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电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Dependencies between Variables within a Random Process
In the field of statistical signal processing, one of the basic questions asked is how the different random variables in a stochastic process are related to one another. To quantify this dependency, we introduce the autocorrelation and autocovariance functions. Auto- and crosscorrelation definitions may vary between text books; the definitions used in this text agree with [7].
The Autocorrelation Function
The autocorrelation function computes correlation of any two random variables that reside in the same random process. The idea is identical to the correlation $r_{x y}$ that we discussed in the section on random variables. We call it a function owing to the presence of the independent indices, $a$ and $b$, which select the random variables in the process $X$.
$$
r_x(a, b)=E\left(x_a \cdot x_b^*\right)
$$
Again, $a$ and $b$ are indices $-$ from 0 to $7-$ of the two random variables in our random process $X$.
The autocovariance function computes the covariance between any two random variables that reside in the same random process.
$$
c_x(a, b)=E\left(\left[x_a-E\left(x_a\right)\right] \cdot\left[x_b-E\left(x_b\right)\right]^*\right)
$$
The autocovariance function determines the common variation of two random variables away from their mean, whereas the autocorrelation function determines the common variation of two random variables away from zero. Therefore, if the random variables of our process are zeromean, then the two functions are equivalent.
Clearly, these functions can be applied to either random process $X$ or $Y$. We may also be interested in the common variation between a random variable in process $X$ and one in $Y$ and in that case we rename our statistical function as follows.
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Stationary Random Processes
Let us once again consider our symbol generator and the accompanying random process $X$, which is composed of a certain number of random variables. Each one of these random variables has a mean, variance and potentially some effect on the other random variables in the process $X$. If these statistics don’t change over time – meaning they are the same now, in five minutes and next month – then the process is said to be stationary. Furthermore, if the linear time-invariant or LTI system we showed earlier also remains unchanged, then the random process $Y$ is also considered to be stationary.
The autocorrelation and autocovariance functions for a stationary random process will no longer depend on the exact time index $a$ and $b$ inside its vector of random variables but on the time difference between them. The variable $x_0$ influences $x_1$ in the same way as variable $x_{100}$ influences $x_{101}$. Thus, for any time offset of $c$ the following expression holds true.
$$
r_x(a, b)=r_x(a+c, b+c)
$$
Better yet, we express the functions in terms of a difference in time index which we will call $\tau$, where $\tau=a-b$. The location or index, $a$, of the random variable inside our vector is arbitrary.
$r_x(\tau)=r_x(a, a+\tau) \leftarrow$ Autocorrelation Function (stationary RP)
$c_x(\tau)=c_x(a, a+\tau) \leftarrow$ Autocovariance Function (stationary RP)
If the characteristics of the linear system are indeed time-invariant, then the processes $X$ and $Y$ are said to be joint stationary and we may define the following expressions.
$r_{x y}(\tau)=r_{x y}(a, a+\tau) \leftarrow$ Crosscorrelation Function (stationary $R P$ )
$c_{x y}(\tau)=c_{x y}(a, a+\tau) \quad \leftarrow$ Crosscovariance Function (stationary RP)
数字信号过程代考
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Dependencies between Variables within a Random Process
在统计信号处理领域，提出的基本问题之一是随机过程中的不同随机变量如何相互关联。为了量化这种依 赖性，我们引入了自相关和自协方差函数。自相关和互相关定义可能因教科书而异；本文中使用的定义与 [7] 一致。
自相关函数
自相关函数计算位于同一随机过程中的任意两个随机变量的相关性。这个愳法与相关性相同 $r_{x y}$ 我们在随机 变量一节中讨论过。由于存在独立索引，我们称其为函数， $a$ 和 $b$ ，它选择过程中的随机变量 $X$.
$$
r_x(a, b)=E\left(x_a \cdot x_b^\right) $$ 再次， $a$ 和 $b$ 是指数 $-从 0$ 到 $7-$ 我们随机过程中的两个随机变量 $X$. 自协方差函数计算位于同一随机过程中的任意两个随机变量之间的协方差。 $$ c_x(a, b)=E\left(\left[x_a-E\left(x_a\right)\right] \cdot\left[x_b-E\left(x_b\right)\right]^\right)
$$
自协方差函数确定两个随机变量远离其均值的共同变化，而自相关函数确定两个随机变量远离零的共同变 化。因此，如果我们过程的随机变量为零均值，那么这两个函数是等价的。
显然，这些函数可以应用于任一随机过程 $X$ 或者 $Y$. 我们也可能对过程中随机变量之间的常见变化感兴趣 $X$ 和一个在 $Y$ 在这种情况下，我们将统计函数重命名如下。
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Stationary Random Processes
让我们再次考虑我们的符号生成器和伴随的随机过程 $X$ ，由一定数量的随机变量组成。这些随机变量中的 每一个都有一个均值、方差，并且可能对过程中的其他随机变量产生一些影响 $X$. 如果这些统计数据不随时 间变化一一这意味着它们现在、五分钟和下个月都一样一一那么这个过程就是静止的。此外，如果我们之 前展示的线性时不变或 LTI 系统也保持不变，那么随机过程 $Y$ 也被认为是静止的。
平稳随机过程的自相关和自协方差函数将不再依赖于确切的时间索引 $a$ 和 $b$ 在其随机变量向量内，但在它们 之间的时间差上。变量 $x_0$ 影响 $x_1$ 以与变量相同的方式 $x_{100}$ 影响 $x_{101}$. 因此，对于任何时间偏移 $\mathrm{C}$ 以下表达式 成立。
$$
r_x(a, b)=r_x(a+c, b+c)
$$
更好的是，我们用时间指数的差异来表达函数，我们称之为 $\tau$ ，在哪里 $\tau=a-b$. 位置或索引， $a$ ，我们向 量中的随机变量是任意的。
$r_x(\tau)=r_x(a, a+\tau) \leftarrow$ 自相关函数 (固定 RP)
$c_x(\tau)=c_x(a, a+\tau) \leftarrow$ 自协方差函数（固定 RP)
如果线性系统的特征确实是时不变的，那么过程 $X$ 和 $Y$ 被称为联合平稳，我们可以定义以下表达式。 $r_{x y}(\tau)=r_{x y}(a, a+\tau) \leftarrow$ 互相关函数 $($ 平稳 $R P)$
$c_{x y}(\tau)=c_{x y}(a, a+\tau) \quad \leftarrow$ 交叉协方差函数（固定 RP)
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