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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Estimation and Practical

The parameter $\sigma^2$ is perhaps the most important parameter of a regression model because it measures prediction accuracy. As shown previously, another way to write the model is $Y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon$, where $\varepsilon \sim \mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)$. Thus the prediction error terms are the $\varepsilon$ values, and these differ from zero with a variance of $\sigma^2$.

If the $\beta^{\prime}$ ‘s were known (as is true in simulations but not in reality), you could calculate errors $\varepsilon_i=\left{Y_i-\left(\beta_0+\beta_1 x_i\right)\right}$ and obtain an unbiased estimate of $\sigma^2$ as:
(An unbiased estimator of $\sigma^2$ ) $=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2$
This estimator is unbiased because each individual $\varepsilon_i^2$ is an unbiased estimator of $\sigma^2$, which you can see as follows:
$$
\mathrm{E}\left(\varepsilon_i^2\right)=\mathrm{E}\left{\left(Y_i-\beta_0-\beta_1 x_i\right)^2\right}=\operatorname{Var}\left(Y_i \mid X=x_i\right)=\sigma^2 .
$$
Self-study question: Using the fact that each $\varepsilon_i^2$ is an unbiased estimator of $\sigma^2$, along with the linearity and additivity properties of expectation, demonstrate mathematically that estimator $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2$ is an unbiased estimator of $\sigma^2$.

However, in practice, you cannot use this estimator because the $\beta$ ‘s are unknown; thus the $\varepsilon$ ‘s are unknown (or unobservable) as well. But you can use a similar estimator based on the residuals $e_i=\left{Y_i-\left(\hat{\beta}0+\hat{\beta}_1 x_i\right)\right}$, which are observable: (Another estimator of $\sigma^2$ ) $=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n e_i^2$

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Standard Errors

The Gauss-Markov theorem states that the OLS estimator has minimum variance among linear unbiased estimators. What does “variance” of the OLS estimator refer to? Please look at Figure $3.1$ again: You can see that there is variability in the possible values of $\hat{\beta}_1$ ranging from $1.0$ to $2.0$. Variance of the estimator $\hat{\beta}_1$, denoted symbolically by $\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$, refers to the variance of the distribution $p\left(\hat{\beta}_1\right)$ that is shown in Figure $3.1$.

If the assumptions of the Gauss-Markov model are true, then the following formula gives the exact variance of the OLS estimator $\hat{\beta}_1$.
Variance of the OLS estimator $\hat{\beta}_1$
$$
\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)=\frac{\sigma^2}{(n-1) s_x^2}
$$
In the formula for $\operatorname{Var}\left(\beta_1\right)$, note that $s_x^2=\sum\left(x_i-\hat{\mu}_x\right)^2 /(n-1)$ is the usual estimate of the variance of $X$. Note that the $\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$ formula is conditional on the observed values of the $X$ data; this is apparent because $s_x^2$ is specifically a function of the observed $X$ data.

When coupled with unbiasedness of $\hat{\beta}_1$, smaller $\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$ implies a more accurate estimate, i.e., an estimate that tends to be closer to $\beta_1$. Hence, we have the following interesting conclusions regarding the accuracy of the OLS estimate $\hat{\beta}_1$ :
The OLS estimate $\hat{\beta}_1$ of $\beta_1$ is more accurate when:

  • $n$ is larger, and/or
  • $s_x^2$ is larger, and/or
  • $\sigma^2$ is smaller.
    As mentioned above, the formula given for $\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$ can be mathematically derived from the assumptions of the Gauss-Markov model. Violation of assumptions renders the formula incorrect. In particular, violation of the homoscedasticity assumption is the rationale for using heteroscedasticity-consistent standard errors, which are covered in Chapter 12.
    Strangely enough, the mathematics needed to prove the variance formula is easier in the multiple regression model, so we will prove it later in Chapter 7. But for now, you should understand the assumptions that imply the result (e.g., the classical model) and the result itself (the formula for $\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$ ) by using simulation: If you simulate many thousands of data sets from the same model, with the same sample size, and with the same $X$ data, then the sample variance estimate of the resulting thousands of $\hat{\beta}_1$ estimates will be (within simulation error) equal to $\sigma^2 /\left{(n-1) s_x^2\right}$. The simulation also clarifies the “conditional on observed values of the $X$ data” interpretation because the $X$ data are the same for every simulated data set.
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|STA321

