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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Cutting Planes

In the previous sections we considered integral polyhedra. For general polyhedra $P$ we have $P \supset P_I$. If we want to solve an integer linear program $\max \left{c x: x \in P_I\right}$, it is a natural idea to cut off certain parts of $P$ such that the resulting set is again a polyhedron $P^{\prime}$ and we have $P \supset P^{\prime} \supset P_I$. Hopefully $\max \left{c x: x \in P^{\prime}\right}$ is attained by an integral vector; otherwise we can repeat this cutting-off procedure for $P^{\prime}$ in order to obtain $P^{\prime \prime}$ and so on. This is the basic idea behind the cutting plane method, first proposed for a special problem (the TSP) by Dantzig, Fulkerson and Johnson [1954].

Gomory $[1958$, 1963] found an algorithm which solves general integer programs with the cutting plane method. In this section we restrict ourselves to the theoretical background. Gomory’s algorithm does not run in polynomial time and has little practical relevance in its original form. However, the general idea of cutting plane methods is used very often and successfully in practice. We shall discuss this in Section 21.6. The following presentation is mainly based on Schrijver [1986].
Definition 5.29. Let $P \subseteq \mathbb{R}^n$ be a convex set. Then we define
$$
P^{\prime}:=\bigcap_{P \subseteq H} H_I,
$$
where the intersection ranges over all rational affine half-spaces $H={x: c x \leq \delta}$ containing $P$. We set $P^{(0)}:=P$ and $P^{(i+1)}:=\left(P^{(i)}\right)^{\prime} . P^{(i)}$ is called the $i$-th Gomory-Chvátal-truncation of $P$.

If $P$ is a rational polyhedron, then $P^{\prime}$ is also a rational polyhedron, as we will show below. Therefore $P \supseteq P^{\prime} \supseteq P^{(2)} \supseteq \cdots \supseteq P_I$ and $P_I=\left(P^{\prime}\right)_I$. We remark that Dadush, Dey, and Vielma [2011] proved that if $P$ is any compact convex set, then $P^{\prime}$ is a rational polytope.
Proposition 5.30. For any rational polyhedron $P={x: A x \leq b}$,
$$
P^{\prime}={x: u A x \leq\lfloor u b\rfloor \text { for all } u \geq 0 \text { with } u A \text { integral }} .
$$
Proof: We first make two observations. For any rational affine half-space $H=$ ${x: c x \leq \delta}$ with $c$ integral we obviously have
$$
H^{\prime}=H_I \subseteq{x: c x \leq\lfloor\delta\rfloor} .
$$
If in addition the components of $c$ are relatively prime (i.e., their greatest common divisor is 1), we claim that
$$
H^{\prime}=H_I={x: c x \leq\lfloor\delta\rfloor} .
$$

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Lagrangean Relaxation

Suppose we have an integer linear program $\max \left{c x: A x \leq b, A^{\prime} x \leq b^{\prime}, x\right.$ integral $}$ that becomes substantially easier to solve when the constraints $A^{\prime} x \leq b^{\prime}$ are omitted. We write $Q:=\left{x \in \mathbb{Z}^n: A x \leq b\right}$ and assume that we can optimize linear objective functions over $Q$ (for example if $\operatorname{conv}(Q)={x: A x \leq b}$ ). Lagrangean relaxation is a technique to get rid of some troublesome constraints (in our case $A^{\prime} x \leq b^{\prime}$ ). Instead of explicitly enforcing the constraints we modify the objective function in order to punish infeasible solutions. More precisely, instead of optimizing
$$
\max \left{c^{\top} x: A^{\prime} x \leq b^{\prime}, x \in Q\right}
$$
we consider, for any vector $\lambda \geq 0$,

$$
L R(\lambda):=\max \left{c^{\top} x+\lambda^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x\right): x \in Q\right} .
$$
For each $\lambda \geq 0, L R(\lambda)$ is an upper bound for (5.7) which is relatively easy to compute. (5.8) is called the Lagrangean relaxation of (5.7), and the components of $\lambda$ are called Lagrange multipliers.

Lagrangean relaxation is a useful technique in nonlinear programming; but here we restrict ourselves to (integer) linear programming.

Of course one is interested in as good an upper bound as possible. Observe that $\lambda \mapsto L R(\lambda)$ is a convex function. The following procedure (called subgradient optimization) can be used to minimize $L R(\lambda)$ :

Start with an arbitrary vector $\lambda^{(0)} \geq 0$. In iteration $i$, given $\lambda^{(i)}$, find a vector $x^{(i)}$ maximizing $c^{\top} x+\left(\lambda^{(i)}\right)^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x\right)$ over $Q$ (i.e. compute $L R\left(\lambda^{(i)}\right)$ ). Note that $L R(\lambda)-L R\left(\lambda^{(i)}\right) \geq\left(\lambda-\lambda^{(i)}\right)^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}\right)$ for all $\lambda$, i.e. $b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}$ is a subgradient of $L R$ at $\lambda^{(i)}$. Set $\lambda^{(i+1)}:=\max \left{0, \lambda^{(i)}-t_i\left(b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}\right)\right}$ for some $t_l>0$. Polyak [1967] showed that if $\lim {t \rightarrow \infty} t_l=0$ and $\sum{i=0}^{\infty} t_i=\infty$, then $\lim _{i \rightarrow \infty} L R\left(\lambda^{(i)}\right)=\min {L R(\lambda): \lambda \geq 0}$. For more results on the convergence of subgradient optimization, see Goffin [1977] and Anstreicher and Wolsey [2009].

