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CS代写|图像处理作业代写Image Processing代考|Unconstrained Restoration
The unconstrained restoration method treats the image as only a digital matrix and restores the image from a mathematical point of view without considering the physical constraints that the image should be subjected to after restoration.
Starting from the general image degradation model given in Figure 3.1, it can be obtained from Equation (3.7):
$$
\boldsymbol{n}=g-h f
$$
Without any prior knowledge of $\boldsymbol{n}$, image restoration can be described as looking for an estimate $\boldsymbol{f}{\varepsilon}$ of the original image $\boldsymbol{f}$ so that $\boldsymbol{h} \boldsymbol{f}_e$ is closest to the degraded image $\boldsymbol{g}$ in the sense of minimum mean square error, that is, the norm of $n$ is to be minimized: $$ \mid \boldsymbol{n}\left|^2=\boldsymbol{n}^T \boldsymbol{n}=\right| g-\boldsymbol{h} f_e |^2=\left(\boldsymbol{g}-\boldsymbol{h} f_e\right)^T\left(\boldsymbol{g}-\boldsymbol{h} f_e\right) $$ According to the above equation, the restoration problem can be regarded as to determine the minimum value of the following equation for $f_i$ : $$ L\left(f_c\right)=\left|g-\boldsymbol{h} f_c\right|^2 $$ Here it is only needed to differentiate $L$ to $\boldsymbol{f}{\varepsilon}$ and set the result to 0 , when $\boldsymbol{h}^{-1}$ exists, then the unconstrained restoration equation can be obtained:
$$
\boldsymbol{f}_e=\left(\boldsymbol{h}^T \boldsymbol{h}\right)^{-1} \boldsymbol{h}^T \boldsymbol{g}=\boldsymbol{h}^{-1}\left(\boldsymbol{h}^T\right)^{-1} \boldsymbol{h}^T \boldsymbol{g}=\boldsymbol{h}^{-1} \boldsymbol{g}
$$
CS代写|图像处理作业代写Image Processing代考|Constrained Restoration
Also starting from Equation (3.7), constrained restoration considers selecting a linear operator $\boldsymbol{Q}$ (transformation matrix) of $\boldsymbol{f}e$ so that $\left|\boldsymbol{Q} \boldsymbol{f}{\mathrm{e}}\right|^2$ is the smallest. This problem can be solved by the Lagrangian multiplier method. Let $l$ be the Lagrangian multiplier, find $\boldsymbol{f}_e$ that minimizes the following criterion function:
$$
L\left(f_e\right)=\left|Q f_c\right|^2+l\left(\left|g-H f_c\right|^2-|n|^2\right)
$$
Similar to solving Equation (3.20), the constrained restoration equation can be obtained (let $s=1 / l)$ :
$$
\boldsymbol{f}_e=\left[\boldsymbol{H}^T \boldsymbol{H}+s \boldsymbol{Q}^T \boldsymbol{Q}\right]^{-1} \boldsymbol{H}^T \boldsymbol{g}
$$
3.2.2.2 Wiener Filter
The Wiener filter is a minimum mean square error filter. It can be derived directly from Equation (3.37). In the frequency domain, the general representation of the Wiener filter is:
$$
F_c(u, v)=H_W(u, v) G(u, v)=\frac{H^4(u, v)}{|H(u, v)|^2+s\left[S_n(u, v) / S_f(u, v)\right]} G(u, v)
$$
In the equation, $s$ is a parameter (see below), and $S_f(u, v)$ and $S_n(u, v)$ are the Fourier transform of the correlation matrix elements of the original image and noise, respectively. There are several variants of Equation (3.38):
- If $s=1, H_{\mathrm{w}}(u, v)$ is the standard Wiener filter.
- If $s$ is a variable, it is called a parametric Wiener filter.
- When there is no noise, $S_n(u, v)=0$, the Wiener filter degenerates into the ideal inverse filter of the previous sub-section.
Because $s$ must be adjusted to satisfy Equation (3.37), when $s=1$, the optimal solution that satisfies Equation (3.37) cannot be obtained by using Equation (3.38), but it is optimal in the sense of minimization of $E\left{\left[f(x, y)-f_c(x, y)\right]^2\right}$. Here, both $f(\bullet)$ and $f_e(\bullet)$ are regarded as random variables, and a statistical criterion is thus obtained.
