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金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Convexity adjustment

In this section we compute the Fed Fund swaps value including the convexity adjustment. The amount
$$
\sum_{i=1}^n \delta_i I_X^O\left(t_{i-1}\right)
$$
is paid in $t_n$.
We work in the multi-curve framework under the assumption $\mathrm{S}^{\mathrm{CPN}}$ of constant spread $\beta^O\left(t_{i-1}, t_i\right)$ between the discounting curve and the overnight forward curve. This assumption is trivially satisfied if the discounting curve is equal to the overnight forward curve. The model used is the multi-factor HJM model on the discounting curve as described in Appendix A. The forward overnight rate seen from $t$ is denoted $F_X^O\left(t, t_{i-1}, t_i\right)$. We will abbreviate it as $F_i^O(t)$.
The value of the coupon is, using the cash account numeraire,
$N_0 \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1} \sum_{i=1}^n \delta_i I_X^O\left(t_{i-1}\right)\right]$
$=\sum_{i=1}^n \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1} \delta_i F_i^O\left(t_{i-1}\right)\right]$
$=\sum_{i=1}^n \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1}\left(\left(1+\delta_i F_X^D\left(t_{i-1}, t_{i-1}, t_i\right)\right) \beta^O-1\right)\right]$.
We compute the value of one of these expectations. For that we use standard HJM results given by Lemma A.1 and A.3:
$$
N_{t_n}^{-1}=P_X^D\left(0, t_n\right) \exp \left(-\int_0^{t_n} v\left(s, t_n\right) \cdot d W_s-\frac{1}{2} \int_0^{t_n}\left|v\left(s, t_n\right)\right|^2 d s\right)
$$ and
$$
\begin{aligned}
1+\delta_i F^D\left(t_{i-1}, t_{i-1}, t_i\right)=&\left(1+\delta_i F_i^D\left(0, t_{i-1}, t_i\right)\right) \
& \times \exp \left(-\int_0^{t_{i-1}}\left(v\left(s, t_i\right)-v\left(s, t_{i-1}\right)\right) \cdot d W_s\right.\
&\left.-\frac{1}{2} \int_0^{t_{i-1}}\left(\left|v\left(s, t_i\right)\right|^2-\left|v\left(s, t_{i-1}\right)\right|^2\right) d s\right) .
\end{aligned}
$$
In what follows, we use the usual extension of $v(s, t)$ for values $s>t$ with 0 .

金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Convexity adjustment and approximation

We can combine the approximations discussed above with a convexity adjustment. The amount paid can be approximated by
$$
A_a \simeq \ln \left(\prod_{i=1}^n\left(1+\delta_i I^O\left(t_i\right)\right)=\ln \left(1+A_c\right) .\right.
$$
When the discounting curve is the overnight forward rate curve, the discretely compounded rate itself can be approximated by a continuous composition
$$
A_c \simeq \exp \left(\int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau\right)-1 .
$$
The present value of such a coupon is thus approximated by
$$
M_0 \mathrm{E}^M\left[\left(M_{t_n}\right)^{-1} \int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau\right]
$$ for any numeraire $M$. Here we chose the $t_n$-forward numeraire, that is $P_X^D\left(., t_n\right)$. The change of numeraire in the $\mathrm{HJM}$ model is given by
$$
d W_t^{t_n}=d W_t+v\left(t, t_n\right) d t .
$$
We use the result on the dynamic of the cash account twice (once to $t_0$ and once to $t_n$ ) and the above change of numeraire to obtain
$$
\begin{aligned}
\int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau=& \ln \left(\frac{P^D\left(0, t_0\right)}{P^D\left(0, t_n\right)}\right)\left(\int_0^{t_0} v\left(s, t_0\right) \cdot d W_s^{t_n}+\int_0^{t_n} v\left(s, t_n\right) \cdot d W_s^{t_n}\right.\
&-\frac{1}{2} \int_0^{t_n} \mid\left(v\left(s, t_n\right)-\left.v\left(s, t_0\right)\right|^2 d s\right)
\end{aligned}
$$
The expectation of the two stochastic integrals is 0 and the final result is as follows.
Theorem 6.5 In the multi-curve framework under hypothesis $S 0^{C P N}$ on the basis between discounting and overnight forwards, the approximated present value of a Fed Fund swap coupon in the multi-factor HJM model on the discounting curve is
$$
P^D\left(0, t_n\right)\left(\ln \left(\frac{P^D\left(0, t_0\right)}{P^D\left(0, t_n\right)}\right)+\zeta\right)
$$
with
$$
\zeta=\frac{1}{2} \int_0^{t_n} \mid\left(v\left(s, t_n\right)-\left.v\left(s, t_0\right)\right|^2 d s .\right.
$$

