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The most natural way to define derivatives of functions of several variables is to allow only one variable at a time to move, while freezing the others. Thus, if $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ is a function of $n$ variables, whose domain is the open set $V$, we define the set $\left{x_1\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times[a, b] \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_n\right}$, where $[a, b]$ is chosen so to have $\left{x_1\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times{t} \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_n\right} \subset V$ for any $t \in[a, b]$. We shall denote the function:
$$
g(t):=f\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t, x_{j+1}, \ldots, x_n\right)
$$
by
$$
f\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, \cdots, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) \text {. }
$$
If $g$ is differentiable (see Definition 3.7) at some $t_0 \in(a, b)$, then the firstorder partial derivative of $f$ at $\left(x_l, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right)$, with respect to $x_j$, is defined by:
$$
\begin{aligned}
f x_j\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) &:=\frac{\partial f}{\partial x_j}\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) \
&:=g^{\prime}\left(t_0\right) .
\end{aligned}
$$
Therefore, the partial derivative $f_{x_j}$ exists at a point $\boldsymbol{a}$ if and only if the following limit exists:
$$
\frac{\partial f}{\partial x_j}(\boldsymbol{a}):=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(\boldsymbol{a}+h \boldsymbol{e}_j\right)-f(\boldsymbol{a})}{h} .
$$ Partial derivatives of order higher than one are defined by iteration.

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Differentiability

In this section, we define what it means for a vector function $f$ to be differentiable at a point $\boldsymbol{a}$. Whatever our definition, if $f$ is differentiable at $\boldsymbol{a}$, then we expect two things:
(1) $f$ will be continuous at $\boldsymbol{a}$;
(2) all first-order partial derivatives of $f$ will exist at $\boldsymbol{a}$.
To appreciate the following Definition $3.7$ of total derivative of a function of $n$ variables, we consider one peculiar aspect of differentiable functions of one variable. Recall that $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable at $x \in \mathbb{R}$ if the following limit is finite, i.e., it is a real number:
$$
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}:=f^{\prime}(x) . $$ The definition above is equivalent to the following: $f$ is differentiable at $x \in \mathbb{R}$ if there exist $\alpha \in \mathbb{R}$ and a function $\omega:(-\delta, \delta) \rightarrow \mathbb{R}$, with $\omega(0)=0$ and $\lim {h \rightarrow 0} \frac{\omega(h)}{h}=0$, such that:
$$
f(x+h)=f(x)+\alpha h+\omega(h) h .
$$

The definition of differentiability for functions of several variables extends Property (3.1).

Definition 3.7. Let $f$ be a real function of $n$ variables. $f$ is said to be differentiable, at a point $a \in \mathbb{R}^n$, if and only if there exists an open set $V \subset \mathbb{R}^n$, such that $\boldsymbol{a} \in V$ and $f: V \rightarrow \mathbb{R}$, and there exists $\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^n$ such that:
$$
\lim _{\boldsymbol{h} \rightarrow 0} \frac{f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{h}}{|\boldsymbol{h}|}=0
$$
$\boldsymbol{d}$ is called total derivative of $f$ at $\boldsymbol{a}$
Theorem 3.8. If $f$ is differentiable at $a$, then:
(i) $f$ is continuous at $\boldsymbol{a}$;
(ii) all first-order partial derivatives of $f$ exist at $\boldsymbol{a}$;
(iii) $\boldsymbol{d}=\nabla f(\boldsymbol{a}):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})\right)$.
$\nabla f(\boldsymbol{a})$ is called the gradient (or nabla) of $f$ at $\boldsymbol{a}$.
A reverse implication to Theorem $3.8$ also holds true.

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定义多变量函数的导数最自然的方法是一次只允许一个变量移动,而冻结其他变量。因此,如果 $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数 $n$ 变量,其定义域是开放集 $V$,我们定义集合 $\left{x_1\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times[a, b] \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_n\right}$,其中 $[a, b]$ 选择是这样有吗 $\left{x_1\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times{t} \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_n\right} \subset V$ 对于任何 $t \in[a, b]$。我们将表示函数:
$$
g(t):=f\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t, x_{j+1}, \ldots, x_n\right)
$$
by
$$
f\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, \cdots, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) \text {. }
$$
如果 $g$ 是可微的(见定义3.7)在某 $t_0 \in(a, b)$的一阶偏导数 $f$ 在 $\left(x_l, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right)$,关于 $x_j$,定义为:
$$
\begin{aligned}
f x_j\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) &:=\frac{\partial f}{\partial x_j}\left(x_1, \ldots, x_{j-1}, t_0, x_{j+1}, \ldots, x_n\right) \
&:=g^{\prime}\left(t_0\right) .
\end{aligned}
$$
因此偏导数 $f_{x_j}$ 存在于某一点 $\boldsymbol{a}$ 当且仅当以下限制存在:
$$
\frac{\partial f}{\partial x_j}(\boldsymbol{a}):=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(\boldsymbol{a}+h \boldsymbol{e}_j\right)-f(\boldsymbol{a})}{h} .
$$ 高于一阶的偏导数由迭代定义

金融代写|金融数值计算代写市场风险,金融数值分析代考|可微性


在本节中,我们定义向量函数的含义 $f$ 在一点上是可微的 $\boldsymbol{a}$。不管我们的定义是什么,如果 $f$ 是可微的 $\boldsymbol{a}$,那么我们期望两个结果:
(1) $f$ 将在 $\boldsymbol{a}$
(2)所有一阶偏导数 $f$ 会存在于 $\boldsymbol{a}$.
欣赏以下的定义 $3.7$ 函数的全导数 $n$ 变量,我们考虑单变量可微函数的一个特殊方面。回想一下 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是可微的 $x \in \mathbb{R}$ 如果下面的极限是有限的,即它是一个实数:
$$
\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}:=f^{\prime}(x) . $$ 以上定义等价于: $f$ 是可微的 $x \in \mathbb{R}$ 如果存在的话 $\alpha \in \mathbb{R}$ 一个函数 $\omega:(-\delta, \delta) \rightarrow \mathbb{R}$,与 $\omega(0)=0$ 和 $\lim {h \rightarrow 0} \frac{\omega(h)}{h}=0$,则:
$$
f(x+h)=f(x)+\alpha h+\omega(h) h .
$$


多变量函数可微性的定义扩展了性质(3.1)

定义让 $f$ 的实函数 $n$ 变量。 $f$ 在某一点上是可微的 $a \in \mathbb{R}^n$,当且仅当存在一个开集 $V \subset \mathbb{R}^n$,以致于 $\boldsymbol{a} \in V$ 和 $f: V \rightarrow \mathbb{R}$,并且存在 $\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^n$ 这样:
$$
\lim _{\boldsymbol{h} \rightarrow 0} \frac{f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{h}}{|\boldsymbol{h}|}=0
$$
$\boldsymbol{d}$ 叫做的全导数 $f$ 在 $\boldsymbol{a}$
定理3.8。如果 $f$ 是可微的 $a$,则
(i) $f$ 是连续的 $\boldsymbol{a}$
(ii)的所有一阶偏导数 $f$ 存在于 $\boldsymbol{a}$
(iii) $\boldsymbol{d}=\nabla f(\boldsymbol{a}):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})\right)$.
$\nabla f(\boldsymbol{a})$ 叫做渐变(或nabla) $f$ 在 $\boldsymbol{a}$.
定理的反向含义 $3.8$

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