In practice, $S_n(u, v)$ and $S_f(u, v)$ are often unknown. At this time, Equation (3.38) can be approximated by the following equation (where $K$ is a predetermined constant):
$$
F_e(u, v) \approx \frac{H^*(u, v)}{|H(u, v)|^2+K} G(u, v)
$$
图像处理代考
CS代写|图像处理作业代写Image Processing代考|Unconstrained Restoration
无约束恢筫方法将图像仅视为一个数字矩阵，从数学的角度对图像进行恢复，而不考虑图像恢筫后应受到 的物理约束。
从图 $3.1$ 给出的一般图像退化模型出发，可以从式 (3.7) 得到:
$$
\boldsymbol{n}=g-h f
$$
在没有任何先验知识的情况下 $n$ ，图像恢复可以描述为寻找一个估计 $f \varepsilon$ 原始图像的 $f$ 以便 $h f_e$ 最接近退化 图像 $g$ 在最小均方误差的意义上，即范数 $n$ 最小化:
$$
|\boldsymbol{n}|^2=\boldsymbol{n}^T \boldsymbol{n}=\left|g-\boldsymbol{h} f_e\right|^2=\left(\boldsymbol{g}-\boldsymbol{h} f_e\right)^T\left(\boldsymbol{g}-\boldsymbol{h} f_e\right)
$$
根据上式，恢复问题可以看成是确定下式的最小值为 $f_i$ :
$$
L\left(f_c\right)=\left|g-\boldsymbol{h} f_c\right|^2
$$
这里只需要区分 $L$ 至 $\boldsymbol{f} \varepsilon$ 并将结果设置为 0 ，当 $\boldsymbol{h}^{-1}$ 存在，则可以得到无约束恢复方程:
$$
\boldsymbol{f}_e=\left(\boldsymbol{h}^T \boldsymbol{h}\right)^{-1} \boldsymbol{h}^T \boldsymbol{g}=\boldsymbol{h}^{-1}\left(\boldsymbol{h}^T\right)^{-1} \boldsymbol{h}^T \boldsymbol{g}=\boldsymbol{h}^{-1} \boldsymbol{g}
$$
CS代写|图像处理作业代写Image Processing代考|Constrained Restoration
同样从方程 (3.7) 开始，约束恢复考虑选择线性算子 $\boldsymbol{Q}$ (变换矩阵) 的 $\boldsymbol{f} e$ 以便 $|\boldsymbol{Q} \boldsymbol{f}|^2$ 是最小的。这个问 题可以通过拉格朗日乘子法来解决。让 $l$ 是拉格朗日乘数，找到 $\boldsymbol{f}_e$ 最小化以下标准函数：
$$
L\left(f_e\right)=\left|Q f_c\right|^2+l\left(\left|g-H f_c\right|^2-|n|^2\right)
$$
类似于求解方程 (3.20)，可以得到约束恢筫方程 (让 $s=1 / l)$ :
$$
\boldsymbol{f}_e=\left[\boldsymbol{H}^T \boldsymbol{H}+s \boldsymbol{Q}^T \boldsymbol{Q}\right]^{-1} \boldsymbol{H}^T \boldsymbol{g}
$$
3.2.2.2 Wiener 滤波器
Wiener 滤波器是最小均方误差滤波器。它可以直接从方程 (3.37) 推导出来。在频域中，维纳滤波器的一 般表示为:
$$
F_c(u, v)=H_W(u, v) G(u, v)=\frac{H^4(u, v)}{|H(u, v)|^2+s\left[S_n(u, v) / S_f(u, v)\right]} G(u, v)
$$
在等式中， $s$ 是一个参数 (见下文)，并且 $S_f(u, v)$ 和 $S_n(u, v)$ 分别是原始图像和噪声的相关矩阵元素的傅 里叶变换。等式 (3.38) 有几种变体:
- 如果 $s=1, H_{\mathrm{w}}(u, v)$ 是标准的维纳滤波器。
- 如果 $s$ 是一个变量，它被称为参数维纳滤波器。
- 没有噪音的时候， $S_n(u, v)=0$ ，维纳滤波器退化为上一小节的理想逆滤波器。
因为 $s$ 必须调整以满足方程 (3.37)，当 $s=1$ ，满足式 (3.37) 的最优解不能通过式 (3.38) 得到，但在 量，从而获得统计标准。
在实践中， $S_n(u, v)$ 和 $S_f(u, v)$ 往往是末知的。此时，方程 (3.38) 可以近似为以下方程（其中 $K$ 是预定 常数) :
$$
F_e(u, v) \approx \frac{H^*(u, v)}{|H(u, v)|^2+K} G(u, v)
$$
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