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5.17 Consider again the linear trend model (5.8): $x_t=\beta_0+\beta_1 t+\varepsilon_t$. As we have seen, correct specification of the trend is crucially important for unit root and stationarity testing. As was pointed out in $\$ \mathbf{5 . 9}$, incorrectly excluding a linear trend renders the $\tau_\mu$ statistic inconsistent, while it is also the case that unnecessarily including a trend vastly reduces the power of the $\tau_\tau$ test, with similar problems affecting the KPSS stationarity statistics $\eta_\mu$ and $\eta_\tau$

Often, however, the trend parameter $\beta_1$ is of direct interest, especially when ascertaining whether a trend is present $\left(\beta_1 \neq 0\right)$ or not $\left(\beta_1=0\right)$. This may be assessed by either constructing a direct test of the no trend hypothesis $\beta_1=0$ or by forming a confidence interval for $\beta_1$. Such tests rely on whether $\varepsilon_t$, and hence, $x_t$, is either $I(0)$ or $I(1)$, but this can only be established after a unit root or stationarity test has been performed-yet the properties of these latter tests rely, in turn, on whether a trend has been correctly included or not! This circularity of reasoning has prompted the development of trend function testing procedures that are robust, in the sense that, at least asymptotically, inference on the trend function is unaffected as to whether $\varepsilon_t$ is $I(0)$ or $I(1)$.
5.18 To develop robust tests of trend, we start with the simplest case in which $\varepsilon_t=\rho \varepsilon_{t-1}+a_t$, where $\varepsilon_t$ is $I(0)$ if $|\rho|<1$ and $I(1)$ if $\rho=1$. We then wish to test $H_0: \beta_1=\beta_1^0$ against the alternative $H_1: \beta_1 \neq \beta_1^0$. If $\varepsilon_t$ is known to be $I(0)$ then an optimal test of $H_0$ against $H_1$ is given by the “slope” $t$-ratio
$$
z_0=\frac{\hat{\beta}1-\beta_1^0}{s_0} \quad s_0=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}{\varepsilon}^2}{\sum_{t=1}^T(t-\bar{t})^2}}
$$
where $\hat{\sigma}{\varepsilon}^2=(T-2)^{-1} \sum{t=1}^T\left(x_t-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1 t\right)^2$ is the error variance from OLS estimation of (5.8). Under $H_0, z_0$ will be asymptotically standard normal.

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|Estimating the Trend in Central England Temperatures

Fig. $5.7$ shows the annual Central England temperature (CET) series. This is the longest available recorded instrumental temperature series in existence, beginning in 1659, and establishing its trend is clearly of great interest for debates concerning global warming. If it is assumed that deviations from a linear trend are $l(0)$, then estimating (5.8) with an autocorrelation correction obtains $\hat{\beta}_1=0.002749$ with $s_0=0.000745$, thus yielding $z_0=3.689$, which, when compared to a standard normal distribution, implies that the trend $\beta_1$ is significantly positive at $0.27^{\circ} \mathrm{C}$ per century.

On the other hand, assuming that the deviations are $l(1)$ obtains, from estimating (5.13) with an autocorrelation correction, $\tilde{\beta}_1=0.004777, s_1=0.007769$, and $z_1=0.615$, thus implying that although the estimate of the trend is nearly $50 \%$ higher than the $I(0)$ deviations estimate, it is nevertheless insignificantly different from zero, a consequence of $s_1$ being over ten times as large as $s_0$. Determining which of the two estimates to use is not resolved by computing unit root and stationarity tests, for $D F-G L S=-9.212$ and $\eta_T=0.189$, the former rejecting the unit root null at the $1 \%$ level, the latter rejecting the TS null at the $5 \%$ level!

This is clearly a situation when estimating the trend rohustly is called for. With the information presented, we obtain $\lambda=0.554, z_{0.554}=1.987$, $\hat{\beta}_{1,0.554}=0.002965$, and a $95 \%$ confidence interval for $\beta_1$ of $0.002965 \pm 0.002925$, i.e., approximately $0-0.6^{\circ} \mathrm{C}$ per century. The CET, therefore, has a trend that, with a $p$-value of $.023$, is a significantly positive $0.3^{\circ} \mathrm{C}$ per century.

