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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|DETERMINATION OF SAMPLE SIZE

In any large- or small-scale survey, one has to determine the sample size, which will fulfill the objective of the survey. To get a representative sample, it is expected that the sample size should increase with the population size. In general, the sampling error decreases with the increase of sample size. However, the cost of a survey increases with the increase of sample size. The cost also increases with the increase of the size of the questionnaire because the investigator requires more time to complete a long questionnaire. The size of the sample is determined, considering available cost, time, and the degree of precision needed for estimation of parameters under consideration. In this section we will consider how one can determine an appropriate sample size for SRSWR and SRSWOR sampling designs.

Suppose the cost of a survey is expressed by a simple cost function $C=C_o+c n$ where $C_o$ is the overhead cost of the survey, which is fixed for a survey, i.e., independent of the sample size, and $c$ is the average cost for surveying a unit. Hence for a fixed available $\operatorname{cost} C=C^$ of a survey, one should select sample size $n=\left(C^-C_o\right) / c$.

The magnitude of the sampling error of an estimator is determined by its variance. Hence, one can determine the sample size that yields some specific value of variance, $V_0$, for example. To estimate the population mean $\bar{Y}$, if one uses the sample mean as an estimator and expects that the sample mean will have a specific value of its variance $V_0$, then $n$ can be derived from the relation
$$
V{\bar{y}(s)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right) S_y^2=V_0 \text { i.e., } n=\left(\frac{V_0}{S_y^2}+\frac{1}{N}\right)^{-1}(\text { for SRSWOR })
$$ and
$$
V\left{\bar{\gamma}\left(s_o\right)\right}=\frac{1}{n} \sigma_\gamma^2=V_0 \text { i.e., } n=\frac{\sigma_\gamma^2}{V_0} \quad \text { (for SRSWR) }
$$
To determine the value of $n$, one needs to know the value of $S_y^2$ ( or $\sigma_y^2=\frac{N-1}{N} S_y^2$ ), which is generally unknown. Hence, it is customary to use a value of $S_\gamma^2$ either from the past survey (or experience) or replace $S_\gamma^2$ by its estimate $s_y^2$ determined from a pilot survey.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Given Margin of Permissible Error

Here, sample size is determined by assigning the probability to a certain level, $(1-\alpha)$ (say) for the maximum permissible error (difference between the estimated and the true value of the parameter) to a certain value $d$. For instance, let $d$ be the permissible error, maximum acceptable difference between the estimator $t$, and the population mean $\bar{Y}$. The sample size is determined from the relation
$$
\operatorname{Prob}{|t-\bar{Y}| \leq d}=1-\alpha
$$
The above equation is equivalent to
$$
\text { Prob }\left{\frac{|t-\bar{Y}|}{\sqrt{V(t)}} \leq \frac{d}{\sqrt{V(t)}}\right}=1-\alpha
$$
Assuming the sample size to be so large, enabling $z=\frac{|t-\bar{Y}|}{\sqrt{V(t)}}$ distributed $N(0,1)$, one can determine the value of $n$ using the relation
$$
\frac{d}{\sqrt{V(t)}}=z_{\alpha / 2}
$$
For an SRSWOR design with $t=\bar{y}(s)$, Eq. (3.5.1) yields
$$
n=\left[\frac{1}{N}+\left(\frac{d}{S_Y z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}=\left[\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\left(\frac{k}{C_\gamma z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}
$$
where $k=d / \bar{Y}$
For an SRSWR design with $t=\gamma\left(s_e\right)$, Eq. (3.5.1) yields
$$
n=\left(\frac{\sigma_\gamma z_{\alpha / 2}}{d}\right)^2=\left(\frac{C_\gamma z_{\alpha / 2}}{k}\right)^2
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|STAT392

抽样调查代考

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|DETERMINATION OF SAMPLE SIZE

在任何大型或小型调查中,都必须确定样本量,这将实现调查的目标。为了获得具有代表性的样本,预计 样本量应随着人口规模的增加而增加。一般来说,抽样误差随着样本量的增加而减小。然而,调查的成本 随着样本量的增加而增加。成本也随着问卷规模的增加而增加,因为调查员需要更多的时间来完成一份长 问卷。考虑可用成本、时间和估计所考虑参数所需的精确度,确定样本的大小。在本节中,我们将考虑如 何为 SRSWR 和 SRSWOR 抽样设计确定合适的样本量
假设一项调查的成本由一个简单的成本函数表示 $C=C_o+c n$ 在哪里 $C_o$ 是调查的间接费用,对于调查而 言是固定的,即与样本量无关,并且 $c$ 是测量一个单位的平均成本。因此对于固定可用的
估计量的抽样误差的大小由其方差决定。因此,可以确定产生某些特定方差值的样本量, $V_0$ ,例如。估计 总体均值 $\bar{Y}$ ,如果使用样本均值作为估计量,并期望样本均值具有特定的方差值 $V_0$ ,然后 $n$ 可以从关系中 得出
$$
V \bar{y}(s)=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right) S_y^2=V_0 \text { i.e., } n=\left(\frac{V_0}{S_y^2}+\frac{1}{N}\right)^{-1}(\text { for SRSWOR })
$$

确定的价值 $n$ ,需要知道 $S_y^2$ (或者 $\sigma_y^2=\frac{N-1}{N} S_y^2$ ),这通常是末知的。因此,习愢上使用 $S_\gamma^2$ 来自过去的调查 (或经验) 或替换 $S_\gamma^2$ 据其估计 $s_y^2$ 由试点调查确定。

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在这里,样本大小是通过将概率分配到某个级别来确定的,(1- $\alpha$ ) (例如) 最大允许误差 (参数的估计值 和真实值之间的差异) 到某个值 $d$. 例如,让 $d$ 是允许误差,估计量之间的最大可接受差异 $t$, 人口均值 $\bar{Y}$. 样 本量由关系确定
$$
\operatorname{Prob}|t-\bar{Y}| \leq d=1-\alpha
$$
上式等价于
假设样本量很大,使 $z=\frac{|t-\bar{Y}|}{\sqrt{V(t)}}$ 分散式 $N(0,1)$, 可以确定 $n$ 使用关系
$$
\frac{d}{\sqrt{V(t)}}=z_{\alpha / 2}
$$
对于 SRSWOR 设计 $t=\bar{y}(s)$ ,方程。 $(3.5 .1)$ 产量
$$
n=\left[\frac{1}{N}+\left(\frac{d}{S_Y z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}=\left[\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\left(\frac{k}{C_\gamma z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}
$$
在哪里 $k=d / \bar{Y}$
对于 SRSWR 设计 $t=\gamma\left(s_e\right)$, 方程。(3.5.1) 产量
$$
n=\left(\frac{\sigma_\gamma z_{\alpha / 2}}{d}\right)^2=\left(\frac{C_\gamma z_{\alpha / 2}}{k}\right)^2
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考

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