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统计代写|线性回归代写linear regression代考|Graphical Methods for Response Transformations

If the ratio of largest to smallest value of $y$ is substantial, we usually begin
by looking at $\log y$.
Mosteller and Tukey (1977, p. 91)
The applicability of the multiple linear regression model can be expanded by allowing response transformations. An important class of response transformation models adds an additional unknown transformation parameter $\lambda_o$, such that
$$
Y_i=t_{\lambda_o}\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{\left(\lambda_o\right)}=E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}i\right)+e_i=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i . $$ If $\lambda_o$ was known, then $Y_i=t{\lambda_o}\left(Z_i\right)$ would follow a multiple linear regression model with $p$ predictors including the constant. Here, $\boldsymbol{\beta}$ is a $p \times 1$ vector of unknown coefficients depending on $\lambda_o, \boldsymbol{x}$ is a $p \times 1$ vector of predictors that are assumed to be measured with negligible error, and the errors $e_i$ are assumed to be iid with zero mean.

Definition 3.2. Assume that all of the values of the “response” $Z_i$ are positive. A power transformation has the form $Y=t_\lambda(Z)=Z^\lambda$ for $\lambda \neq 0$ and $Y=t_0(Z)=\log (Z)$ for $\lambda=0$ where
$$
\lambda \in \Lambda_L={-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1} .
$$

Definition 3.3. Assume that all of the values of the “response” $Z_i$ are positive. Then the modified power transformation family
$$
t_\lambda\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{(\lambda)}=\frac{Z_i^\lambda-1}{\lambda}
$$
for $\lambda \neq 0$ and $Z_i^{(0)}=\log \left(Z_i\right)$. Generally $\lambda \in \Lambda$ where $\Lambda$ is some interval such as $[-1,1]$ or a coarse subset such as $\Lambda_L$. This family is a special case of the response transformations considered by Tukey (1957).

A graphical method for response transformations refits the model using the same fitting method: changing only the “response” from $Z$ to $t_\lambda(Z)$. Compute the “fitted values” $\hat{W}i$ using $W_i=t\lambda\left(Z_i\right)$ as the “response.” Then a transformation plot of $\hat{W}i$ versus $W_i$ is made for each of the seven values of $\lambda \in \Lambda_L$ with the identity line added as a visual aid. Vertical deviations from the identity line are the “residuals” $r_i=W_i-\hat{W}_i$. Then a candidate response transformation $Y=t{\lambda^*}(Z)$ is reasonable if the plotted points follow the identity line in a roughly evenly populated band if the unimodal MLR model is reasonable for $Y=W$ and $\boldsymbol{x}$. See Definition 2.6. Curvature from the identity line suggests that the candidate response transformation is inappropriate.

统计代写|线性回归代写linear regression代考|Main Effects, Interactions, and Indicators

Section $1.4$ explains interactions, factors, and indicator variables in an abstract setting when $Y \Perp \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ where $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ is the sufficient predictor (SP). MLR is such a model. The Section $1.4$ interpretations given in terms of the SP can be given in terms of $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ for MLR since $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}=S P$ for MLR.

Definition 3.5. Suppose that the explanatory variables have the form $x_2, \ldots, x_k, x_{j j}=x_j^2, x_{i j}=x_i x_j, x_{234}=x_2 x_3 x_4$, et cetera. Then the variables $x_2, \ldots, x_k$ are main effects. A product of two or more different main effects is an interaction. A variable such as $x_2^2$ or $x_7^3$ is a power. An $x_2 x_3$ interaction will sometimes also be denoted as $x_2: x_3$ or $x_2 * x_3$.

Definition 3.6. A factor $W$ is a qualitative random variable. Suppose $W$ has $c$ categories $a_1, \ldots, a_c$. Then the factor is incorporated into the MLR model by using $c-1$ indicator variables $x_{W j}=1$ if $W=a_j$ and $x_{W j}=0$ otherwise, where one of the levels $a_j$ is omitted, e.g. use $j=1, \ldots, c-1$. Each indicator variable has 1 degree of freedom. Hence the degrees of freedom of the $c-1$ indicator variables associated with the factor is $c-1$.

Rule of thumb 3.3. Suppose that the MLR model contains at least one power or interaction. Then the corresponding main effects that make up the powers and interactions should also be in the MLR model.

Rule of thumb $3.3$ suggests that if $x_3^2$ and $x_2 x_7 x_9$ are in the MLR model, then $x_2, x_3, x_7$, and $x_9$ should also bé in thè MLR módẹl. A quick way tó chéck whether a term like $x_3^2$ is needed in the model is to fit the main effects models and then make a scatterplot matrix of the predictors and the residuals, where the residuals $r$ are on the top row. Then the top row shows plots of $x_k$ versus $r$, and if a plot is parabolic, then $x_k^2$ should be added to the model. Potential predictors $w_j$ could also be added to the scatterplot matrix. If the plot of $w_j$ versus $r$ shows a positive or negative linear trend, add $w_j$ to the model. If the plot is quadratic, add $w_j$ and $w_j^2$ to the model. This technique is for quantitative variables $x_k$ and $w_j$.

