT)。下面通过示例讨论应用 FFT 算法。
电气工程代写|信号和系统代写signals and systems代考|Radix-2 FFT Algorithm
为了有效计算 DFT，已经开发了基于分治法的几种算法。但是，该方法适用于 $N$ 不是溸数。考虑以下情况 $N=r_1 r_2 r_3 \ldots r_v$ 在哪里 $\backslash$ 左 $\left{r_{-} j\right.$ 右 $}$ 是素数。如果 $r_1=r_2=r_3=\ldots=r_{｝ \text { ，然后 } N=r^v \text {. 在这种情况 }$ 下，DFT 的大小 $r$. 号码 $r$ 称为 FFT 算法的基数。最广泛使用的 FFT 算法是 radix-2 和 radix-4 算法，将在以 下部分进行讨论。
对于执行 radix-2 FFT，值 $N$ 应该是这样的， $N=2^m$. 这里可以执行抽取 $m$ 次，在哪里 $m=\log _2^N$.
在直接计算 $N$-观点 $\mathrm{DFT}$ ，复数加法的总数为 $N(N-1)$ 和复数乘法的总数是 $N^2$. 在 radix-2 FFT 中，复数 加法的总数减少到 $N \log _2^N$ 筫数乘法的总数是 $\left(\frac{N}{2}\right) \log _2^N$. DFT和FFT的计算次数比较如表所示 $2.2$.
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