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电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Common Variation between Random Variables
In the last section we took a look at statistical metrics used to describe random variables or discrete number sequences. In this section we will explore how to quantify the dependence of one random variable on the outcome of another using the concepts of covariance and correlation.
The covariance is a measure of the common variation from their mean of two random variables $x$ and $y$. This variation from the mean is expressed as $x-E[x]$ and $y-E[y]$. If these variations from their mean tend to have the same sign, then the covariance equation below will average to a positive value, since the product of these variations will usually be positive. If a positive variation of $x$ goes hand in hand with a negative variation of $y$, then the covariance function below will average to a negative number. A zero will indicate that there is no common variation from their mean and the two random variables are not correlated.
The covariance may be normalized to produce the correlation coefficient $p$, which extends from 1 to 1 . A correlation coefficient of $1.0$ indicates that the outcomes of random variables $x$ and $y$ are the same except for a potential difference in scaling. A correlation coefficient of $-1.0$ indicates the same except that $X$ and $Y$ always have opposite signs.
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p=\frac{c_{x y}}{\sqrt{\operatorname{var}(x) \cdot \operatorname{var}(y)}}
$$
If the covariance and thus the correlation coefficient are equal to $0.0$, then the two variables are said to be uncorrelated.
Correlation
The correlation is a measure of the common variation of two random variables $x$ and $y$. The correlation between two random variables $x$ and $y$ is defined as the expected value of their product.
$$
r_{x y}=E[x \cdot y]
$$
The covariance considered only common variations from the respective mean of each random variable, whereas the correlation measures the common variation from zero.
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Orthogonal Waveforms
The idea of orthogonal random variables may have been a bit abstract, but orthogonal waveforms are much more intuitive and it turns out they are extremely important in the realm of communication engineering. Understanding and using these signals have led to a significant increase in transmission throughput in modern communication links. Let’s assume that we add two or more information carrying waveforms – via superposition – into’ a composite waveform for transmission. If these waveforms are orthogonal, then the information embedded in each may be independently detected at the receiver. The following two examples illustrate how the use of orthogonal signal sets accomplishes this feat.
Composite $(t)=\operatorname{Infol}(t) \cdot$ OrthWaveform $1(t)+\operatorname{Info} 2(t) \cdot$ OrthWaveform $1(t)+\ldots$
As we all remember from our introductory courses in communication systems, early radio systems relied on FM/PM and AM modulation techniques, which embedded information in either the phase or the amplitude of the carrier. With the advent of digital communication components such as dedicated baseband processors and high performance digital-to-analog converters, it became possible to accurately embed information in both the phase and the amplitude – or $I$ and Q components – of an RF carrier. The only way that this is possible is if an RF carrier is in fact composed of two orthogonal signals, which can each carry an independent data stream. The signals in question, whose orthogonality is proven below, are $\cos \left(2 \pi f_0 t\right)$ and $\sin \left(2 \pi f_0 t\right)$.
$$
\begin{aligned}
E\left[\cos \left(2 \pi f_0 t\right) \cdot \sin \left(2 \pi f_0 t\right)\right] &=E\left[\frac{\sin (0)+\sin \left(4 \pi f_0 t\right)}{2}\right] \
&=E\left[\frac{\sin \left(4 \pi f_0 t\right)}{2}\right] \
&=0
\end{aligned}
$$
In the all too familiar figure below we illustrate how the RF carrier signal is assembled from the two orthogonal waveforms, $\cos \left(2 \pi f_0 t\right)$ and $\sin \left(2 \pi f_0 t\right)$, and the associated IQ data streams riding on them. These modulating data streams are the familiar $I(t)$ and $Q(t)$ signals.
数字信号过程代考
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Common Variation between Random Variables
在上一节中，我们查看了用于描述随机变量或离散数字序列的统计指标。在本节中，我们将探讨如何使用 协方差和相关性的概念来量化一个随机变量对另一个随机变量结果的依赖性。
协方差是衡量两个随机变量均值的共同变化 $x$ 和 $y$. 这种与平均值的变化表示为 $x-E[x]$ 和 $y-E[y]$. 如果与 平均值的这些变化趋于具有相同的符号，则下面的协方差方程将平均为正值，因为这些变化的乘积通常为 正。如果一个正变化 $x$ 与负变化齐头并进 $y$ ，那么下面的协方差函数将平均为负数。雴表示它们的平均值没 有共同变化，并且两个随机变量不相关。
协方差可以被归一化以产生相关系数 $p$ ，从 1 延伸到 1 。的相关系数 $1.0$ 表示随机变量的结果 $x$ 和 $y$ 除了缩放 的潜在差异之外，它们是相同的。的相关系数 $-1.0$ 表示相同，除了 $X$ 和 $Y$ 总是有相反的迹象。
$$
p=\frac{c_{x y}}{\sqrt{\operatorname{var}(x) \cdot \operatorname{var}(y)}}
$$
如果协方差和相关系数等于 $0.0$ ，则称这两个变量不相关。
相关性
相关性是衡量两个随机变量的共同变化 $x$ 和 $y$. 两个随机变量之间的相关性 $x$ 和 $y$ 被定义为他们产品的期望 值。
$$
r_{x y}=E[x \cdot y]
$$
协方差仅考虑每个随机变量各自平均值的常见变化，而相关性测量从零开始的常见变化。
电气工程代写|数字信号过程代写digital signal process代考|Orthogonal Waveforms
正交随机变量的概念可能有点抽象，但正交波形更直观，而且事实证明它们在通信工程领域极为重要。理 解和使用这些信号已导致现代通信链路中的传输吞吐量显着增加。假设我们将两个或多个携荧信息的波形 (通过疍加) 添加到一个复合波形中进行传输。如果这些波形是正交的，那么嵌入在每个波形中的信息可 以在接收器处被独立地检测到。以下两个示例说明了使用正交信号集如何实现这一壮举。 合成的 $(t)=\operatorname{Infol}(t) \cdot$ 正交波形 $1(t)+\operatorname{Info} 2(t)$.正交波形 $1(t)+\ldots$
正如我们在通信系统入门课程中所记得的那样，早期的无线电系统依赖于 FM/PM 和 AM 调制技术，这些 技术将信息嵌入到载波的相位或幅度中。随着专用基带处理器和高性能数模转换器等数字通信组件的出 现，可以在相位和幅度中准确嵌入信息一一或者 $I$ 和 $\mathrm{Q}$ 分量 – 射频载波。唯一可行的方法是，如果 RF 载波 实际上由两个正交信号组成，每个信号都可以承载独立的数据流。下面证明其正交性的有问题的信号是 $\cos \left(2 \pi f_0 t\right)$ 和 $\sin \left(2 \pi f_0 t\right)$.
$$
E\left[\cos \left(2 \pi f_0 t\right) \cdot \sin \left(2 \pi f_0 t\right)\right]=E\left[\frac{\sin (0)+\sin \left(4 \pi f_0 t\right)}{2}\right] \quad=E\left[\frac{\sin \left(4 \pi f_0 t\right)}{2}\right]=0
$$
在下面这张再熟悉不过的图中，我们说明了 RF 载波信号是如何由两个正交波形组合而成的， $\cos \left(2 \pi f_0 t\right)$ 和 $\sin \left(2 \pi f_0 t\right)$ ，以及相关的 IQ 数据流。这些调制数据流是熟悉的 $I(t)$ 和 $Q(t)$ 信号。
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