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统计代写|概率论代写Probability theory代考|Discrete Martingale Representation Theorem and the CRR Model

By virtue of the stochastic integral, we have transformed a martingale $X$ via a gambling strategy $H$ into a new martingale $H \cdot X$. Let us change the perspective and ask: For fixed $X$, which are the martingales $Y$ (with $Y_0=0$ ) that can be obtained as discrete stochastic integrals of $X$ with a suitable gambling strategy $H=H(Y)$ ? Possibly all martingales $Y$ ? This is not the case, in general, as the example below indicates. However, we will see that all martingales can be represented as stochastic integrals if the increments $X_{n+1}-X_n$ can take only two values (given $X_1, \ldots, X_n$ ). In this case, we give a representation theorem and use it to discuss the fair price for a European call option in the stock market model of CoxRoss-Rubinstein. This model is rather simple and describes an idealized market (no transaction costs, fractional numbers of stocks tradeable and so on). For extensive literature on stochastic aspects of mathematical finance, we refer to the textbooks $[9,42,48,57,86,102,121]$ or $[160]$.

Example $9.41$ Consider the very simple martingale $X=\left(X_n\right)_{n=0,1}$ with only two time points. Let $X_0-0$ almost surely and $\mathbf{P}\left[X_1–1\right]-\mathbf{P}\left[X_1-0\right]-\mathbf{P}\left[X_1-\right.$ $1]=\frac{1}{3}$. Let $Y_0=0$. Further, let $Y_1=2$ if $X_1=1$ and $Y_1=-1$ otherwise. Then $Y$ is manifestly a $\sigma(X)$-martingale. However, there is no number $H_1$ such that $H_1 X_1=Y_1$

Let $T \in \mathbb{N}$ be a fixed time. If $\left(Y_n\right)_{n=0,1, \ldots, T}$ is an $\mathbb{F}$-martingale, then $Y_n=$ $\mathbf{E}\left[Y_T \mid \mathcal{F}_n\right]$ for all $n \leq T$. An $\mathbb{F}$-martingale $Y$ is thus determined uniquely by the terminal values $Y_T$ (and vice versa). Let $X$ be a martingale. As $(H \cdot X)$ is a martingale, the representation problem for martingales is thus reduced to the problem of representing an integrable random variable $V:=Y_T$ as $v_0+(H \cdot X)_T$, where $v_0=\mathbf{E}\left\lceil Y_T\right]$

We saw that, in general, this is not possible if the differences $X_{n+1}-X_n$ take three (or more) different values. Hence we now consider the case where only two values are possible. Here, at each time step, a system of two linear equations with two unknowns has to be solved. In the case where $X_{n+1}-X_n$ takes three values, the system has three equations and is thus overdetermined.

统计代写|概率论代写Probability theory代考|Doob Decomposition and Square Variation

Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ be an adapted process with $\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|\right]<\infty$ for all $n \in \mathbb{N}_0$. We will decompose $X$ into a sum consisting of a martingale and a predictable process. To this end, for $n \in \mathbb{N}_0$, define $$ M_n:=X_0+\sum{k=1}^n\left(X_k-\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]\right) $$ and $$ A_n:=\sum{k=1}^n\left(\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]-X{k-1}\right)
$$
Evidently, $X_n=M_n+A_n$. By construction, $A$ is predictable with $A_0=0$, and $M$ is a martingale since
$$
\mathbf{E}\left[M_n-M_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right]=\mathbf{E}\left[X_n-\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}{n-1}\right] \mid \mathcal{F}_{n-1}\right]=0
$$

Theorem 10.1 (Doob decomposition) Let $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}_0}$ be an adapted integrable process. Then there exists a unique decomposition $X=M+A$, where $A$ is predictable with $A_0=0$ and $M$ is a martingale. This representation of $X$ is called the Doob decomposition. $X$ is a submartingale if and only if $A$ is monotone increasing.