金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|FIN280

金融模型代考


金融代写|金融模型代写在金融建模代考|凸性调整


在本节中,我们计算包括凸度调整在内的联邦基金掉期价值。
$$
\sum_{i=1}^n \delta_i I_X^O\left(t_{i-1}\right)
$$
在$t_n$中支付。
我们在多曲线框架下工作,假设$\mathrm{S}^{\mathrm{CPN}}$在贴现曲线和隔夜远期曲线之间的价差恒定$\beta^O\left(t_{i-1}, t_i\right)$。如果贴现曲线等于隔夜远期曲线,这个假设就可以很好地满足。使用的模型是附录a中描述的贴现曲线上的多因素HJM模型。从$t$看到的远期隔夜利率记为$F_X^O\left(t, t_{i-1}, t_i\right)$。我们将其缩写为$F_i^O(t)$ .
优惠券的值是,使用现金账户号码
$N_0 \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1} \sum_{i=1}^n \delta_i I_X^O\left(t_{i-1}\right)\right]$
$=\sum_{i=1}^n \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1} \delta_i F_i^O\left(t_{i-1}\right)\right]$
$=\sum_{i=1}^n \mathrm{E}^N\left[\left(N_{t_n}\right)^{-1}\left(\left(1+\delta_i F_X^D\left(t_{i-1}, t_{i-1}, t_i\right)\right) \beta^O-1\right)\right]$ .
我们计算这些期望中的一个的值。为此,我们使用引理A.1和A.3给出的标准HJM结果:
$$
N_{t_n}^{-1}=P_X^D\left(0, t_n\right) \exp \left(-\int_0^{t_n} v\left(s, t_n\right) \cdot d W_s-\frac{1}{2} \int_0^{t_n}\left|v\left(s, t_n\right)\right|^2 d s\right)
$$和
$$
\begin{aligned}
1+\delta_i F^D\left(t_{i-1}, t_{i-1}, t_i\right)=&\left(1+\delta_i F_i^D\left(0, t_{i-1}, t_i\right)\right) \
& \times \exp \left(-\int_0^{t_{i-1}}\left(v\left(s, t_i\right)-v\left(s, t_{i-1}\right)\right) \cdot d W_s\right.\
&\left.-\frac{1}{2} \int_0^{t_{i-1}}\left(\left|v\left(s, t_i\right)\right|^2-\left|v\left(s, t_{i-1}\right)\right|^2\right) d s\right) .
\end{aligned}
$$
在接下来的内容中,我们使用通常的扩展$v(s, t)$来表示值$s>t$和0

金融代写|金融模型代写在金融建模代考|凸性调整和近似


我们可以将上面讨论的近似与凸度调整结合起来。支付的金额可以近似为
$$
A_a \simeq \ln \left(\prod_{i=1}^n\left(1+\delta_i I^O\left(t_i\right)\right)=\ln \left(1+A_c\right) .\right.
$$当贴现曲线为隔夜远期利率曲线时,离散复利利率本身可近似为连续组合
$$
A_c \simeq \exp \left(\int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau\right)-1 .
$$因此,这种息票的现值近似为
$$
M_0 \mathrm{E}^M\left[\left(M_{t_n}\right)^{-1} \int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau\right]
$$ 对于任何数字 $M$。这里我们选择了 $t_n$-forward numeraire,也就是说 $P_X^D\left(., t_n\right)$。数字的变化 $\mathrm{HJM}$ 模型由
给出$$
d W_t^{t_n}=d W_t+v\left(t, t_n\right) d t .
$$我们对现金账户的动态使用了两次结果(一次到 $t_0$ 一旦到 $t_n$ )和上述数字的变化,得到
$$
\begin{aligned}
\int_{t_0}^{t_n} r_\tau d \tau=& \ln \left(\frac{P^D\left(0, t_0\right)}{P^D\left(0, t_n\right)}\right)\left(\int_0^{t_0} v\left(s, t_0\right) \cdot d W_s^{t_n}+\int_0^{t_n} v\left(s, t_n\right) \cdot d W_s^{t_n}\right.\
&-\frac{1}{2} \int_0^{t_n} \mid\left(v\left(s, t_n\right)-\left.v\left(s, t_0\right)\right|^2 d s\right)
\end{aligned}
$$两个随机积分的期望为0,最终结果如下。
定理6.5假设下的多曲线框架 $S 0^{C P N}$ 基于贴现和隔夜远期之间,多因素HJM模型中联邦基金掉期票息在贴现曲线上的近似现值
$$
P^D\left(0, t_n\right)\left(\ln \left(\frac{P^D\left(0, t_0\right)}{P^D\left(0, t_n\right)}\right)+\zeta\right)
$$

$$
\zeta=\frac{1}{2} \int_0^{t_n} \mid\left(v\left(s, t_n\right)-\left.v\left(s, t_0\right)\right|^2 d s .\right.
$$

金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考

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