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Let $y_i=1$ if the $i$ th unit belongs to the group $A$, and let $y_i=0$ if the $i$ th unit does not belong to the group $A$. In this case $Y=N_A=$ total number of units that possess the attribute $A$ and $\bar{Y}=N_A / N=\pi_A=$ proportion of units in the population belonging to the group $A ; \bar{\gamma}\left(s_o\right)=n_A / n=$ $\widehat{\pi}A=$ proportion of units in the sample $s_o$ belonging to $A$, where $n_A$ is the total number of units in the sample that fall in group $A$. Now noting that (i) $\sigma_y^2=\sum{i=1}^N\left(y_i-\bar{Y}\right)^2 / N=\sum_{i=1}^N y_i / N-\bar{Y}^2=\pi_A\left(1-\pi_A\right)$ since $y_i=0$ or 1; and
(ii) $\widehat{\sigma}y^2=\sum{r=1}^n\left{\gamma_{(r)}-\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right}^2 /(n-1)=\frac{n}{n-1} \widehat{\pi}_A\left(1-\widehat{\pi}_A\right)$ we have the following theorem:
Theorem 3.3.2
(i) $\widehat{\pi}_A$ is an unbiased estimator for the population proportion $\pi_A$.
(ii) Variance of $\widehat{\pi}_A$ is $V\left(\widehat{\pi}_A\right)=\frac{\pi_A\left(1-\pi_A\right)}{n}$
(iii) An unbiased estimator of $V\left(\widehat{\pi}_A\right)$ is $\widehat{V}\left[\widehat{\pi}_A\right]=\frac{\widehat{\pi}_A\left(1-\widehat{\pi}_A\right)}{n-1}$
Remark 3.3.1
It is important to note that Theorems $3.3 .1$ and $3.3 .2$ can be obtained from Theorems $3.2 .2$ and $3.2 .8$ when $N$ is sufficiently large compared to $n$ so that the finite population correction term $f_n=n / N$ is ignored.
Example 3.3.1
From the list of 30 students given in the Example 3.2.1, select a sample of size 8 by the SRSWR method. From the selected sample, (i) estimate the mean height and weight of students (male and female combined) and obtain the variances of the estimator used. Estimate the SEs of the estimators. (ii) Estimate the proportion of the male and female students with their SEs.

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It follows from Section 2.7.3 that the estimator $\bar{\gamma}\left(s_o\right)$ is inadmissible because it is based on ordered data, which may consist of repletion of units, hence $\bar{y}\left(s_o\right)$ is not a function of a sufficient statistic. Let $s=\left(j_1, \ldots, j_v\right)$ denote the unordered sample obtained by taking distinct $\nu$ units $j_1, \ldots, j_\nu$ with $j_1<\cdots<j_v$. The unordered sample $s$ is a sufficient statistic. Hence, we can improve the inefficient estimator $\bar{y}\left(s_o\right)$ by applying the RaoBlackwellization technique. The improved estimator is given by $E\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right) \mid s\right]=\bar{\gamma}s=\sum{i \in s} \gamma_i / \nu=$ the sample mean based on the distinct units. The details have been given in the following theorems.
Theorem 3.3.3
Let $\bar{\gamma}s=\sum{i \in s} \gamma_i / \nu=\sum_{k=1}^\nu \gamma_{j_k} / \nu$ be the sample mean based on the distinct units of $s_0$. Then,
(i) $E\left[\bar{\gamma}s\right]=E\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right]=\bar{Y}$ (ii) $V\left[\bar{y}_s\right] \leq V\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right]$ Proof Let $n_i\left(s_o\right)$ denote the number of times the ith unit appears in $s_o$. Then writing, $$ \begin{aligned} \bar{y}\left(s_o\right) &=\sum{r=1}^n \gamma_{(r)} / n \
&=\sum_{i=1}^N n_i\left(s_o\right) y_i / n \
&=\sum_{k=1}^p n_{j k}\left(s_e\right) \gamma_{j k} / n
\end{aligned}
$$
where $n_{j_1}\left(s_o\right), \ldots, n_{j_\gamma}\left(s_o\right)$ denote the number of times the distinct units $j_1, \ldots, j_\nu$ appear in $s_0$.

