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统计代写|概率论代写Probability theory代考|Uniform Integrability and Optional Sampling

We extend the optional sampling theorem to unbounded stopping times. We will see that this is possible if the underlying martingale is uniformly integrable (compare Definition 6.16).

Lemma 10.20 Let $\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ be a uniformly integrable martingale. Then the family $\left(X\tau: \tau\right.$ is a finite stopping time $)$ is uniformly integrable.

Proof By Theorem 6.19, there exists a monotone increasing, convex function $f$ : $[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ with $\liminf {x \rightarrow \infty} f(x) / x=\infty$ and $L:=\sup {n \in \mathbb{N}0} \mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right)\right]<$ $\infty$. If $\tau<\infty$ is a finite stopping time, then by the optional sampling theorem for bounded stopping times (Theorem $10.11$ with $\tau=n$ and $\sigma=\tau \wedge n$ ), $\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}{\tau \wedge n}\right]=$ $X_{\tau \wedge n}$. Since ${\tau \leq n} \in \mathcal{F}{\tau \wedge n}$, Jensen’s inequality yields $$ \begin{aligned} \mathbf{E}\left[f\left(\left|X\tau\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] &=\mathbf{E}\left[f\left(\left|X{\tau \wedge n}\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \ & \leq \mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right) \mid \mathcal{F}{\tau \wedge n}\right] \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \ &=\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \leq L .
\end{aligned}
$$
Hence $\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_\tau\right|\right)\right] \leq L$. By Theorem 6.19, the family
$\left{X_\tau, \tau\right.$ is a finite stopping time $}$
is uniformly integrable.
Theorem 10.21 (Optional sampling and uniform integrahility) I.et ( $X_n, n \in$ $\mathbb{N}0$ ) be a uniformly integrable martingale (respectively supermartingale) and let $\sigma \leq \tau$ be finite stopping times. Then $\mathbf{E}\left[\left|X\tau\right|\right]<\infty$ and $X_\sigma=\mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}\sigma\right]$ (respectively $X\sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma\right]$ ).

Proof First let $X$ be a martingale. We have ${\sigma \leq n} \cap F \in \mathcal{F}{\sigma \wedge n}$ for all $F \in \mathcal{F}\sigma$. Hence, by the optional sampling theorem (Theorem 10.11),
$$
\mathbf{E}\left[X_{\tau \wedge n} \mathbb{1}{{\sigma \leq n \backslash \cap F}\right]=\mathbf{E}\left[X{\sigma \wedge n} \mathbb{1}_{{\sigma \leq n} \cap F}\right] .
$$

统计代写|概率论代写Probability theory代考|Doob’s Inequality

With Kolmogorov’s inequality (Theorem 5.28), we became acquainted with an inequality that bounds the probability of large values of the maximum of a square integrable process with independent centered increments. Here we want to improve this inequality in two directions. On the one hand, we replace the independent increments by the assumption that the process of partial sums is a martingale. On the other hand, we can manage with less than second moments; alternatively, we can get better bounds if we have higher moments.

Let $I \subset \mathbb{N}0$ and let $X=\left(X_n\right){n \in I}$ be a stochastic process. For $n \in \mathbb{N}$, we denote
$$
X_n^=\sup \left{X_k: k \leq n\right} \quad \text { and } \quad|X|n^=\sup \left{\left|X_k\right|: k \leq n\right} .
$$
Lemma 11.1 If $X$ is a submartingale, then, for all $\lambda>0$,
$$
\lambda \mathbf{P}\left[X_n^* \geq \lambda\right] \leq \mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}{\left(X_n^* \geq \lambda\right}}\right] \leq \mathbf{E}\left[\left|X_n\right| \mathbb{1}_{\left{X_n^* \geq \lambda\right]}\right] .
$$

Proof The second inequality is trivial. For the first one, let
$$
\tau:=\inf \left{k \in I: X_k \geq \lambda\right} \wedge n .
$$
By Theorem $10.11$ (optional sampling theorem),
$$
\begin{aligned}
\mathbf{E}\left[X_n\right] \geq \mathbf{E}\left[X_\tau\right] &=\mathbf{E}\left[X_\tau \mathbb{1}{\left(X_n^* \geq \lambda\right}}\right]+\mathbf{E}\left[X\tau \mathbb{1}{\left(X_n^<\lambda\right}}\right] \ & \geq \lambda \mathbf{P}\left[X_n^ \geq \lambda\right]+\mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}{\left(X_n^<\lambda\right}}\right] . \end{aligned} $$ (Note that $\tau=n$ if $X_n^<\lambda$.) Now subtract $\mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}_{\left(X_n^<\lambda\right]}\right]$. Theorem 11.2 (Doob’s $L^p$-inequality) Let $X$ be a martingale or a positive submartingale. (i) For any $p \geq 1$ and $\lambda>0$, $$ \lambda^p \mathbf{P}\left[|X|_n^ \geq \lambda\right] \leq \mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] . $$ (ii) For any $p>1$,
$$
\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] \leq \mathbf{E}\left[\left(|X|_n^*\right)^p\right] \leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] .
$$
Proof We follow the proof in [145]. As all the statements in (i) and (ii) are trivially true if $\mathbf{E}\left[|X|_n^p\right]=\infty$, we may and will assume that $\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right]<\infty$.

