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机器学习代写|机器学习代写machine learning代考|Fitting a Linear Multiple Regression Model via the Ordinary Least Square (OLS) Method

In a general context, we have a covariate vector $X=\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\mathrm{T}}$ and we want to use this information to predict or explain how this variable affects a real-value response $Y$. The linear multiple regression model assumes a relationship given by
$$
Y=\beta_0+\sum_{j=1}^p X_j \beta_j+\epsilon,
$$
where $\epsilon$ is a random error with mean $0, E(\epsilon)=0$ and is independent of $X$. This error is included in the model to capture measurement errors and the effects of other unregistered explanatory variables that can help to explain the mean response.

Then, the conditional mean of this model is $E(Y \mid X)=\beta_0+\sum_{j=1}^p X_j \beta_j$ and the conditional distribution of $Y$ given $X$ is only affected by the information of $X$.
For estimating the parameters $\beta=\left(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\mathrm{T}}$, usually we have a set of data $\left(\boldsymbol{x}i^{\mathrm{T}}, y_i\right), i=1, \ldots, n$, often known as training data, where $\boldsymbol{x}_i=\left(x{i 1}, \ldots, x_{i p}\right)^{\mathrm{T}}$ is a vector of features measurement and $y_i$ is the response measurement corresponding to the $i$ th individual drawn. The most common method for estimating $\boldsymbol{\beta}$ is the least squares method (OLS) that consists of taking the $\boldsymbol{\beta}$ value that minimizes the residual sum of squares defined as
$$
\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\beta_0-\boldsymbol{x}i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}_0\right)^2=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}), $$ where $\boldsymbol{\beta}_0=\left(\beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$ is the vector with the response values of all individuals, and $\boldsymbol{X}$ is an $n \times(p+1)$ matrix that contains the information of the measured features of all individuals, including the intercept in the first entry: $$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & x{11} & \cdots & x_{1 p} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p}
\end{array}\right]
$$
If the $\boldsymbol{X}$ matrix has full column rank, then by differentiating the residual sum of squares with respect to the $\boldsymbol{\beta}$ coefficients, we can find the set of $\boldsymbol{\beta}$ parameters that minimize the $\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})$,
$$
\frac{\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{2} \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{2}\left[\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}\right]
$$
This derivative is also known as the gradient of the residual sum of squares. Then by setting the gradient of the residual sum of squares to zero, we obtain the normal equations
$$
\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}
$$

机器学习代写|机器学习代写machine learning代考|Fitting the Linear Multiple Regression Model via the Maximum Likelihood (ML) Method

The maximum likelihood (ML) estimation is a more general and popular method for estimating the parameters of a model (Casella and Berger 2002). It consists of finding the parameter value that maximizes the “probability” of observed values in the sample under the adopted model. Specifically, if $\left(x_i^{\mathrm{T}}, y_i\right), i=1, \ldots, n$, is a set of observations from a multiple linear regression model (3.1) with homoscedastic and uncorrelated errors, the MLE of $\boldsymbol{\beta}$ and $\sigma^2, \widehat{\boldsymbol{\beta}}$ and $\widehat{\sigma}^2$, of this model is defined as
$$
\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\mathrm{T}}, \hat{\sigma}^2\right)=\underset{\boldsymbol{\beta}, \sigma^2}{\arg \max } L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right),
$$
where $L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)$ is the likelihood function of the parameters, which is the probability of the observed response values but viewed as a function of the parameters
$$
L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\right)^n \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})\right]
$$
Then, the $\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)$ is equal to
$$
\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)=-\frac{n}{2} \log (2 \pi)-n \log (\sigma)-\frac{1}{2 \sigma^2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})
$$
To find the maximum of $\sigma^2$ and $\boldsymbol{\beta}$, we get the derivative of $\log \left(L\left(\widehat{\boldsymbol{\beta}}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)$ with regard to these parameters
$$
\begin{gathered}
\frac{\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}\right]}{\sigma^2} \
\frac{\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)}{\partial \sigma^2}=-\frac{n}{2 \sigma^2}+\frac{1}{2 \sigma^4}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})
\end{gathered}
$$

