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统计代写|概率论代写Probability theory代考|Martingales

Everyone who does not own a casino would agree without hesitation that the successive payment of gains $Y_1, Y_2, \ldots$, such that $Y_1, Y_2, \ldots$ are i.i.d. with $\mathbf{E}\left[Y_1\right]=$ 0 , could be considered a fair game consisting of consecutive rounds. In this case, the process $X$ of partial sums $X_n=Y_1+\ldots+Y_n$ is integrable and $\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}_m\right]=X_m$ if $m<n$ (where $\mathbb{F}=o(X)$ ). We want to use this equation for the conditional expectations as the defining equation for a fair game that in the following will be called a martingale. Note that, in particular, this definition does not require that the individual payments be independent or identically distributed. This makes the notion quite a bit more flexible. The momentousness of the following concept will become manifest only gradually.

Definition $9.24$ Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be a probability space, $I \subset \mathbb{R}$, and let $\mathbb{F}$ be a filtration. Let $X=\left(X_t\right)_{t \in I}$ be a real-valued, adapted stochastic process with $\mathbf{E}\left[\left|X_t\right|\right]<\infty$ for all $t \in I . X$ is called (with respect to $\mathbb{F}$ ) a martingale if $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right]=X_s$ for all $s, t \in I$ with $t>s$,
submartingale if $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right] \geq X_s$ for all $s, t \in I$ with $t>s$,
supermartingale if $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right] \leq X_s$ for all $s, t \in I$ with $t>s$.

Remark $9.25$ Clearly, for a martingale, the map $t \mapsto \mathbf{E}\left[X_t\right]$ is constant, for submartingales it is monotone increasing and for supermartingales it is monotone decreasing. $\diamond$

Remark 9.26 The etymology of the term martingale has not been resolved completely. The French la martingale (originally Provençal martegalo, named after the town Martiques) in equitation means “a piece of rein used in jumping and cross country riding”. Sometimes the ramified shape, in particular of the running martingale (French la martingale à anneaux), is considered as emblematic for the doubling strategy in the Petersburg game.

This doubling strategy itself is the second meaning of la martingale. Starting here, a shift in the meaning towards the mathematical notion seems plausible. A different derivation, in contrast to the appearance, is based on the function of the rein, which is to “check the upward movement of the horse’s head”. Thus the notion of a martingale might first have been used for general gambling strategies (checking the movements of chance) and later for the doubling strategy in particular. $\diamond$

Remark 9.27 If $I=\mathbb{N}, I=\mathbb{N}0$ or $I=\mathbb{Z}$, then it is enough to consider at each instant $s$ only $t=s+1$. In fact, by the tower property of the conditional expectation (Theorem 8.14(iv)), we get $$ \mathbf{E}\left[X{s+2} \mid \mathcal{F}s\right]=\mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left[X{s+2} \mid \mathcal{F}_{s+1}\right] \mid \mathcal{F}_s\right]
$$

统计代写|概率论代写Probability theory代考|Discrete Stochastic Integral

So far we have encountered a martingale as the process of partial sums of gains of a fair game. This game can also be the price of a stock that is traded at discrete times on a stock exchange. With this interpretation, it is particularly evident that it is natural to construct new stochastic processes by considering investment strategies changes as the stock price changes. It is the price multiplied by the number of stocks in the portfolio. In order to describe such processes formally, we introduce the following notion.

Definition 9.37 (Discrete stochastic integral) Let $\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}_0}$ be an $\mathbb{F}$-adapted real process and let $\left(H_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a real-valued and $\mathbb{F}$-predictable process. The discrete stochastic integral of $H$ with respect to $X$ is the stochastic process $H \cdot X$ defined by
$$
(H \cdot X)n:=\sum{m=1}^n H_m\left(X_m-X_{m-1}\right) \quad \text { for } n \in \mathbb{N}0 . $$ If $X$ is a martingale, then $H \cdot X$ is also called the martingale transform of $X$. Remark $9.38$ Clearly, $H \cdot X$ is adapted to $\mathbb{F} . \diamond$ Let $X$ be a (possibly unfair) game where $X_n-X{n-1}$ is the gain per euro in the $n$th round. We interpret $H_n$ as the number of euros we bet in the $n$th game. $H$ is then a gambling strategy. Clearly, the value of $H_n$ has to be decided at time $n-1$; that is, before the result of $X_n$ is known. In other words, $H$ must be predictable.

Now assume that $X$ is a fair game (that is, a martingale) and $H$ is locally bounded (that is, each $H_n$ is bounded). Then (since $\mathbf{E}\left[X_{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}n\right]=0$ ) $$ \begin{aligned} \mathbf{E}\left[(H \cdot X){n+1} \mid \mathcal{F}n\right] &=\mathbf{E}\left[(H \cdot X)_n+H{n+1}\left(X_{n+1}-X_n\right) \mid \mathcal{F}n\right] \ &=(H \cdot X)_n+H{n+1} \mathbf{E}\left[X_{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}_n\right] \
&=(H \cdot X)_n
\end{aligned}
$$
Thus $H \cdot X$ is a martingale. The following theorem says that the converse also holds; that is, $X$ is a martingale if, for sufficiently many predictable processes, the stochastic integral is a martingale.