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抽样调查代考

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让 $y_i=1$ 如果 $i$ th 单元属于该组 $A_{} \text { 然后让 } y_i=0 \text { 如果 } i \text { th 单元不属于该组 } A \text {. 在这种情况下 } Y=N_A=\text { 拥 }$ 有该風性的单位总数 $A$ 和 $\bar{Y}=N_A / N=\pi_A=$ 属于该组的人口中的单位比例 $A ; \bar{\gamma}\left(s_o\right)=n_A / n=\widehat{\pi} A=$ 样本中单位的比例 $s_o$ 属于 $A$ , 在哪里 $n_A$ 是样本中属于组的单位总数 $A$. 现在注意到 (i) $\sigma_y^2=\sum i=1^N\left(y_i-\bar{Y}\right)^2 / N=\sum_{i=1}^N y_i / N-\bar{Y}^2=\pi_A\left(1-\pi_A\right)$ 自从 $y_i=0$ 或 1 个i
ii)
我们有以下定理:
定理 3.3.2
(i) $\widehat{\pi}_A$ 是人口比例的无偏估计量 $\pi_A$.
(ii) 差异 $\widehat{\pi}_A$ 是 $V\left(\widehat{\pi}_A\right)=\frac{\pi_A\left(1-\pi_A\right)}{n}$
(iii) 无偏估计 $V\left(\widehat{\pi}_A\right)$ 是 $\widehat{V}\left[\widehat{\pi}_A\right]=\frac{\hat{\pi}_A\left(1-\widehat{\pi}_A\right)}{n-1}$
备注 3.3.1
重要的是要注意定理 $3.3 .1$ 和 $3.3 .2$ 可以从定理得到 $3.2 .2$ 和 $3.2 .8$ 什么时候 $N$ 与 $n$ 使得有限总体修正项 $f_n=n / N$ 被忽略。
示例 $3.3 .1$
从示例 3.2.1 中给出的 30 名学生列表中,通过 SRSWR 方法选择一个大小为 8 的样本。从所选样本中,(i)
估计学生的平均身高和体重 (男性和女性相结合),并获得所用估计量的方差。估计估计器的 SE。(ii) 估计 拥有社企的男女学生的比例。

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从第 $2.7 .3$ 节可以看出,估计量 $\bar{\gamma}\left(s_o\right)$ 是不可接受的,因为它是基于有序的数据,可能包括单位的重复,因 此 $\bar{y}\left(s_o\right)$ 不是充分统计量的函数。让 $s=\left(j_1, \ldots, j_v\right)$ 表示取不同的无序样本 $\nu$ 单位 $j_1, \ldots, j_\nu$ 和 $j_1<\cdots<j_v$. 无序样本 $s$ 是一个充分的统计量。因此,我们可以改进低效的估计器 $\bar{y}\left(s_o\right)$ 通过应用 RaoBlackwellization 技术。改进的估计器由下式给出 $E\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right) \mid s\right]=\bar{\gamma} s=\sum i \in s \gamma_i / \nu=$ 基于不同单位 的样本均值。详细内容已在以下定理中给出。
定理 $3.3 .3$
让 $\bar{\gamma} s=\sum i \in s \gamma_i / \nu=\sum_{k=1}^\nu \gamma_{j_k} / \nu$ 是基于不同单位的样本均值 $s_0$. 那么,
(一) $E[\bar{\gamma} s]=E\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right]=\bar{Y}$ (二) $V\left[\bar{y}s\right] \leq V\left[\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right]$ 证明让 $n_i\left(s_o\right)$ 表示第 i 个单位出现的次数 $s_o$. 然后 写作, $$ \bar{y}\left(s_o\right)=\sum r=1^n \gamma{(r)} / n \quad=\sum_{i=1}^N n_i\left(s_o\right) y_i / n=\sum_{k=1}^p n_{j k}\left(s_e\right) \gamma_{j k} / n
$$
在哪里 $n_{j_1}\left(s_o\right), \ldots, n_{j_\gamma}\left(s_o\right)$ 表示不同单位的次数 $j_1, \ldots, j_\nu$ 出现在 $s_0$.

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