机器学习代考

机器学习代写|机器学习代写machine learning代考|通过普通最小二乘(OLS)方法拟合线性多元回归模型

在一般情况下，我们有一个协变量向量$X=\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\mathrm{T}}$，我们想用这个信息来预测或解释这个变量如何影响实值响应$Y$。线性多元回归模型假设
$$
Y=\beta_0+\sum_{j=1}^p X_j \beta_j+\epsilon,
$$
给出的关系，其中$\epsilon$是一个均值为$0, E(\epsilon)=0$的随机误差，与$X$无关。该误差被包含在模型中，以捕获测量误差和其他未注册解释变量的影响，这些变量有助于解释平均响应

则该模型的条件均值为 $E(Y \mid X)=\beta_0+\sum_{j=1}^p X_j \beta_j$ 的条件分布 $Y$ 给定 $X$ 是否只受信息的影响 $X$.
用于估计参数 $\beta=\left(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\mathrm{T}}$，通常我们有一组数据 $\left(\boldsymbol{x}i^{\mathrm{T}}, y_i\right), i=1, \ldots, n$，通常称为培训数据，其中 $\boldsymbol{x}_i=\left(x{i 1}, \ldots, x_{i p}\right)^{\mathrm{T}}$ 向量的特征是测量和 $y_i$ 响应测量是否与 $i$ 画出来的那个人。最常用的估算方法 $\boldsymbol{\beta}$ 是最小二乘方法(OLS)，它由 $\boldsymbol{\beta}$ 值，使定义为
的剩余平方和最小$$
\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})=\sum_{i=1}^n\left(y_i-\beta_0-\boldsymbol{x}i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}_0\right)^2=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}), $$ 哪里 $\boldsymbol{\beta}_0=\left(\beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{y}=\left(y_1, \ldots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$ 向量是否包含所有个体的响应值，和 $\boldsymbol{X}$ 是一个 $n \times(p+1)$ 包含所有个体的测量特征信息的矩阵，包括第一个条目中的截距: $$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & x{11} & \cdots & x_{1 p} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p}
\end{array}\right]
$$
如果 $\boldsymbol{X}$ 矩阵有全列秩，然后通过对 $\boldsymbol{\beta}$ 我们可以找到系数的集合 $\boldsymbol{\beta}$ 参数最小化 $\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})$，
$$
\frac{\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{2} \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{2}\left[\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}\right]
$$这个导数也被称为残差平方和的梯度。然后将残差平方和的梯度设为零，得到法方程
$$
\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}
$$

机器学习代写|机器学习代写machine learning代考|通过最大似然(ML)方法拟合线性多元回归模型

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最大似然(ML)估计是一种更普遍和流行的估计模型参数的方法(Casella和Berger 2002)。它包括找到在所采用的模型下，使样本中观测值的“概率”最大化的参数值。具体来说，如果$\left(x_i^{\mathrm{T}}, y_i\right), i=1, \ldots, n$是来自具有同方差和不相关误差的多元线性回归模型(3.1)的一组观测值，则该模型的$\boldsymbol{\beta}$、$\sigma^2, \widehat{\boldsymbol{\beta}}$和$\widehat{\sigma}^2$的MLE定义为
$$
\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\mathrm{T}}, \hat{\sigma}^2\right)=\underset{\boldsymbol{\beta}, \sigma^2}{\arg \max } L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right),
$$
，其中$L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)$是参数的似然函数，这是观测响应值的概率，但被视为参数的函数
$$
L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\right)^n \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})\right]
$$
则，$\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)$ =
$$
\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)=-\frac{n}{2} \log (2 \pi)-n \log (\sigma)-\frac{1}{2 \sigma^2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})
$$
为了找到$\sigma^2$和$\boldsymbol{\beta}$的最大值，我们得到$\log \left(L\left(\widehat{\boldsymbol{\beta}}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)$对这些参数的导数
$$
\begin{gathered}
\frac{\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)}{\partial \boldsymbol{\beta}}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y}\right]}{\sigma^2} \
\frac{\log \left(L\left(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 ; \boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}\right)\right)}{\partial \sigma^2}=-\frac{n}{2 \sigma^2}+\frac{1}{2 \sigma^4}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta})
\end{gathered}
$$

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