统计代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

概率论代考

统计代写|概率论代写概率论代考|鞅

每个没有赌场的人都会毫不犹豫地同意,连续支付收益$Y_1, Y_2, \ldots$,例如$Y_1, Y_2, \ldots$是i.i.d.和$\mathbf{E}\left[Y_1\right]=$ 0,可以被认为是由连续回合组成的公平游戏。在这种情况下,部分和$X_n=Y_1+\ldots+Y_n$的过程$X$是可积的,如果$m<n$则$\mathbf{E}\left[X_n \mid \mathcal{F}_m\right]=X_m$(其中$\mathbb{F}=o(X)$)。我们想用条件期望的这个方程作为公平博弈的定义方程,下面我们称之为鞅。特别要注意的是,这个定义并不要求各个支付是独立的或相同分布的。这使得这个概念更加灵活。下面这个概念的重要性只会逐渐显现出来

定义 $9.24$ 让 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ 是一个概率空间, $I \subset \mathbb{R}$,让 $\mathbb{F}$ 做一个过滤器。让 $X=\left(X_t\right)_{t \in I}$ 是一个实值的自适应随机过程 $\mathbf{E}\left[\left|X_t\right|\right]<\infty$ 为所有人 $t \in I . X$ 被称为(with respect to $\mathbb{F}$ )一个鞅如果 $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right]=X_s$ 为所有人 $s, t \in I$ 用 $t>s$,
submartingale if $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right] \geq X_s$ 为所有人 $s, t \in I$ 用 $t>s$,
supermartingale if $\mathbf{E}\left[X_t \mid \mathcal{F}_s\right] \leq X_s$ 为所有人 $s, t \in I$ 用 $t>s$.

备注$9.25$显然,对于鞅,映射$t \mapsto \mathbf{E}\left[X_t\right]$是恒定的,对于亚鞅,它是单调递增的,对于超鞅,它是单调递减的。$\diamond$ 9.26 martingale这个词的词源还没有完全解决。法语“la martingale”(原名Provençal martegalo,以马提斯镇命名)在马术中的意思是“用于跳跃和越野骑行的缰绳”。有时候,分叉的形状,特别是奔跑的martingale(法语la martingale à anneaux),被认为是彼得堡游戏中双重策略的象征 这个加倍的策略本身就是la martingale的第二个意思。从这里开始,意义向数学概念的转变似乎是合理的。另一个不同的衍生,与外观相反,是基于缰绳的功能,即“阻止马头向上运动”。因此,鞅的概念可能首先用于一般的赌博策略(检查机会的移动),后来特别用于加倍策略。$\diamond$

备注9.27如果$I=\mathbb{N}, I=\mathbb{N}0$或$I=\mathbb{Z}$,那么在每个时刻只考虑$s$$t=s+1$就足够了。事实上,通过条件期望的塔属性(定理8.14(iv)),我们得到$$ \mathbf{E}\left[X{s+2} \mid \mathcal{F}s\right]=\mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left[X{s+2} \mid \mathcal{F}_{s+1}\right] \mid \mathcal{F}_s\right]
$$

统计代写|概率论代写概率论代考|离散随机积分


到目前为止,我们已经遇到了一个鞅作为一个公平博弈的部分和的过程。这个博弈也可以是股票交易所在不同时间进行交易的股票价格。有了这种解释,特别明显的是,通过考虑投资策略随股价变化而变化来构建新的随机过程是很自然的。它是价格乘以投资组合中的股票数量。为了形式化地描述这些过程,我们引入了以下概念

定义9.37(离散随机积分)设$\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}0}$是一个$\mathbb{F}$ -适应的实过程,设$\left(H_n\right){n \in \mathbb{N}}$是一个实值和$\mathbb{F}$ -可预测的过程。$H$关于$X$的离散随机积分是由
定义的随机过程$H \cdot X$$$
(H \cdot X)n:=\sum{m=1}^n H_m\left(X_m-X{m-1}\right) \quad \text { for } n \in \mathbb{N}0 . $$如果$X$是一个鞅,那么$H \cdot X$也被称为$X$的鞅变换。备注$9.38$显然,$H \cdot X$改编为$\mathbb{F} . \diamond$让$X$是一个(可能不公平的)游戏,其中$X_n-X{n-1}$是$n$第一轮每欧元的收益。我们将$H_n$解释为我们在$n$第一次游戏中下注的欧元数。$H$是一种赌博策略。显然,$H_n$的值必须在$n-1$时刻决定;也就是说,在知道$X_n$的结果之前。换句话说,$H$必须是可预测的


现在假设$X$是一个公平的博弈(即鞅),$H$是局部有界的(即每个$H_n$都是有界的)。那么(因为$\mathbf{E}\left[X_{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}n\right]=0$) $$ \begin{aligned} \mathbf{E}\left[(H \cdot X){n+1} \mid \mathcal{F}n\right] &=\mathbf{E}\left[(H \cdot X)n+H{n+1}\left(X{n+1}-X_n\right) \mid \mathcal{F}n\right] \ &=(H \cdot X)n+H{n+1} \mathbf{E}\left[X{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}_n\right] \
&=(H \cdot X)_n
\end{aligned}
$$
因此$H \cdot X$是一个鞅。下面的定理说反过来也成立;也就是说,如果对于足够多的可预测过程,随机积分是一个鞅,那么$X$就是一个鞅

统计代写|概率论代写Probability theory代考

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