概率论代考

统计代写|概率论代写概率论代考|均匀可积性和可选抽样

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我们将可选抽样定理扩展到无界停止时间。我们将看到，如果底层鞅是一致可积的，这是可能的(比较定义6.16)

引理10.20设$\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$是一个一致可积鞅。则族$\left(X\tau: \tau\right.$是有限停止时间$)$是一致可积的

证明根据定理6.19，存在单调递增凸函数$f$: $[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$与$\liminf {x \rightarrow \infty} f(x) / x=\infty$和$L:=\sup {n \in \mathbb{N}0} \mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right)\right]<$$\infty$。如果$\tau<\infty$是一个有限的停止时间，那么根据有界停止时间的可选抽样定理(定理$10.11$ with $\tau=n$ and $\sigma=\tau \wedge n$)， $\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}{\tau \wedge n}\right]=$$X_{\tau \wedge n}$。由于${\tau \leq n} \in \mathcal{F}{\tau \wedge n}$, Jensen不等式得到$$ \begin{aligned} \mathbf{E}\left[f\left(\left|X\tau\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] &=\mathbf{E}\left[f\left(\left|X{\tau \wedge n}\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \ & \leq \mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right) \mid \mathcal{F}{\tau \wedge n}\right] \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \ &=\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_n\right|\right) \mathbb{1}{{\tau \leq n}}\right] \leq L .
\end{aligned}
$$
，因此$\mathbf{E}\left[f\left(\left|X_\tau\right|\right)\right] \leq L$。根据定理6.19，族
$\left{X_\tau, \tau\right.$是有限停止时间$}$
是一致可积的。
定理10.21(可选采样和一致可积性)I.et ($X_n, n \in$$\mathbb{N}0$)是一致可积鞅(分别为超鞅)，设$\sigma \leq \tau$是有限停止时间。然后是$\mathbf{E}\left[\left|X\tau\right|\right]<\infty$和$X_\sigma=\mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}\sigma\right]$(分别为$X\sigma \geq \mathbf{E}\left[X_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma\right]$)。

证明首先让$X$是一个鞅。我们有${\sigma \leq n} \cap F \in \mathcal{F}{\sigma \wedge n}$为所有$F \in \mathcal{F}\sigma$。因此，根据可选抽样定理(定理10.11)，
$$
\mathbf{E}\left[X_{\tau \wedge n} \mathbb{1}{{\sigma \leq n \backslash \cap F}\right]=\mathbf{E}\left[X{\sigma \wedge n} \mathbb{1}_{{\sigma \leq n} \cap F}\right] .
$$

统计代写|概率论代写概率论代考|杜伯不等式

通过Kolmogorov不等式(定理5.28)，我们了解了一个不等式，它限制了具有独立中心增量的平方可积过程最大值的概率。在这里，我们想从两个方面改善这种不平等。一方面，我们用部分和过程是鞅的假设来代替独立的增量。另一方面，我们可以处理小于秒的瞬间;或者，如果我们有更高的矩，我们可以得到更好的边界

设$I \subset \mathbb{N}0$和$X=\left(X_n\right){n \in I}$是一个随机过程。对于$n \in \mathbb{N}$，我们表示
$$
X_n^=\sup \left{X_k: k \leq n\right} \quad \text { and } \quad|X|n^=\sup \left{\left|X_k\right|: k \leq n\right} .
$$
引理11.1如果$X$是一个亚鞅，那么，对于所有$\lambda>0$，
$$
\lambda \mathbf{P}\left[X_n^* \geq \lambda\right] \leq \mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}{\left(X_n^* \geq \lambda\right}}\right] \leq \mathbf{E}\left[\left|X_n\right| \mathbb{1}_{\left{X_n^* \geq \lambda\right]}\right] .
$$

第二个不等式是微不足道的。对于第一个，让
$$
\tau:=\inf \left{k \in I: X_k \geq \lambda\right} \wedge n .
$$
By定理$10.11$(可选抽样定理)，
$$
\begin{aligned}
\mathbf{E}\left[X_n\right] \geq \mathbf{E}\left[X_\tau\right] &=\mathbf{E}\left[X_\tau \mathbb{1}{\left(X_n^* \geq \lambda\right}}\right]+\mathbf{E}\left[X\tau \mathbb{1}{\left(X_n^<\lambda\right}}\right] \ & \geq \lambda \mathbf{P}\left[X_n^ \geq \lambda\right]+\mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}{\left(X_n^<\lambda\right}}\right] . \end{aligned} $$(注意$\tau=n$ if $X_n^<\lambda$ .)现在减去$\mathbf{E}\left[X_n \mathbb{1}_{\left(X_n^<\lambda\right]}\right]$。定理11.2 (Doob’s $L^p$ -不等式)设$X$为鞅或正次鞅。(i)对于任何$p \geq 1$和$\lambda>0$, $$ \lambda^p \mathbf{P}\left[|X|_n^ \geq \lambda\right] \leq \mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] . $$ (ii)对于任何$p>1$，
$$
\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] \leq \mathbf{E}\left[\left(|X|_n^*\right)^p\right] \leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right] .
$$
证明我们遵循[145]中的证明。如果$\mathbf{E}\left[|X|_n^p\right]=\infty$， (i)和(ii)中的所有陈述都是微不足道的真，我们可以并且将会假设$\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|^p\right]<\infty$ . . .

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