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数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|GENERATING DIFFUSION PROCESSES
The Wiener process, denoted in this section by $\left{W_t, t \geqslant 0\right}$, plays an important role in probability and forms the basis of so-called diffusion processes, denoted here by $\left{X_t, t \geqslant 0\right}$. These are Markov processes with a continuous time parameter and with continuous sample paths, like the Wiener process.
A diffusion process is often specified as the solution of a stochastic differential equation (SDE), which is an expression of the form
$$
\mathrm{d} X_t=a\left(X_t, t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t, t\right) \mathrm{d} W_t,
$$
where $\left{W_t, t \geqslant 0\right}$ is a Wiener process and $a(x, t)$ and $b(x, t)$ are deterministic functions. The coefficient (function) $a$ is called the $d r i f t$, and $b^2$ is called the diffusion coefficient. When $a$ and $b$ are constants, say $a(x, t)=\mu$ and $b(x, t)=\sigma$, the resulting diffusion process is of the form
$$
X_t=\mu t+\sigma W_t
$$
and is called a Brownian motion with drift $\mu$ and diffusion coefficient $\sigma^2$.
A simple technique for approximately simulating diffusion processes is Euler’s method; see, for example, [4]. The idea is to replace the SDE with the stochastic difference equation
$$
Y_{k+1}=Y_k+a\left(Y_k, k h\right) h+b\left(Y_k, k h\right) \sqrt{h} Z_{k+1}, \quad k=0,1,2, \ldots,
$$
where $Z_1, Z_2, \ldots$ are independent $\mathrm{N}(0,1)$-distributed random variables. For a small step size $h$, the process $\left{Y_k, k=0,1,2, \ldots\right}$ approximates the process $\left{X_t, t \geqslant 0\right}$ in the sense that $Y_k \approx X_{k h}, k=0,1,2, \ldots$.
数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|GENERATING RANDOM PERMUTATIONS
Many Monte Carlo algorithms involve generating random permutations, that is, random ordering of the numbers $1,2, \ldots, n$, for some fixed $n$. For examples of interesting problems associated with the generation of random permutations, see the traveling salesman problem in Chapter 6 , the permanent problem in Chapter 9, and Example $2.15$ below.
Suppose that we want to generate each of the $n$ ! possible orderings with equal probability. We present two algorithms to achieve this. The first is based on the ordering of a sequence of $n$ uniform random numbers. In the second, we choose the components of the permutation consecutively. The second algorithm is faster than the first.
For example, let $n=4$ and assume that the generated numbers $\left(U_1, U_2, U_3\right.$, $\left.U_4\right)$ are $(0.7,0.3,0.5,0.4)$. Since $\left(U_2, U_4, U_3, U_1\right)=(0.3,0.4,0.5,0.7)$ is the ordered sequence, the resulting permutation is $(2,4,3,1)$. The drawback of this algorithm is that it requires ordering a sequence of $n$ random numbers, which requires $n \ln n$ comparisons.
As we mentioned, the second algorithm is based on the idea of generating the components of the random permutation one by one. The first component is chosen randomly (with equal probability) from $1, \ldots, n$. The next component is randomly chosen from the remaining numbers, and so on. For example, let $n=4$. We draw component 1 from the discrete uniform distribution on ${1,2,3,4}$. Say we obtain 2. Our permutation is thus of the form $(2, \cdot, \cdot, \cdot)$. We next generate from the three-point uniform distribution on ${1,3,4}$. Now, say 1 is chosen. Thus our intermediate result for the permutation is $(2,1, \cdot, \cdot)$. Last, for the third component, we can choose either 3 or 4 with equal probability. Suppose that we draw 4 . The resulting permutation is $(2,1,4,3)$. Generating a random variable $X$ from a discrete uniform distribution on $\left{x_1, \ldots, x_k\right}$ is done efficiently by first generating $I=\lfloor k U\rfloor+1$, with $U \sim \mathrm{U}(0,1)$ and returning $X=x_I$.