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|STAT435

时间序列分析代考

统计代写|时间序列分析代写时间序列分析代考|稳健估计趋势


再次考虑线性趋势模型(5.8):$x_t=\beta_0+\beta_1 t+\varepsilon_t$。正如我们所看到的,正确的趋势规范对于单位根和平稳性检验是至关重要的。正如在$\$ \mathbf{5 . 9}$中所指出的,不正确地排除线性趋势会使$\tau_\mu$统计数据不一致,而不必要地包含趋势也会大大降低$\tau_\tau$测试的能力,类似的问题会影响KPSS平稳性统计数据$\eta_\mu$和$\eta_\tau$

通常是趋势参数 $\beta_1$ 是否有直接的利害关系,特别是在确定趋势是否存在时 $\left(\beta_1 \neq 0\right)$ 或者不是 $\left(\beta_1=0\right)$。这可以通过构建无趋势假设的直接检验来评估 $\beta_1=0$ 或者通过形成置信区间 $\beta_1$。这样的测试取决于是否 $\varepsilon_t$,因此, $x_t$,是 $I(0)$ 或 $I(1)$,但这只能在执行单位根或平稳性检验之后建立——然而,这些后一种检验的性质反过来依赖于趋势是否被正确包含!推理的这种循环性促使发展了健壮的趋势函数测试程序,至少在渐近的意义上,对趋势函数的推断不受是否 $\varepsilon_t$ 是 $I(0)$ 或 $I(1)$
5.18为了发展趋势的稳健检验,我们从最简单的情况开始 $\varepsilon_t=\rho \varepsilon_{t-1}+a_t$,其中 $\varepsilon_t$ 是 $I(0)$ 如果 $|\rho|<1$ 和 $I(1)$ 如果 $\rho=1$。然后我们希望进行测试 $H_0: \beta_1=\beta_1^0$ 反对另一种选择 $H_1: \beta_1 \neq \beta_1^0$。如果 $\varepsilon_t$ 是已知的 $I(0)$ 然后进行最优检验 $H_0$ 反对 $H_1$ 由斜率给出 $t$-ratio
$$
z_0=\frac{\hat{\beta}1-\beta_1^0}{s_0} \quad s_0=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}{\varepsilon}^2}{\sum_{t=1}^T(t-\bar{t})^2}}
$$
where $\hat{\sigma}{\varepsilon}^2=(T-2)^{-1} \sum{t=1}^T\left(x_t-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1 t\right)^2$ 为OLS估计的误差方差(5.8)。下面 $H_0, z_0$ 将是渐近标准法线。

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$5.7$显示每年英格兰中部的温度(CET)系列。从1659年开始,这是现存最长的有记录的仪器温度序列,确定其趋势显然对有关全球变暖的辩论有很大的兴趣。如果假设偏离线性趋势的偏差是$l(0)$,那么用自相关校正估计(5.8)得到$\hat{\beta}_1=0.002749$和$s_0=0.000745$,从而得到$z_0=3.689$,与标准正态分布相比,这意味着趋势$\beta_1$在每世纪$0.27^{\circ} \mathrm{C}$处显著为正


另一方面,假设偏差是$l(1)$得到的,通过自相关校正估计(5.13),$\tilde{\beta}_1=0.004777, s_1=0.007769$和$z_1=0.615$,从而意味着尽管趋势的估计比$I(0)$偏差估计高近$50 \%$,但它与零之间的差异不显著,这是$s_1$比$s_0$大十倍以上的结果。对于$D F-G L S=-9.212$和$\eta_T=0.189$,不能通过计算单位根和平平性检验来确定要使用两个估计值中的哪一个,前者在$1 \%$级别拒绝单位根null,后者在$5 \%$级别拒绝TS null !


这显然是一种需要稳健估计趋势的情况。根据提供的信息,我们得到$\lambda=0.554, z_{0.554}=1.987$、$\hat{\beta}_{1,0.554}=0.002965$和$0.002965 \pm 0.002925$的$\beta_1$的$95 \%$置信区间,即大约每世纪$0-0.6^{\circ} \mathrm{C}$。因此,CET有一个趋势,即$p$ -值为$.023$时,每世纪显著为正的$0.3^{\circ} \mathrm{C}$

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