统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT4061

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Partially observed data

Assume now that the Markov chain is only observed at a number of finite time points. Suppose, for example, that $x_0$ is a known initial state and that we observe $\mathbf{x}o=\left(x{n_1}, \ldots, x_{n_m}\right)$, where $n_1<\ldots<n_m \in N$. In this case, the likelihood function is
$$
l\left(\boldsymbol{P} \mid \mathbf{x}o\right)=\prod{i=1}^m p_{n_{i-1} n_i}^{\left(t_i-t_{i-1}\right)}
$$
where $p_{i j}^{(t)}$ represents the $(i, j)$ th element of the $t$ step transition matrix, defined in Section 1.3.1. In many cases, the computation of this likelihood will be complex. Therefore, it is often preferable to consider inference based on the reconstruction of missing observations. Let $\mathbf{x}m$ represent the unobserved states at times $1, \ldots$, $t_1-1, t_1+1, \ldots, t{n-1}-1, t_{n-1}+1, \ldots, t_n$ and let $\mathbf{x}$ represent the full data sequence. Then, given a matrix beta prior, we have that $\boldsymbol{P} \mid \mathbf{x}$ is also matrix beta. Furthermore, it is immediate that
$$
P\left(\mathbf{x}_m \mid \mathbf{x}_o, \boldsymbol{P}\right)=\frac{P(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{P})}{P\left(\mathbf{x}_o \mid \boldsymbol{P}\right)} \propto P(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{P}),
$$
which is easy to compute for given $\boldsymbol{P}, \mathbf{x}_m$. One possibility would be to set up a Metropolis within Gibbs sampling algorithm to sample from the posterior distribution of $\boldsymbol{P}$.

Such an approach is reasonable if the amount of missing data is relatively small. However, if there is much missing data, it will be very difficult to define an appropriate algorithm to generate data from $P\left(\mathbf{x}m \mid \mathbf{x}_o, \boldsymbol{P}\right)$ in (3.5). In such cases, one possibility is to generate the elements of $\mathbf{x}_m$ one by one, using individual Gibbs steps. Thus, if $t$ is a time point amongst the times associated with the missing observations, then we can generate a state $x_t$ using $$ P\left(x_t \mid \mathbf{x}{-t}, \boldsymbol{P}\right) \propto p_{x_{t-1} x_t} p_{x_t x_{t+1}}
$$
where $\mathbf{x}_{-t}$ represents the complete sequence of states except for the state at time $t$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Higher order chains and mixtures of Markov chains

Bayesian inference for the full $r$ th order Markov chain model can, in principle, be carried out in exactly the same way as inference for the first-order model, by expanding the number of states appropriately, as outlined in Section 3.2.2.

Example 3.11: In the Australian rainfall example, Markov chains of orders $r=2$ and 3 were considered. In each case, $\operatorname{Be}(1 / 2,1 / 2)$ priors were used for the first nonzero element of each row of the transition matrix and it was assumed that the initial $r$ states were generated from the equilibrium distribution. Then, the predictive equilibrium probabilities of the different states under each model are as follows The log marginal likelihoods are $-30.7876$ for the second-order model and $-32.1915$ for the third-order model, respectively, which suggest that the simple Markov chain model should be preferred.

Bayesian inference for the MTD model of (3.1) is also straightforward. Assume first that the order $r$ of the Markov chain mixture is known. Then, defining an indicator variable $Z_n$ such that $P\left(Z_n=z \mid \mathbf{w}\right)=w_z$, observe that the mixture transition model can be represented as
$$
P\left(X_n=x_n \mid X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_{n-r}=x_{n-r}, Z_n=z, P\right)=p_{x_{n-z} x_n} .
$$
Then, a posteriori,
$$
P\left(Z_n=z \mid X_n=x_n, \ldots, X_{n-r}=x_{n-r}, Z_n=z, P\right)=\frac{w_z p_{x_{n-z} x_n}}{\sum_{j=1}^r w_j p_{x_{n-j} x_n}}
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT4061

