金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|GBUS846

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金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Minimum variance portfolio

In this section we give the formula for the weights of the portfolio with smallest variance. Before doing so, we need to consider a technical lemma.
Lemma $4.3$
We have the following formulae for the gradients computed with respect to w:
$$
\begin{aligned}
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right) &=\boldsymbol{\mu}, \
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}\right) &=\mathbf{1}, \
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right) &=2 C \mathbf{w},
\end{aligned}
$$
and the Hessian of $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}$ is equal to $2 C$.
Proof Since
$$
\frac{\partial}{\partial w_i}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)=\frac{\partial}{\partial w_i}\left(w_1 \mu_1+\cdots+w_n \mu_n\right)=\mu_i
$$

we see that
$$
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)=\left[\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial w_1}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right) \
\vdots \
\frac{\partial}{\partial w_n}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\mu_1 \
\vdots \
\mu_n
\end{array}\right]=\boldsymbol{\mu},
$$
which proves (4.3).
The proof of (4.4) follows from an identical argument, using 1 instead of $\mu$.
To prove (4.5) we observe that in
$$
\frac{\partial}{\partial w_i}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right)=\frac{\partial}{\partial w_i} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k}
$$
the derivative of each term can be non-zero only when $j=i$ or $k=i$. This means that
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial w_i} & \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k} \
&=\frac{\partial}{\partial w_i}\left(w_i w_i \sigma_{i i}+\sum_{j=i} \sum_{k \neq i} w_j w_k \sigma_{j k}+\sum_{j \neq i} \sum_{k=i} w_j w_k \sigma_{j k}\right) \
&=2 w_i \sigma_{i i}+\sum_{k \neq i} w_k \sigma_{i k}+\sum_{j \neq i} w_j \sigma_{j i} \
&\left.=2 \sum_{k=1}^n w_k \sigma_{i k} \quad \quad \text { (since } \sigma_{j i}=\sigma_{i j}\right) \
&=2(C \mathbf{w})_i
\end{aligned}
$$
where $(C \mathbf{w})_i$ stands for the $i$-th coordinate of the vector $C \mathbf{w}$. Combining the partial derivatives on all coordinates gives (4.5).

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Minimum variance line

To find the efficient frontier, we have to recognise and eliminate the dominated portfolios. To this end we fix a level of expected return, denote it by $m$, and consider all portfolios with $\mu_{\mathrm{w}}=m$. All of these are redundant except the one with the smallest variance. The family of such portfolios, parameterised by $m$, is called the minimum variance line (see Figure 4.6).
More precisely, portfolios on the minimum variance line are solutions of the following problem:
$$
\begin{array}{ll}
\min \mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}, & \
\text { subject to: } & \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=m, \
& \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=1 .
\end{array}
$$

Let $M$ be $a 2 \times 2$ matrix of the form
$$
M=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu} & \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} \
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} & \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}
\end{array}\right] .
$$
If $C$ and $M$ are invertible, then the solution of problem (4.12) is given by
$$
\mathbf{w}=\frac{1}{\operatorname{det}(M)} C^{-1}\left(\operatorname{det}\left(M_1\right) \mu+\operatorname{det}\left(M_2\right) \mathbf{1}\right),
$$
where
$$
M_1=\left[\begin{array}{cc}
m & \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} \
1 & \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}
\end{array}\right], \quad M_2=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu} & m \
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} & 1
\end{array}\right] .
$$
Proof We introduce the Lagrange multiplier $\lambda=\left(\lambda_1, \lambda_2\right)$, and the Lagrangian
$$
L(\mathbf{w})=\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right)-\lambda_1 \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mu-m\right)+\lambda_2 \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}-1\right)=0 .
$$
Using Lemma $4.3$ we can compute
$$
L(\mathbf{w})=2 C \mathbf{w}-\lambda_1 \boldsymbol{\mu}-\lambda_2 \mathbf{1}=0 .
$$
We solve this system for $\mathbf{w}$ :
$$
\mathbf{w}=\frac{1}{2} \lambda_1 C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 C^{-1} \mathbf{1} .
$$
Since $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} \mathbf{w}$ and $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \mathbf{w}$, substituting (4.14) into the constraints from (4.12), we obtain a system of linear equations
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2} \lambda_1 \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}=m, \
&\frac{1}{2} \lambda_1 \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}=1 .
\end{aligned}
$$