回归分析代考

统计代写|回归分析作业代写回归分析代考|估计与实践


参数$\sigma^2$可能是回归模型中最重要的参数,因为它衡量预测的准确性。如前所述,编写模型的另一种方法是$Y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon$,其中$\varepsilon \sim \mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)$。因此,预测误差项是$\varepsilon$值,这些值不同于零,方差为$\sigma^2$。

如果$\beta^{\prime}$ ‘s是已知的(这在模拟中是正确的,但在现实中不是),你可以计算误差$\varepsilon_i=\left{Y_i-\left(\beta_0+\beta_1 x_i\right)\right}$并获得$\sigma^2$的无偏估计为:
($\sigma^2$的无偏估计)$=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2$
这个估计是无偏的,因为每个$\varepsilon_i^2$是$\sigma^2$的无偏估计,你可以看到如下:
$$
\mathrm{E}\left(\varepsilon_i^2\right)=\mathrm{E}\left{\left(Y_i-\beta_0-\beta_1 x_i\right)^2\right}=\operatorname{Var}\left(Y_i \mid X=x_i\right)=\sigma^2 .
$$
自学问题:利用每个$\varepsilon_i^2$是$\sigma^2$的无偏估计量这一事实,以及期望的线性和可加性性质,从数学上证明估计量$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2$是$\sigma^2$的无偏估计量 然而,在实践中,你不能使用这个估计器,因为$\beta$的是未知的;因此$\varepsilon$也是未知的(或不可观察的)。但您可以使用基于残差$e_i=\left{Y_i-\left(\hat{\beta}0+\hat{\beta}_1 x_i\right)\right}$的类似估计量,这是可观察到的:($\sigma^2$的另一个估计量)$=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n e_i^2$

统计代写|回归分析作业代写回归分析代考|标准误差


高斯-马尔可夫定理表明OLS估计量在线性无偏估计量中具有最小方差。OLS估计量的“方差”指的是什么?请再次查看图$3.1$:您可以看到$\hat{\beta}_1$的可能值在$1.0$到$2.0$之间存在变化。估计量$\hat{\beta}_1$的方差,用$\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$符号表示,指的是分布$p\left(\hat{\beta}_1\right)$的方差,如图$3.1$。

如果高斯-马尔科夫模型的假设成立,那么下面的公式给出OLS估计量的准确方差$\hat{\beta}_1$
OLS估计量的方差$\hat{\beta}_1$
$$
\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)=\frac{\sigma^2}{(n-1) s_x^2}
$$
在$\operatorname{Var}\left(\beta_1\right)$的公式中,注意$s_x^2=\sum\left(x_i-\hat{\mu}_x\right)^2 /(n-1)$是$X$的方差的通常估计。注意,$\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$公式的条件是$X$数据的观测值;这是显而易见的,因为$s_x^2$是观察到的$X$数据的具体函数

当加上$\hat{\beta}_1$的无偏性时,较小的$\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$意味着更准确的估计,即倾向于更接近$\beta_1$的估计。因此,关于OLS估计的准确性,我们有以下有趣的结论:$\hat{\beta}_1$:
$\beta_1$的OLS估计$\hat{\beta}_1$在以下条件下更准确:

  • $n$较大,/或
  • $s_x^2$较大,/或
  • $\sigma^2$较小。如上所述,$\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$给出的公式可以从高斯-马尔可夫模型的假设中数学推导出来。违反假设使公式不正确。特别是,违反同方差假设是使用异方差一致标准误差的基本原理,这将在第12章中介绍。奇怪的是,证明方差公式所需的数学在多元回归模型中更容易,所以我们将在后面的第7章中证明它。但是现在,您应该通过使用模拟来理解隐含结果(例如,经典模型)和结果本身($\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_1\right)$的公式)的假设:如果您模拟来自相同模型的数千个数据集,具有相同的样本量和相同的$X$数据,那么结果数千个$\hat{\beta}_1$估计的样本方差估计将(在模拟误差范围内)等于$\sigma^2 /\left{(n-1) s_x^2\right}$。模拟还阐明了“$X$数据的观测值有条件”解释,因为$X$数据对于每个模拟数据集都是相同的。
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