随机过程代考

统计代写|随机过程代写随机过程代考|部分观测数据


现在假设马尔可夫链只在有限的时间点上被观察到。例如,假设$x_0$是已知的初始状态,我们观察$\mathbf{x}o=\left(x{n_1}, \ldots, x_{n_m}\right)$,其中$n_1<\ldots<n_m \in N$。在本例中,似然函数为
$$
l\left(\boldsymbol{P} \mid \mathbf{x}o\right)=\prod{i=1}^m p_{n_{i-1} n_i}^{\left(t_i-t_{i-1}\right)}
$$
,其中$p_{i j}^{(t)}$表示在1.3.1节中定义的$t$阶跃跃迁矩阵的第$(i, j)$个元素。在许多情况下,这种可能性的计算将是复杂的。因此,考虑基于缺失观察的重建的推断通常是可取的。让$\mathbf{x}m$表示每次$1, \ldots$、$t_1-1, t_1+1, \ldots, t{n-1}-1, t_{n-1}+1, \ldots, t_n$未观察到的状态,让$\mathbf{x}$表示完整的数据序列。然后,给定一个矩阵先验,我们有$\boldsymbol{P} \mid \mathbf{x}$也是矩阵。此外,
$$
P\left(\mathbf{x}_m \mid \mathbf{x}_o, \boldsymbol{P}\right)=\frac{P(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{P})}{P\left(\mathbf{x}_o \mid \boldsymbol{P}\right)} \propto P(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{P}),
$$
是直接的,对于给定的$\boldsymbol{P}, \mathbf{x}_m$很容易计算。一种可能是在吉布斯抽样算法中建立Metropolis,从$\boldsymbol{P}$的后验分布中抽样。


如果丢失的数据量相对较小,这种方法是合理的。但是,如果有很多缺失的数据,在(3.5)中定义一个合适的算法从$P\left(\mathbf{x}m \mid \mathbf{x}o, \boldsymbol{P}\right)$生成数据将是非常困难的。在这种情况下,一种可能是使用单个吉布斯步骤逐个生成$\mathbf{x}_m$的元素。因此,如果$t$是与丢失的观测相关联的时间点中的一个时间点,那么我们可以使用$$ P\left(x_t \mid \mathbf{x}{-t}, \boldsymbol{P}\right) \propto p{x_{t-1} x_t} p_{x_t x_{t+1}}
$$
生成一个状态$x_t$,其中$\mathbf{x}_{-t}$表示状态的完整序列,但$t$时刻的状态除外

统计代写|随机过程代写随机过程代考|高阶链和马尔可夫链的混合物


对于完整的$r$阶马尔可夫链模型的贝叶斯推理,原则上可以用与一阶模型推理完全相同的方式进行,通过适当地扩大状态的数量,如第3.2.2节所述


例3.11:在澳大利亚降雨例子中,考虑了阶$r=2$和阶3的马尔可夫链。在每种情况下,对转换矩阵每一行的第一个非零元素使用$\operatorname{Be}(1 / 2,1 / 2)$先验,并假设初始$r$状态由平衡分布生成。二阶模型的对数边际似然值为$-30.7876$,三阶模型的对数边际似然值为$-32.1915$,表明应优先使用简单马尔可夫链模型

对于(3.1)MTD模型的贝叶斯推断也是直接的。首先假设已知马尔可夫链混合物的阶$r$。然后,定义一个指标变量$Z_n$,使$P\left(Z_n=z \mid \mathbf{w}\right)=w_z$,观察到混合跃迁模型可以表示为
$$
P\left(X_n=x_n \mid X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_{n-r}=x_{n-r}, Z_n=z, P\right)=p_{x_{n-z} x_n} .
$$
然后,一个后置,
$$
P\left(Z_n=z \mid X_n=x_n, \ldots, X_{n-r}=x_{n-r}, Z_n=z, P\right)=\frac{w_z p_{x_{n-z} x_n}}{\sum_{j=1}^r w_j p_{x_{n-j} x_n}}
$$

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