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金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Derivation of CAPM

In this section we derive the Capital Asset Pricing Model formula for the expected return of a risky security. Before doing so we need the following definition.
Definition $5.2$
We call
$$
\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}\left(K_i, K_{\mathrm{m}}\right)}{\sigma_{\mathrm{m}}^2}
$$
the beta factor of the $i$-th security.
It will turn out that the beta factor is directly related to the systematic risk of a security. We discuss this later on. First we state the famous CAPM formula.
Theorem $5.3$ (CAPM)
Suppose that the risk-free return $R$ is lower than the expected return of the minimal variance portfolio (so that the market portfolio $\mathbf{m}$ exists). Then, for each $i \leq n$, the expected return $\mu_i$ of the $i$-th asset in the portfolio is given by the formula
$$
\mu_i=R+\beta_i\left(\mu_{\mathrm{m}}-R\right) .
$$
Proof As we know, the capital market line is tangent to the minimum variance line at the market portfolio point $\left(\sigma_{\mathbf{m}}, \mu_{\mathbf{m}}\right)$ (see Figure 4.8). Consider all portfolios built by means of the market portfolio and the $i$-th security. They form a hyperbola which we claim to be tangent to the capital market line at $\left(\sigma_{\mathrm{m}}, \mu_{\mathrm{m}}\right)$. Suppose that, on the contrary, this hyperbola intersects the CML. This clearly contradicts the fact that the slope of CML is maximal, see Figure $5.1$

We compute the slope of the tangent line to the hyperbola at $\left(\sigma_{\mathbf{m}}, \mu_{\mathbf{m}}\right)$ and then we will use the fact that the slope of CML is the same. Denote the proportion of wealth invested in security $i$ by $x$ and that invested in the market portfolio by $1-x$. We use $\mathbf{x}$ to denote the portfolio $\mathbf{x}=(x, 1-x)$.

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Security market line

We start by presenting an alternative proof of Theorem 5.3. We do this in a slightly more general context, formulating the result for a portfolio instead of a single security.
Theorem $5.4$
Suppose that the risk-free return $R$ is lower than the expected return of the minimal variance portfolio (so that the market portfolio $\mathbf{m}$ exists). Then, for any portfolio w
$$
\mu_{\mathrm{w}}=R+\beta_{\mathrm{w}}\left(\mu_{\mathrm{m}}-R\right) .
$$
Proof From Theorem $4.10$ we know that
$$
\mathbf{m}=\frac{1}{\gamma} C^{-1}(\mu-R \mathbf{1}),
$$
for $\gamma=\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\boldsymbol{R} \mathbf{1})$. Applying Proposition 4.2,
$$
\beta_{\mathrm{w}}=\frac{\operatorname{Cov}\left(K_{\mathrm{w}}, K_{\mathrm{m}}\right)}{\sigma_{\mathrm{m}}^2}=\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{m}}{\mathbf{m}^{\mathrm{T}} C \mathbf{m}}=\frac{\frac{1}{\gamma} \mathbf{w}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{\mu}-R \mathbf{1})}{\frac{1}{\gamma} \mathbf{m}^{\mathrm{T}}(\mu-R \mathbf{1})} .
$$
Since $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\mu_{\mathrm{w}}, \mathbf{m}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\mu_{\mathrm{m}}$ and $\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=\mathbf{m}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=1$, this gives
$$
\beta_{\mathrm{w}}=\frac{\mu_{\mathrm{w}}-R}{\mu_{\mathrm{m}}-R} .
$$
Rearranging we obtain (5.2).
The above proof is shorter than our first proof of Theorem 5.3. The first proof, however, is more intuitive, showing that the beta factor arises from purely geometric considerations.

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|EC4443

风险和利率理论代考

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考| CAPM的推导


在本节中,我们推导了风险证券预期收益的资本资产定价模型公式。在此之前,我们需要以下定义。
定义$5.2$
我们称
$$
\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}\left(K_i, K_{\mathrm{m}}\right)}{\sigma_{\mathrm{m}}^2}
$$
为$i$ -th安全的beta因子。事实将证明beta因子与证券的系统风险直接相关。我们稍后再讨论这个问题。首先介绍著名的CAPM公式。
定理$5.3$ (CAPM)
假设无风险收益$R$低于最小方差投资组合的预期收益(因此市场投资组合$\mathbf{m}$存在)。然后,对于每个$i \leq n$,投资组合中第$i$资产的预期收益$\mu_i$由公式
$$
\mu_i=R+\beta_i\left(\mu_{\mathrm{m}}-R\right) .
$$
证明我们知道,资本市场线与市场投资组合点$\left(\sigma_{\mathbf{m}}, \mu_{\mathbf{m}}\right)$的最小方差线相切(见图4.8)。考虑通过市场投资组合和$i$ -th安全构建的所有投资组合。它们形成了一条双曲线,我们称其与资本市场线$\left(\sigma_{\mathrm{m}}, \mu_{\mathrm{m}}\right)$相切。相反,假设这个双曲线与CML相交。这显然与CML斜率最大的事实相矛盾,见图$5.1$


我们在$\left(\sigma_{\mathbf{m}}, \mu_{\mathbf{m}}\right)$处计算双曲线切线的斜率,然后我们将使用CML的斜率相同这一事实。用$x$表示投资于证券$i$的财富比例,用$1-x$表示投资于市场组合的财富比例。我们使用$\mathbf{x}$来表示投资组合$\mathbf{x}=(x, 1-x)$ .

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考|证券市场线


我们首先提出定理5.3的另一种证明。我们在稍微更一般的环境中这样做,为一个投资组合而不是单个证券制定结果。
定理$5.4$
假设无风险收益$R$低于最小方差投资组合的预期收益(因此市场投资组合$\mathbf{m}$存在)。然后,对于任何投资组合w
$$
\mu_{\mathrm{w}}=R+\beta_{\mathrm{w}}\left(\mu_{\mathrm{m}}-R\right) .
$$
从定理$4.10$证明我们知道
$$
\mathbf{m}=\frac{1}{\gamma} C^{-1}(\mu-R \mathbf{1}),
$$
对于$\gamma=\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\boldsymbol{R} \mathbf{1})$。应用命题4.2,
$$
\beta_{\mathrm{w}}=\frac{\operatorname{Cov}\left(K_{\mathrm{w}}, K_{\mathrm{m}}\right)}{\sigma_{\mathrm{m}}^2}=\frac{\mathbf{w}^{\mathrm{T}} C \mathbf{m}}{\mathbf{m}^{\mathrm{T}} C \mathbf{m}}=\frac{\frac{1}{\gamma} \mathbf{w}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{\mu}-R \mathbf{1})}{\frac{1}{\gamma} \mathbf{m}^{\mathrm{T}}(\mu-R \mathbf{1})} .
$$
由于$\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\mu_{\mathrm{w}}, \mathbf{m}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}=\mu_{\mathrm{m}}$和$\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=\mathbf{m}^{\mathrm{T}} \mathbf{1}=1$,得到
$$
\beta_{\mathrm{w}}=\frac{\mu_{\mathrm{w}}-R}{\mu_{\mathrm{m}}-R} .
$$
重新排列得到(5.2)。以上证明比定理5.3的第一个证明要短。然而,第一个证明更加直观,它表明β因子来自纯粹的几何考虑

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