统计代写|线性回归代写linear regression代考|STA621

线性回归代考

统计代写|线性回归代写线性回归代考|响应转换的图形方法

如果$y$的最大值和最小值的比率很大,我们通常从$\log y$开始Mosteller和Tukey (1977, p. 91)
多元线性回归模型的适用性可以通过允许响应转换来扩展。一类重要的响应转换模型添加了一个额外的未知转换参数$\lambda_o$,例如
$$
Y_i=t_{\lambda_o}\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{\left(\lambda_o\right)}=E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}i\right)+e_i=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i . $$如果$\lambda_o$是已知的,那么$Y_i=t{\lambda_o}\left(Z_i\right)$将遵循一个具有$p$预测器(包括常数)的多元线性回归模型。在这里,$\boldsymbol{\beta}$是一个$p \times 1$的未知系数向量,取决于$\lambda_o, \boldsymbol{x}$是一个$p \times 1$的预测因子向量,假设被测量的误差可以忽略不计,误差$e_i$假设为iid,平均值为零。

定义假设“响应”$Z_i$的所有值都是正的。幂变换形式为$Y=t_\lambda(Z)=Z^\lambda$表示$\lambda \neq 0$, $Y=t_0(Z)=\log (Z)$表示$\lambda=0$,其中
$$
\lambda \in \Lambda_L={-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1} .
$$

定义假设“响应”$Z_i$的所有值都是正的。然后对$\lambda \neq 0$和$Z_i^{(0)}=\log \left(Z_i\right)$修改后的幂变换族
$$
t_\lambda\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{(\lambda)}=\frac{Z_i^\lambda-1}{\lambda}
$$
。通常是$\lambda \in \Lambda$,其中$\Lambda$是某个区间(如$[-1,1]$)或粗子集(如$\Lambda_L$)。这个族是Tukey(1957)所考虑的响应转换的一个特例


响应转换的图形化方法使用相同的拟合方法对模型进行改装:只将“响应”从$Z$更改为$t_\lambda(Z)$。使用$W_i=t\lambda\left(Z_i\right)$作为“响应”计算“拟合值”$\hat{W}i$。然后为$\lambda \in \Lambda_L$的七个值分别制作$\hat{W}i$与$W_i$的转换图,并添加标识线作为视觉辅助。偏离标识线的垂直偏差是“残差”$r_i=W_i-\hat{W}_i$。然后,如果绘制的点在一个大致均匀分布的波段中遵循标识线,如果单峰MLR模型对$Y=W$和$\boldsymbol{x}$是合理的,则候选响应转换$Y=t{\lambda^*}(Z)$是合理的。参见定义2.6。来自恒等线的曲率表明候选响应转换是不合适的

统计代写|线性回归代写线性回归代考|主要影响,相互作用,和指标

Section $1.4$ 在抽象设置中解释交互、因素和指示变量 $Y \Perp \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ 哪里 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ 为充分预测因子(SP)。MLR就是这样一种模式。部分 $1.4$ 根据SP给出的解释可以根据 $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ 自 $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}=S P$

定义假设解释变量的形式为$x_2, \ldots, x_k, x_{j j}=x_j^2, x_{i j}=x_i x_j, x_{234}=x_2 x_3 x_4$,等等。变量$x_2, \ldots, x_k$是主要效应。两种或两种以上不同主要效果的产物称为相互作用。像$x_2^2$或$x_7^3$这样的变量是乘方。$x_2 x_3$交互有时也表示为$x_2: x_3$或$x_2 * x_3$。

定义因子$W$是一个定性随机变量。假设$W$有$c$类$a_1, \ldots, a_c$。然后,通过使用$c-1$指标变量$x_{W j}=1$(如果是$W=a_j$)和$x_{W j}=0$(否则是$a_j$)将该因素纳入MLR模型,其中一个级别被省略了,例如使用$j=1, \ldots, c-1$。每个指标变量有1个自由度。因此,与因子相关的$c-1$指标变量的自由度是$c-1$ .


经验法则3.3.

假设MLR模型至少包含一种动力或相互作用。那么相应的主要效果构成的权力和相互作用也应该在MLR模型 经验法则$3.3$建议如果$x_3^2$和$x_2 x_7 x_9$在MLR模型中,那么$x_2, x_3, x_7$和$x_9$也应该在thè MLR módẹl中bé。一个快速的方法tó chéck是否需要像$x_3^2$这样的术语在模型中是拟合主要的效应模型,然后制作一个预测因子和残差的散点矩阵,其中残差$r$在最上面一行。然后最上面一行显示了$x_k$和$r$的曲线,如果曲线是抛物线的,那么应该将$x_k^2$添加到模型中。潜在的预测因子$w_j$也可以添加到散点图矩阵中。如果$w_j$与$r$的曲线呈现正或负的线性趋势,则将$w_j$添加到模型中。如果是二次曲线,则将$w_j$和$w_j^2$添加到模型中。该技术适用于定量变量$x_k$和$w_j$。

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