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金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Market portfolio

Recall that the market portfolio is the optimal portfolio on the efficient frontier taking into account the existence of a risk-free asset. The line connecting the market portfolio with the risk-free asset is tangent to the minimum variance line and has maximal slope among the lines determined by all portfolios (see Figure 4.8).

In Chapter 2 we found the formula for the market portfolio obtained in the case of two risky securities determining the efficient set. This result is of course applicable to the general situation in view of Corollary $4.8$.

However, we derive the formula again; this time the parameters of all $n$ securities will be used.
Theorem $4.10$
If the risk-free return $R$ is smaller than the expected return of the minimum variance portfolio, then the market portfolio exists and is given by
$$
\mathbf{m}=\frac{C^{-1}(\mu-R \mathbf{1})}{\mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R \mathbf{1})} .
$$
Proof From Theorem $4.9$ we know that the minimum variance line is a hyperbola. Since its centre is on the vertical axis, there exists a single tangency point for a half line emanating from $(0, R)$, which maximises the slope (see Figure 4.8). The slope in question is of the form
$$
\frac{\mu_{\mathrm{w}}-R}{\sigma_{\mathbf{w}}}=\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R}{\sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}},
$$
where $\mathbf{w}$ are the weights of a portfolio and $R$ is the risk-free rate of return. At the maximal slope the Lagrangian
$$
L(\mathbf{w})=\nabla\left(\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R}{\sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}}\right)-\lambda \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}-1\right),
$$
needs to be equal to zero. We can compute the gradients using Lemma $4.3$ and equate them to zero:
$$
L(\mathbf{w})=\frac{\boldsymbol{\mu} \sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}-\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R\right) \frac{1}{2 \sqrt{w^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}} 2 C \mathbf{w}}{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}-\lambda \mathbf{1}=\mathbf{0} .
$$

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|The Capital Asset Pricing Model

The market portfolio exists when the return on the minimum variance portfolio exceeds the risk-free return. The Capital Asset Pricing Model (CAPM) provides a linear relationship between the expected return $\mu_{\mathrm{m}}$ on the market portfolio and that of any risky asset. The two are linked by means of a parameter, commonly known as the beta $(\beta)$, providing a measure of undiversifiable risk of an asset. In the chapter we explore this relationship and show how the CAPM formula can assist investment decisions and introduce measures of portfolio performance.

Paradoxically, although we use variance to quantify risk, in assessing portfolio risk the variances of the assets in the portfolio turn out to be less relevant than their mutual covariances. To demonstrate this, let us consider the following example.
Example $5.1$
Suppose that the weights of a portfolio are of the form $w_j=\frac{1}{n}, j \leq n$, where $n$ is the number of assets in the portfolio. We investigate the risk of this portfolio in terms of its dependence on $n$. Assume that the variances of all securities on the market are uniformly bounded, $\sigma_j^2 \leq L$. Then
$$
\sigma_{\mathbf{w}}^2=\sum_{j, k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k}=\sum_{j=1}^n w_j^2 \sigma_j^2+\sum_{j \neq k} w_j w_k \sigma_{j k} \leq n \frac{1}{n^2} L+\frac{1}{n^2} \sum_{j \neq k} \sigma_{j k} .
$$

Assume further that the off-diagonal elements of the covariance matrix are uniformly bounded, $\left|\sigma_{j k}\right| \leq c$, for some $c>0$. Then
$$
\sigma_w^2 \leq \frac{L}{n}+\frac{1}{n^2} n(n-1) c .
$$
The upper bound converges to $c$ as $n \rightarrow \infty$. Hence the risk of a portfolio containing many assets is determined by the covariances. The variances of the ingredients become irrelevant for large $n$.

This example motivates the following distinction between two kinds of risk: diversifiable, or specific risk, which can be reduced to zero by expanding the portfolio, and undiversifiable, systematic, or market risk, which cannot be avoided because the securities are linked to the market
From the above example we see that the variances of returns on individual securities are not the leading factors in determining the risk of a portfolio. The risk should rather depend on its undiversifiable risk, which should in turn depend on the asset’s covariances with the remaining assets. The aim of the Capital Asset Pricing Model (CAPM) is to quantify the systematic risk of an asset and to link it with its expected return.