组合优化代考

数学代写|组合优化代写组合优化代考|切割平面

.切割平面 .切割平面

在前几节中，我们讨论了整体多面体。对于一般多面体$P$，我们有$P \supset P_I$。如果我们想解一个整数线性程序$\max \left{c x: x \in P_I\right}$，一个自然的想法是砍掉$P$的某些部分，这样得到的结果集又是一个多面体$P^{\prime}$，我们有$P \supset P^{\prime} \supset P_I$。但愿$\max \left{c x: x \in P^{\prime}\right}$是通过积分向量得到的;否则，我们可以对$P^{\prime}$重复这个切断过程，以获得$P^{\prime \prime}$等等。这是切割平面法背后的基本思想，由Dantzig、Fulkerson和Johnson[1954]首先提出用于一个特殊问题(TSP)

Gomory $[1958$, 1963]发现了一个用切割平面法求解一般整数程序的算法。在这一节中，我们只讨论理论背景。Gomory的算法不是在多项式时间内运行的，它的原始形式几乎没有实际意义。然而，切割平面法的一般思想在实践中得到了广泛的应用并取得了成功。我们将在第21.6节对此进行讨论。下面的介绍主要基于Schrijver[1986]。
定义5.29。设$P \subseteq \mathbb{R}^n$是一个凸集。然后我们定义
$$
P^{\prime}:=\bigcap_{P \subseteq H} H_I,
$$
，其中交集范围是所有包含$P$的有理仿射半空间$H={x: c x \leq \delta}$。我们将$P^{(0)}:=P$和$P^{(i+1)}:=\left(P^{(i)}\right)^{\prime} . P^{(i)}$称为$P$的$i$ -th Gomory-Chvátal-truncation。

如果$P$是一个有理多面体，那么$P^{\prime}$也是一个有理多面体，如下所示。因此，$P \supseteq P^{\prime} \supseteq P^{(2)} \supseteq \cdots \supseteq P_I$和$P_I=\left(P^{\prime}\right)_I$。我们注意到，Dadush, Dey和Vielma[2011]证明了如果$P$是任何紧凸集，那么$P^{\prime}$是一个有理多面。
命题5.30。对于任何有理多面体$P={x: A x \leq b}$，
$$
P^{\prime}={x: u A x \leq\lfloor u b\rfloor \text { for all } u \geq 0 \text { with } u A \text { integral }} .
$$
证明:我们首先做两个观察。对于任何有理仿射半空间$H=$${x: c x \leq \delta}$和$c$积分，我们显然有
$$
H^{\prime}=H_I \subseteq{x: c x \leq\lfloor\delta\rfloor} .
$$
如果另外$c$的分量是相对素数(即它们的最大公约数是1)，我们声称
$$
H^{\prime}=H_I={x: c x \leq\lfloor\delta\rfloor} .
$$

数学代写|组合优化代写组合优化代考|拉格朗日弛豫

假设我们有一个整数线性程序$\max \left{c x: A x \leq b, A^{\prime} x \leq b^{\prime}, x\right.$ integral $}$，当省略约束条件$A^{\prime} x \leq b^{\prime}$时，它的求解变得非常容易。我们写$Q:=\left{x \in \mathbb{Z}^n: A x \leq b\right}$并假设我们可以优化$Q$上的线性目标函数(例如$\operatorname{conv}(Q)={x: A x \leq b}$)。拉格朗日松弛是一种摆脱一些麻烦约束的技术(在我们的例子中是$A^{\prime} x \leq b^{\prime}$)。为了惩罚不可行的解决方案，我们修改了目标函数，而不是显式地执行约束条件。更准确地说，我们考虑的不是优化
$$
\max \left{c^{\top} x: A^{\prime} x \leq b^{\prime}, x \in Q\right}
$$
，而是对任何向量$\lambda \geq 0$，

$$
L R(\lambda):=\max \left{c^{\top} x+\lambda^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x\right): x \in Q\right} .
$$
对于每个$\lambda \geq 0, L R(\lambda)$是(5.7)的上界，相对容易计算。(5.8)称为(5.7)的拉格朗日松弛，$\lambda$的分量称为拉格朗日乘子 拉格朗日松弛是非线性规划中一种有用的技术;但在这里，我们将自己限制在(整数)线性规划 当然，我们感兴趣的是一个尽可能好的上界。观察$\lambda \mapsto L R(\lambda)$是一个凸函数。下面的过程(称为次梯度优化)可用于最小化$L R(\lambda)$:

从任意向量$\lambda^{(0)} \geq 0$开始。在迭代$i$中，给定$\lambda^{(i)}$，找到一个向量$x^{(i)}$，最大化$c^{\top} x+\left(\lambda^{(i)}\right)^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x\right)$除以$Q$(即计算$L R\left(\lambda^{(i)}\right)$)。注意$L R(\lambda)-L R\left(\lambda^{(i)}\right) \geq\left(\lambda-\lambda^{(i)}\right)^{\top}\left(b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}\right)$对于所有$\lambda$，即$b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}$是$\lambda^{(i)}$上$L R$的子梯度。为一些$t_l>0$设置$\lambda^{(i+1)}:=\max \left{0, \lambda^{(i)}-t_i\left(b^{\prime}-A^{\prime} x^{(i)}\right)\right}$。Polyak[1967]表明如果$\lim {t \rightarrow \infty} t_l=0$和$\sum{i=0}^{\infty} t_i=\infty$，则$\lim _{i \rightarrow \infty} L R\left(\lambda^{(i)}\right)=\min {L R(\lambda): \lambda \geq 0}$。关于亚梯度优化收敛性的更多结果，参见Goffin[1977]和Anstreicher和Wolsey [2009]

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