模拟和蒙特卡洛方法代考
数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写模拟和蒙特卡罗方法代考|生成扩散过程
维纳过程，在本节中用$\left{W_t, t \geqslant 0\right}$表示，在概率中起着重要的作用，形成了所谓扩散过程的基础，在这里用$\left{X_t, t \geqslant 0\right}$表示。这些是具有连续时间参数和连续样本路径的马尔可夫过程，就像维纳过程一样 扩散过程通常被指定为随机微分方程(SDE)的解，它是形式
$$
\mathrm{d} X_t=a\left(X_t, t\right) \mathrm{d} t+b\left(X_t, t\right) \mathrm{d} W_t,
$$
的表达式，其中$\left{W_t, t \geqslant 0\right}$是Wiener过程，$a(x, t)$和$b(x, t)$是确定性函数。系数(函数)$a$称为$d r i f t$, $b^2$称为扩散系数。当$a$和$b$是常数，比如$a(x, t)=\mu$和$b(x, t)=\sigma$，得到的扩散过程的形式为
$$
X_t=\mu t+\sigma W_t
$$
，被称为漂移$\mu$和扩散系数$\sigma^2$的布朗运动
近似模拟扩散过程的一种简单方法是欧拉方法;例如，[4]。其思想是用随机差分方程
$$
Y_{k+1}=Y_k+a\left(Y_k, k h\right) h+b\left(Y_k, k h\right) \sqrt{h} Z_{k+1}, \quad k=0,1,2, \ldots,
$$
替换SDE，其中$Z_1, Z_2, \ldots$是独立的$\mathrm{N}(0,1)$分布随机变量。对于小步长$h$，过程$\left{Y_k, k=0,1,2, \ldots\right}$在$Y_k \approx X_{k h}, k=0,1,2, \ldots$ . .com的意义上近似于过程$\left{X_t, t \geqslant 0\right}$ .com
数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写模拟和蒙特卡罗方法代考|生成随机排列
许多蒙特卡洛算法涉及生成随机排列，也就是说，对于某个固定的$n$，数字$1,2, \ldots, n$的随机排序。关于与随机排列生成相关的有趣问题的例子，请参见第6章中的旅行推销员问题，第9章中的永久问题，以及下面的例子$2.15$
假设我们想要生成每个$n$ !等概率的可能顺序。为此，我们提出了两种算法。第一个是基于$n$均匀随机数序列的排序。在第二种方法中，我们连续地选择排列的分量。第二种算法比第一种算法快
例如，设$n=4$，并假设生成的数字$\left(U_1, U_2, U_3\right.$, $\left.U_4\right)$为$(0.7,0.3,0.5,0.4)$。因为$\left(U_2, U_4, U_3, U_1\right)=(0.3,0.4,0.5,0.7)$是有序的序列，所以得到的排列是$(2,4,3,1)$。该算法的缺点是它需要对$n$随机数序列进行排序，这需要$n \ln n$比较 正如我们所提到的，第二种算法是基于一个一个地生成随机排列的分量的思想。第一个组件从$1, \ldots, n$随机选择(具有相等的概率)。下一个数字从剩下的数字中随机选择，依此类推。例如，让$n=4$。我们从${1,2,3,4}$上的离散均匀分布中提取组件1。假设我们得到2。因此，我们的排列形式是$(2, \cdot, \cdot, \cdot)$。接下来我们从${1,3,4}$上的三点均匀分布生成。现在，假设1被选中。因此排列的中间结果是$(2,1, \cdot, \cdot)$。最后，对于第三个分量，我们可以选择概率相等的3或4。假设我们画4。结果排列为$(2,1,4,3)$。从$\left{x_1, \ldots, x_k\right}$上的离散均匀分布生成随机变量$X$可以通过首先生成$I=\lfloor k U\rfloor+1$、$U \sim \mathrm{U}(0,1)$并返回$X=x_I$有效地完成。
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