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|FIN650

风险和利率理论代考

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考|市场投资组合


回想一下,考虑到无风险资产的存在,市场投资组合是有效边界上的最优投资组合。连接市场投资组合和无风险资产的线与最小方差线相切,并且在所有投资组合确定的线中具有最大的斜率(见图4.8)


在第二章中,我们找到了在两个风险证券决定有效集的情况下所得到的市场投资组合的公式。鉴于推论$4.8$ . .这个结果当然适用于一般情况


然而,我们再次推导了这个公式;这一次将使用所有$n$证券的参数。
定理$4.10$
如果无风险收益$R$小于最小方差投资组合的预期收益,那么市场投资组合存在,由
$$
\mathbf{m}=\frac{C^{-1}(\mu-R \mathbf{1})}{\mathbf{1}^{\mathrm{T}} C^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R \mathbf{1})} .
$$
证明从定理$4.9$我们知道最小方差线是一个双曲线。由于它的中心在垂直轴上,对于从$(0, R)$发出的半线存在一个切点,这使斜率最大化(参见图4.8)。所讨论的斜率形式为
$$
\frac{\mu_{\mathrm{w}}-R}{\sigma_{\mathbf{w}}}=\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R}{\sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}},
$$
,其中$\mathbf{w}$是投资组合的权重,$R$是无风险收益率。在最大斜率处,拉格朗日量
$$
L(\mathbf{w})=\nabla\left(\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R}{\sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}}\right)-\lambda \nabla\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}-1\right),
$$
需要等于零。我们可以使用引理$4.3$计算梯度,并将它们等于零:
$$
L(\mathbf{w})=\frac{\boldsymbol{\mu} \sqrt{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}-\left(\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}-R\right) \frac{1}{2 \sqrt{w^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}} 2 C \mathbf{w}}{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{w}}-\lambda \mathbf{1}=\mathbf{0} .
$$

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考|资本资产定价模型


当最小方差投资组合的收益超过无风险收益时,市场投资组合就存在。资本资产定价模型(CAPM)提供了市场投资组合的预期收益$\mu_{\mathrm{m}}$与任何风险资产的预期收益之间的线性关系。这两者通过一个参数联系在一起,通常称为beta $(\beta)$,提供了一种资产不可分散风险的度量。在本章中,我们将探讨这种关系,并展示CAPM公式如何帮助投资决策,以及如何引入投资组合绩效的衡量标准


自相矛盾的是,尽管我们使用方差来量化风险,在评估投资组合风险时,投资组合中资产的方差被证明比它们的互协方差更不相关。为了演示这一点,让我们考虑下面的例子。
示例$5.1$
假设一个投资组合的权重形式为$w_j=\frac{1}{n}, j \leq n$,其中$n$是该投资组合中的资产数量。我们根据其对$n$的依赖性来调查这个投资组合的风险。假设市场上所有证券的方差一致有界,$\sigma_j^2 \leq L$。然后
$$
\sigma_{\mathbf{w}}^2=\sum_{j, k=1}^n w_j w_k \sigma_{j k}=\sum_{j=1}^n w_j^2 \sigma_j^2+\sum_{j \neq k} w_j w_k \sigma_{j k} \leq n \frac{1}{n^2} L+\frac{1}{n^2} \sum_{j \neq k} \sigma_{j k} .
$$


进一步假设协方差矩阵的非对角元素是一致有界的,$\left|\sigma_{j k}\right| \leq c$,对于某个$c>0$。则
$$
\sigma_w^2 \leq \frac{L}{n}+\frac{1}{n^2} n(n-1) c .
$$
上界收敛到$c$,即$n \rightarrow \infty$。因此,一个包含许多资产的投资组合的风险是由协方差决定的。对于较大的$n$ .


这个例子引起了以下两种风险的区别:可分散的,或特定风险,可以通过扩大投资组合来减少为零;不可分散的,系统的,或市场风险,由于证券与市场相联系,无法避免。从上面的例子中,我们看到,单个证券的收益差异不是决定投资组合风险的主要因素。风险应该取决于其不可分散的风险,而不可分散的风险又应该取决于资产与剩余资产的协方差。资本资产定价模型(CAPM)的目的是量化一项资产的系统风险,并将其与预期收益联系起来

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考

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