Proof We only have to show uniqueness of the decomposition. Hence, let $X=$ $M+A=M^{\prime}+A^{\prime}$ be two such decompositions. Then $M-M^{\prime}=A^{\prime}-A$ is a predictable martingale; hence (see Exercise 9.2.2) $M_n-M_n^{\prime}=M_0-M_0^{\prime}=0$ for all $n \in \mathbb{N}_0$.

Example 10.2 Let $I=\mathbb{N}0$ or $I={0, \ldots, N}$. Let $\left(X_n\right){n \in I}$ be a square integrable $\mathbb{F}$-martingale (that is, $\mathbf{E}\left[X_n^2\right]<\infty$ for all $\left.n \in I\right)$. By Theorem $9.35, Y:=\left(X_n^2\right){n \in I}$ is a submartingale. Let $Y=M+A$ be the Doob decomposition of $Y$. Then $\left(X_n^2-\right.$ $\left.A_n\right){n \in I}$ is a martingale. Furthermore, $\mathbf{E}\left[X_{i-1} X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]=X{i-1} \mathbf{E}\left[X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]=$ $X{i-1}^2$; hence (as in (10.1))
$$
\begin{aligned}
A_n &=\sum_{i=1}^n\left(\mathbf{E}\left[X_i^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right]-X{i-1}^2\right) \
&=\sum_{i=1}^n\left(\mathbf{E}\left[\left(X_i-X_{i-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right]-2 X{i-1}^2+2 \mathbf{E}\left[X_{i-1} X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]\right) \ &=\sum{i=1}^n \mathbf{E}\left[\left(X_i-X_{i-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right] . \quad \diamond \end{aligned} $$ Definition 10.3 Let $\left(X_n\right){n \in I}$ be a square integrable $\mathbb{F}$-martingale. The unique predictable process $A$ for which $\left(X_n^2-A_n\right){n \in I}$ becomes a martingale is called the square variation process of $X$ and is denoted by $\left(\langle X\rangle_n\right){n \in I}:=A$.

概率论代考

统计代写|概率论代写概率论代考|离散鞅表示定理和CRR模型

借助随机积分，我们通过赌博策略$H$将一个鞅$X$转化为一个新的鞅$H \cdot X$。让我们换个角度问:对于固定的$X$，哪些鞅$Y$(带$Y_0=0$)可以用适当的赌博策略$H=H(Y)$作为$X$的离散随机积分?可能所有的鞅$Y$ ?通常情况下，情况并非如此，如下例所示。然而，我们将看到，如果增量$X_{n+1}-X_n$只能取两个值(给定$X_1, \ldots, X_n$)，那么所有鞅都可以表示为随机积分。在这种情况下，我们给出了一个表示定理，并用它来讨论CoxRoss-Rubinstein股票市场模型中欧洲看涨期权的公平价格。这个模型相当简单，它描述了一个理想的市场(没有交易成本，可交易的股票数量很少，等等)。关于数学金融随机方面的广泛文献，我们参考教科书$[9,42,48,57,86,102,121]$或$[160]$。

示例$9.41$考虑非常简单的鞅$X=\left(X_n\right)_{n=0,1}$，只有两个时间点。让$X_0-0$几乎肯定和$\mathbf{P}\left[X_1–1\right]-\mathbf{P}\left[X_1-0\right]-\mathbf{P}\left[X_1-\right.$$1]=\frac{1}{3}$。让$Y_0=0$。此外，让$Y_1=2$如果$X_1=1$和$Y_1=-1$否则。那么$Y$显然是一个$\sigma(X)$ -鞅。但是，没有数字$H_1$使得$H_1 X_1=Y_1$

