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金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Lagrange multipliers
In applications, it is often necessary to optimize functions under some constraints. The Lagrange multipliers theorem $3.22$ provides necessary optimum conditions for a problem of the following kind:
$\max f(\boldsymbol{x}) \quad$ subject to $g(\boldsymbol{x})=0$
or $\min f(\boldsymbol{x}) \quad$ subject to $g(\boldsymbol{x})=0$.
Theorem $3.22$ (Lagrange multipliers – general case). Let $m<n$, let $V$ be open in $\mathbb{R}^n$, and let $f, g_j: V \rightarrow \mathbb{R}$ be $\mathcal{C}^1$ on $V$, for $j=1,2 \ldots, m$. Suppose that:
$$
\frac{\partial\left(g_1, \ldots, g_m\right)}{\partial\left(x_1, \ldots, x_n\right)}
$$ has rank $m$ at $\boldsymbol{x}0 \in V$, where $g_j\left(\boldsymbol{x}_0\right)=0$ for $j=1,2, \ldots, m$. Assume further that $x_0$ is a local extremum for $f$ in the set: $$ M=\left{\boldsymbol{x} \in V \quad \mid \quad g_j(\boldsymbol{x})=0\right} . $$ Then, there exist scalars $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$, such that: $$ \nabla\left(f\left(\boldsymbol{x}_0\right)-\sum{k=1}^m \lambda_k g_k\left(\boldsymbol{x}_0\right)\right)=\mathbf{0}
$$
We will limit the proof of the Lagrange multipliers theorem $3.22$ in a twodimensional context. To this aim, it is first necessary to consider some preliminary results; we will resume the proof in $\S 3.8$.
金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Mean-Value theorem
We begin with recalling the definition of a segment in the Euclidean space.
Definition 3.23. Given $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$, the segment joining $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$ is defined as:
$$
[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]:=\left{\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^n \quad \mid \boldsymbol{z}=t \boldsymbol{x}+(1-t) \boldsymbol{y}, \quad 0 \leq t \leq 1\right}
$$
The one-dimensional Mean-Value theorem (already met in Example 3.3), also called Lagrange Mean-Value theorem or First Mean-Value theorem, can be extended to the Euclidean space $\mathbb{K}^n$.
Theorem $3.24$ (Mean-Value). Let $A \subset \mathbb{R}^n$, and $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Consider $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ such that $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] \subset A^{\circ}$, the interior of $A$ (see Definition 1.18). Assume that $f(\boldsymbol{x})$ is differentiable in $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$. Then, there exists $\boldsymbol{z} \in[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$ such that:
$$
f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})=\nabla f(\boldsymbol{z}) \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})
$$
Proof. Define $\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n, \varphi(t)=\boldsymbol{y}+t(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$. Observe that $\varphi \in \mathcal{C}$ and it is differentiable for any $t \in(0,1)$. Moreover, $\varphi^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}$. It follows that $g=f \circ \varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous and differentiable in $(0,1)$. We can thus apply the one-dimensional version of the Mean-Value theorem, to infer the existence of $\eta \in(0,1)$ such that:
$$
f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})=g(1)-g(0)=g^{\prime}(\eta) .
$$
On the other hand, the Chain Rule implies:
$$
g^{\prime}(\eta)=\nabla f(\varphi(\eta)) \cdot \varphi^{\prime}(\eta)=\nabla f(\varphi(\eta)) \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) .
$$
Since $\boldsymbol{z}=\varphi(\eta) \in[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$, Theorem $3.24$ is proved.
金融数值计算代考
金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融的数值分析代考|拉格朗日乘数
在应用程序中，经常需要在某些约束条件下优化函数。拉格朗日乘子定理$3.22$为以下一类问题提供了必要的最优条件:
$\max f(\boldsymbol{x}) \quad$受制于$g(\boldsymbol{x})=0$
或$\min f(\boldsymbol{x}) \quad$受制于$g(\boldsymbol{x})=0$ .
定理$3.22$(拉格朗日乘子-一般情况)。让$m<n$，让$V$在$\mathbb{R}^n$上打开，让$f, g_j: V \rightarrow \mathbb{R}$在$V$上打开$\mathcal{C}^1$，为$j=1,2 \ldots, m$。假设:
$$
\frac{\partial\left(g_1, \ldots, g_m\right)}{\partial\left(x_1, \ldots, x_n\right)}
$$在$\boldsymbol{x}0 \in V$上的排名为$m$，其中$g_j\left(\boldsymbol{x}_0\right)=0$为$j=1,2, \ldots, m$。进一步假设$x_0$是$f$在集合中的局部极值:$$ M=\left{\boldsymbol{x} \in V \quad \mid \quad g_j(\boldsymbol{x})=0\right} . $$那么，存在标量$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$，这样:$$ \nabla\left(f\left(\boldsymbol{x}_0\right)-\sum{k=1}^m \lambda_k g_k\left(\boldsymbol{x}_0\right)\right)=\mathbf{0}
$$
我们将在二维环境中限制拉格朗日乘子定理$3.22$的证明。为了达到这一目的，首先需要考虑一些初步的结果;我们将在$\S 3.8$继续证明。
金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|中值定理
我们首先回顾欧氏空间中一个段的定义。3.23.
定义给定$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$，连接$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$的段定义为:
$$
[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]:=\left{\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^n \quad \mid \boldsymbol{z}=t \boldsymbol{x}+(1-t) \boldsymbol{y}, \quad 0 \leq t \leq 1\right}
$$
一维中值定理(在例3.3中已经见过)，也称为拉格朗日中值定理或第一中值定理，可以扩展到欧氏空间$\mathbb{K}^n$ . . .< br>
定理$3.24$(均值)。让$A \subset \mathbb{R}^n$和$f: A \rightarrow \mathbb{R}$。考虑$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$这样$[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] \subset A^{\circ}$, $A$的内部(参见定义1.18)。假设$f(\boldsymbol{x})$在$[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$中是可微的。那么，存在$\boldsymbol{z} \in[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$这样的:
$$
f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})=\nabla f(\boldsymbol{z}) \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})
$$
证明。定义$\varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n, \varphi(t)=\boldsymbol{y}+t(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$。观察$\varphi \in \mathcal{C}$，它对任何$t \in(0,1)$都是可微的。此外，$\varphi^{\prime}(t)=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}$。可知$g=f \circ \varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$在$(0,1)$中是连续可微的。因此，我们可以应用中值定理的一维版本，来推断$\eta \in(0,1)$的存在:
$$
f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})=g(1)-g(0)=g^{\prime}(\eta) .
$$
另一方面，链式法则意味着:
$$
g^{\prime}(\eta)=\nabla f(\varphi(\eta)) \cdot \varphi^{\prime}(\eta)=\nabla f(\varphi(\eta)) \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) .
$$
由于$\boldsymbol{z}=\varphi(\eta) \in[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$，定理$3.24$被证明
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