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金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Numerical examples
In this section we give some numerical examples of the impact of the futures features on the price and risks in the case of constant spread hypothesis $\mathrm{S}^{\mathrm{CPN}}$. The analysis is done in a Hull-White one-factor model. We compare the futures to the underlying swap. The comparison is on the price (for market making) and the curve risk (for hedging). The comparisons are done with a flat curve at $3 \%$ (continuously compounded) rate and a $2 \%$ Hull-White constant volatility.
From Equation (6.2), it is clear that the impact on the value is twofold. First is the multiplication by the common factor $1 / P^D\left(0, t_0\right)$. This factor is always larger than 1 when interest is positive. This represents the fact that the profit is paid immediately (through the margin) and not at final settlement. As the futures usually have an expiry up to three or six months in the future, the impact is up to $0.5$ times the short term rate. With the very low rates prevalent at the time of writing this impact is very small: below $0.10 \%$. For higher rates, the impact can be non-negligible. When interest is at $3 \%$, the impact on a six month future is around $1.5 \%$.
The differences between the futures price (with the 1 subtracted) and the underlying swap present value are displayed in Table 6.4. The difference clearly depends on three items: expiry, tenor and moneyness. The moneyness is the difference between the current forward swap rate and the fixed rate embedded in the futures. If markets have moved significantly between the issuance time and the current level, the swaps can be far off-the-money.
On the curve risk side, the derivative with respect to the rate will be roughly $t_n-t_0$ for the future and $t_n$ for the swap. The ratio swap notional/future notional will be impacted by this. Using this very crude approximation, for a three month futures, the ratio is around $1.125$ for a 2 year tenor and $1.01$ for a 30 year tenor. Actual ratios for different scenarios are given in Table 6.5. The ratios strongly depend on the future expiry and underlying swap tenor but very weakly on the moneyness.
金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Portfolio hedging
This section is not really an extra instrument but describes an approach to computing hedges with different instruments. The material could have been in another chapter but is a little bit short to be a chapter by itself. For that reason I have appended it to the end of the instruments chapter.
When computing the sensitivities of a portfolio to the market quotes used in the curve construction, one implicitly computes the quantity of the instruments used in the curve construction required to hedge the portfolio. In some cases one would like to compute the (optimal) hedge with a different set of reference securities. One possibility in that case is to compute the synthetic market quotes of the reference securities, reconstruct the curves from those instruments and recompute the sensitivities.
Another possibility is to use the original sensitivities and the sensitivities of the hedging instruments and find a good hedge, optimal in a sense to be described. A method to do that in the case where the original sensitivities are considered independent is described in (Andersen and Piterbarg, 2010, Section 6.4). Similar techniques are used in a different context to minimise delta/normal VaR using the covariance matrix to indicate the importance of and interaction between the sensitivities. In the book by Andersen and Piterbarg (2010), the method is referred to as the Jacobian method. As we suggest systematically computing the Jacobian matrices of curve construction and other processes, we will refrain from using that terminology, which can be confusing, and refer to it instead as the hedging with reference securities method.
金融模型代考
金融代写|金融模型代写modeling in finance代考|数值示例
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在这一节中，我们给出了一些数值例子，在常数价差假设$\mathrm{S}^{\mathrm{CPN}}$的情况下，期货特征对价格和风险的影响。分析是在赫尔-怀特单因素模型中完成的。我们将期货与标的掉期进行比较。比较的是价格(做市)和曲线风险(对冲)。比较是用$3 \%$(连续复利)速率的平坦曲线和$2 \%$ Hull-White常数波动率完成的。
由式(6.2)可知，对值的影响是双重的。首先是乘公因数$1 / P^D\left(0, t_0\right)$。当利率为正时，这个因子总是大于1。这表示利润是立即支付的(通过保证金)，而不是在最终结算时。由于期货的到期日通常为3 – 6个月，其影响是短期利率的$0.5$倍。在撰写本文时，由于感染率非常低，这种影响非常小:见$0.10 \%$。对于更高的利率，影响是不可忽视的。当利率在$3 \%$时，对6个月远期的影响在$1.5 \%$左右
期货价格(减去1)与标的掉期现值之间的差异如表6.4所示。差别显然取决于三个方面:有效期、期限和货币性。货币性是当前远期掉期利率与期货固定利率之间的差额。如果市场在发行时间和当前水平之间有显著波动，则掉期交易可能远远低于实际价格
在曲线风险侧，远期利率的导数大致为$t_n-t_0$，掉期利率的导数大致为$t_n$。名义上/未来名义上的比率掉期将受到影响。使用这种非常粗略的近似方法，3个月期期货的利率比率大约是2年期的$1.125$, 30年期的$1.01$。表6.5给出了不同场景的实际比率。这些比率很大程度上取决于未来的到期期限和潜在的掉期期限，但对货币性的影响很小
金融代写|金融模型代写在金融建模代考|投资组合对冲
本节并不是真正的额外工具，而是描述了用不同工具计算对冲的方法。这些材料本来可以放在另一章里，但是单独作为一章来说有点短。由于这个原因，我把它附加到仪器这一章的末尾
当计算一个投资组合对曲线构建中使用的市场报价的敏感性时，一个人隐含地计算了曲线构建中用于对冲投资组合的工具的数量。在某些情况下，人们希望用一组不同的参考证券来计算(最优)对冲。在这种情况下，一种可能性是计算参考证券的合成市场报价，根据这些工具重建曲线，并重新计算敏感性
另一种可能是利用套期工具的原始敏感性和敏感性，找到一个好的套期，在某种意义上是最优的。在原始灵敏度被认为是独立的情况下，一种方法被描述为(Andersen和Piterbarg, 2010，第6.4节)。在不同的情况下使用类似的技术来最小化delta/normal VaR，使用协方差矩阵来表明敏感性之间的重要性和相互作用。在安徒生和皮特巴尔(2010)的书中，这种方法被称为雅可比矩阵法。由于我们建议系统地计算曲线构造的雅可比矩阵和其他过程，因此我们将避免使用这个可能令人混淆的术语，而将其称为参考证券套期保值方法
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