让$T \in \mathbb{N}$成为固定的时间。如果$\left(Y_n\right)_{n=0,1, \ldots, T}$是$\mathbb{F}$ -鞅，那么所有$n \leq T$都是$Y_n=$$\mathbf{E}\left[Y_T \mid \mathcal{F}_n\right]$。$\mathbb{F}$ -martingale $Y$因此由终端值$Y_T$惟一确定(反之亦然)。让$X$成为一个鞅。由于$(H \cdot X)$是一个鞅，因此鞅的表示问题被简化为将一个可积随机变量$V:=Y_T$表示为$v_0+(H \cdot X)_T$的问题，其中$v_0=\mathbf{E}\left\lceil Y_T\right]$

我们看到，一般来说，如果差异$X_{n+1}-X_n$有三个(或更多)不同的值，这是不可能的。因此，我们现在考虑只有两个值可能的情况。这里，在每一个时间步上，一个两个线性方程组有两个未知数。在$X_{n+1}-X_n$取三个值的情况下，系统有三个方程，因此是超定的

统计代写|概率论代写概率论代考|Doob分解与平方变分

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让$X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$成为一个与$\mathbf{E}\left[\left|X_n\right|\right]<\infty$一起为所有$n \in \mathbb{N}_0$改编的过程。我们将把$X$分解为由鞅和可预测过程组成的和。为此，对于$n \in \mathbb{N}_0$，定义$$ M_n:=X_0+\sum{k=1}^n\left(X_k-\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]\right) $$和$$ A_n:=\sum{k=1}^n\left(\mathbf{E}\left[X_k \mid \mathcal{F}{k-1}\right]-X{k-1}\right)
$$
显然是$X_n=M_n+A_n$。通过构造，$A$与$A_0=0$是可预测的，而$M$是鞅，因为
$$
\mathbf{E}\left[M_n-M_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right]=\mathbf{E}\left[X_n-\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}{n-1}\right] \mid \mathcal{F}_{n-1}\right]=0
$$

定理10.1 (Doob分解)设$X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}_0}$是一个适应的可积过程。然后存在一个独特的分解$X=M+A$，其中$A$与$A_0=0$是可预测的，$M$是鞅。$X$的这种表示称为Doob分解。当且仅当$A$为单调递增时，$X$为次鞅值 证明我们只需要证明分解的唯一性。因此，让$X=$$M+A=M^{\prime}+A^{\prime}$是两个这样的分解。那么$M-M^{\prime}=A^{\prime}-A$是一个可预测的鞅;因此(见练习9.2.2)$M_n-M_n^{\prime}=M_0-M_0^{\prime}=0$为所有$n \in \mathbb{N}_0$ .

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示例10.2输入$I=\mathbb{N}0$或$I={0, \ldots, N}$。设$\left(X_n\right){n \in I}$是一个平方可积$\mathbb{F}$ -鞅(即所有$\left.n \in I\right)$的$\mathbf{E}\left[X_n^2\right]<\infty$。根据定理$9.35, Y:=\left(X_n^2\right){n \in I}$是一个次鞅。假设$Y=M+A$是$Y$的Doob分解。那么$\left(X_n^2-\right.$$\left.A_n\right){n \in I}$就是一个鞅。此外，$\mathbf{E}\left[X_{i-1} X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]=X{i-1} \mathbf{E}\left[X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]=$$X{i-1}^2$;因此(如(10.1))
$$
\begin{aligned}
A_n &=\sum_{i=1}^n\left(\mathbf{E}\left[X_i^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right]-X{i-1}^2\right) \
&=\sum_{i=1}^n\left(\mathbf{E}\left[\left(X_i-X_{i-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right]-2 X{i-1}^2+2 \mathbf{E}\left[X_{i-1} X_i \mid \mathcal{F}{i-1}\right]\right) \ &=\sum{i=1}^n \mathbf{E}\left[\left(X_i-X_{i-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{i-1}\right] . \quad \diamond \end{aligned} $$定义10.3让$\left(X_n\right){n \in I}$是一个平方可积$\mathbb{F}$ -鞅。$\left(X_n^2-A_n\right){n \in I}$成为鞅的唯一可预测过程$A$称为$X$的平方变分过程，用$\left(\langle X\rangle_n\right){n \in I}:=A$表示。

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