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CS代写|计算机图形学作业代写computer graphics代考|Odd and Even Functions

An odd function satisfies the condition:
$$
f(-x)=-f(x)
$$

where $x$ is located in a valid domain. Consequently, the graph of an odd function is symmetrical relative to the origin. For example, $\sin (\theta)$ is odd because
$$
\sin (-\theta)=-\sin \theta
$$
as illustrated in Fig. 3.6. Other odd functions include:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=a x \
&f(x)=a x^3
\end{aligned}
$$
An even function satisfies the condition:
$$
f(-x)=f(x)
$$
where $x$ is located in a valid domain. Consequently, the graph of an even function is symmetrical relative to the $f(x)$ axis. For example. $\cos \theta$ is even because
$$
\cos (-\theta)=\cos \theta
$$
as illustrated in Fig. 3.7. Other even functions include:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=a x^2 \
&f(x)=a x^4
\end{aligned}
$$

CS代写|计算机图形学作业代写computer graphics代考|Units of Angular Measurement

The measurement of angles is at the heart of trigonometry, and today two units of angular measurement are part of modern mathematics: degrees and radians. The degree (or sexagesimal) unit of measure derives from defining one complete rotation as $360^{\circ}$. Each degree divides into $60 \mathrm{~min}$, and each minute divides into $60 \mathrm{~s}$. The number 60 has survived from Mesopotamian days and appears rather incongruous when used alongside today’s decimal system-nevertheless, it is still convenient to work with degrees even though the radian is a natural feature of mathematics.
The radian of angular measure does not depend upon any arbitrary constant, and is often defined as the angle created by a circular arc whose length is equal to the circle’s radius. And because the perimeter of a circle is $2 \pi r, 2 \pi$ rad correspond to one complete rotation. As $360^{\circ}$ corresponds to $2 \pi$ rad, 1 rad equals $180^{\circ} / \pi$, which is approximately $57.3^{\circ}$. The following relationships between radians and degrees are worth remembering:
$$
\begin{aligned}
\frac{\pi}{2}[\mathrm{rad}] & \equiv 90^{\circ}, & \pi[\mathrm{rad}] & \equiv 180^{\circ} \
\frac{3 \pi}{2}[\mathrm{rad}] & \equiv 270^{\circ}, & 2 \pi[\mathrm{rad}] \equiv 360^{\circ} .
\end{aligned}
$$
To convert $x^{\circ}$ to radians:
$$
\frac{\pi x^{\circ}}{180}[\mathrm{rad}] .
$$
To convert $x$ [rad] to degrees:
$$
\frac{180 x}{\pi} \text { [degrees]. }
$$
For those readers wishing to know the background to radians we need to use power series. We start with the power series for $\mathrm{e}^\theta, \sin \theta$ and $\cos \theta$ :
$$
\begin{gathered}
\mathrm{e}^\theta=1+\frac{\theta^1}{1 !}+\frac{\theta^2}{2 !}+\frac{\theta^3}{3 !}+\frac{\theta^4}{4 !}+\frac{\theta^5}{5 !}+\frac{\theta^6}{6 !}+\frac{\theta^7}{7 !}+\frac{\theta^8}{8 !}+\frac{\theta^9}{9 !}+\cdots \
\sin \theta=\theta-\frac{\theta^3}{3 !}+\frac{\theta^5}{5 !}-\frac{\theta^7}{7 !}+\frac{\theta^9}{9 !}+\cdots \
\cos \theta=1-\frac{\theta^2}{2 !}+\frac{\theta^4}{4 !}-\frac{\theta^6}{6 !}+\frac{\theta^8}{8 !}+\cdots .
\end{gathered}
$$
Euler proved that these three power series are related, and when $\theta=\pi, \sin \theta=0$, and $\cos \theta=-1$. Figure $4.1$ shows curves of the sine power series for $3,5,7$ and 9 terms, and when $\theta=2 \pi$, the graph reaches zero.

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计算机图形学代考

CS代写|计算机图形学作业代写computer graphics代考|Odd and Even Functions

奇函数满足条件:
$$
f(-x)=-f(x)
$$
在哪里 $x$ 位于有效域中。因此,奇函数的图形相对于原点是对称的。例如, $\sin (\theta)$ 很奇怪,因为
$$
\sin (-\theta)=-\sin \theta
$$
如图 $3.6$ 所示。其他奇函数包括:
$$
f(x)=a x \quad f(x)=a x^3
$$
偶函数满足条件:
$$
f(-x)=f(x)
$$
在哪里 $x$ 位于有效域中。因此,偶函数的图形相对于 $f(x)$ 轴。例如。 $\cos \theta$ 甚至是因为
$$
\cos (-\theta)=\cos \theta
$$
如图 $3.7$ 所示。其他偶数功能包括:
$$
f(x)=a x^2 \quad f(x)=a x^4
$$

CS代写|计算机图形学作业代写computer graphics代考|Units of Angular Measurement

角度的测量是三角学的核心,今天有两个角度测量单位是现代数学的一部分:度数和弧度。度数(或六十 进制) 度量单位源自将一个完整的旋转定义为 $360^{\circ}$. 每个学位分为 $60 \mathrm{~min}$ ,每分钟分为 $60 \mathrm{~s}$. 数字 60 从美索 不达米亚时代延续至今,与今天的十进制系统一起使用时显得相当不协调一一尽管如此,尽管弧度是数学 的自然特征,但使用度数仍然很方便。
角度测量的弧度不依赖于任何任意常数,通常定义为由长度等于圆半径的圆弧产生的角度。因为圆的周长 是 $2 \pi r, 2 \pi r a d$ 对应于一个完整的旋转。作为 $360^{\circ}$ 对应于 $2 \pi$ 弧度, 1 弧度等于 $180^{\circ} / \pi$ ,大约是 $57.3^{\circ}$. 弧度 和度数之间的以下关系值得记住:
$$
\frac{\pi}{2}[\mathrm{rad}] \equiv 90^{\circ}, \quad \pi[\mathrm{rad}] \equiv 180^{\circ} \frac{3 \pi}{2}[\mathrm{rad}] \quad \equiv 270^{\circ}, 2 \pi[\mathrm{rad}] \equiv 360^{\circ} .
$$
转换 $x^{\circ}$ 到弧度:
$$
\frac{\pi x^{\circ}}{180}[\mathrm{rad}] .
$$
转换 $x[\mathrm{rad}]$ 度数:
$$
\frac{180 x}{\pi} \text { [degrees]. }
$$
对于那些苃望了解弧度背景的读者,我们需要使用幂级数。我们从幂级数开始 $\mathrm{e}^\theta, \sin \theta$ 和 $\cos \theta$ :
$$
\mathrm{e}^\theta=1+\frac{\theta^1}{1 !}+\frac{\theta^2}{2 !}+\frac{\theta^3}{3 !}+\frac{\theta^4}{4 !}+\frac{\theta^5}{5 !}+\frac{\theta^6}{6 !}+\frac{\theta^7}{7 !}+\frac{\theta^8}{8 !}+\frac{\theta^9}{9 !}+\cdots \sin \theta=\theta-\frac{\theta^3}{3 !}+\frac{\theta^5}{5 !}-\frac{\theta^7}{7 !}+\frac{\theta^9}{9 !}+
$$
欧拉证明了这三个幂级数是相关的,当 $\theta=\pi, \sin \theta=0$ ,和 $\cos \theta=-1$. 数字 $4.1$ 显示正弦幂级数的曲线 $3,5,7$ 和 9 个术语,以及何时 $\theta=2 \pi$ ,图形达到雽。

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