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|GBUS846

风险和利率理论代考

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考|最小方差投资组合


在本节中,我们给出方差最小的投资组合的权重公式。在这样做之前,我们需要考虑一个技术引理。
引理$4.3$
我们有以下关于w的梯度计算公式:
$$
\begin{aligned}
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right) &=\boldsymbol{\mu}, \
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}\right) &=\mathbf{1}, \
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right) &=2 C \mathbf{w},
\end{aligned}
$$
并且$\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}$的Hessian等于$2 C$
证明因为
$$
\frac{\partial}{\partial w_i}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)=\frac{\partial}{\partial w_i}\left(w_1 \mu_1+\cdots+w_n \mu_n\right)=\mu_i
$$

我们看到
$$
\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)=\left[\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial w_1}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right) \
\vdots \
\frac{\partial}{\partial w_n}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\mu_1 \
\vdots \
\mu_n
\end{array}\right]=\boldsymbol{\mu},
$$
,证明(4.3)。
(4.4)的证明来自一个相同的论证,用1代替 $\mu$.
为了证明(4.5),我们观察到在
$$
\frac{\partial}{\partial w_i}\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right)=\frac{\partial}{\partial w_i} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k}
$$
,只有当 $j=i$ 或 $k=i$。这意味着
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial w_i} & \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k} \
&=\frac{\partial}{\partial w_i}\left(w_i w_i \sigma_{i i}+\sum_{j=i} \sum_{k \neq i} w_j w_k \sigma_{j k}+\sum_{j \neq i} \sum_{k=i} w_j w_k \sigma_{j k}\right) \
&=2 w_i \sigma_{i i}+\sum_{k \neq i} w_k \sigma_{i k}+\sum_{j \neq i} w_j \sigma_{j i} \
&\left.=2 \sum_{k=1}^n w_k \sigma_{i k} \quad \quad \text { (since } \sigma_{j i}=\sigma_{i j}\right) \
&=2(C \mathbf{w})_i
\end{aligned}
$$
where $(C \mathbf{w})_i$ 代表 $i$向量的-th坐标 $C \mathbf{w}$。将所有坐标上的偏导数组合得到(4.5).

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、度量和投资组合理论代考|最小方差线


为了找到有效边界,我们必须识别和消除主导投资组合。为此,我们确定了一个预期收益水平,用$m$表示,用$\mu_{\mathrm{w}}=m$考虑所有投资组合。除了方差最小的那个,其他都是多余的。这种投资组合的家族,用$m$表示参数,称为最小方差线(见图4.6)。更准确地说,最小方差线上的投资组合是以下问题的解:
$$
\begin{array}{ll}
\min \mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}, & \
\text { subject to: } & \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=m, \
& \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=1 .
\end{array}
$$

让 $M$ 是 $a 2 \times 2$ 形式
$$
M=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu} & \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} \
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} & \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}
\end{array}\right] .
$$
如果 $C$ 和 $M$ 是可逆的,则问题(4.12)的解由
$$
\mathbf{w}=\frac{1}{\operatorname{det}(M)} C^{-1}\left(\operatorname{det}\left(M_1\right) \mu+\operatorname{det}\left(M_2\right) \mathbf{1}\right),
$$
where
$$
M_1=\left[\begin{array}{cc}
m & \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} \
1 & \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}
\end{array}\right], \quad M_2=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu} & m \
\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1} & 1
\end{array}\right] .
$$我们引入拉格朗日乘子 $\lambda=\left(\lambda_1, \lambda_2\right)$,拉格朗日量
$$
L(\mathbf{w})=\nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}\right)-\lambda_1 \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mu-m\right)+\lambda_2 \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}-1\right)=0 .
$$
使用引理 $4.3$ 我们可以计算
$$
L(\mathbf{w})=2 C \mathbf{w}-\lambda_1 \boldsymbol{\mu}-\lambda_2 \mathbf{1}=0 .
$$我们解这个方程组 $\mathbf{w}$ :
$$
\mathbf{w}=\frac{1}{2} \lambda_1 C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 C^{-1} \mathbf{1} .
$$
自从 $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} \mathbf{w}$ 和 $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \mathbf{w}$,将(4.14)代入(4.12)的约束,得到线性方程组
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2} \lambda_1 \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 \boldsymbol{\mu}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}=m, \
&\frac{1}{2} \lambda_1 \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \lambda_2 \mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1} \mathbf{1}=1 .
\end{aligned}
$$

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考

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