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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Finite Fields

To emphasize that we have a field, from here on we shall denote the finite field with $p$ elements by $\mathbb{F}_p$ rather than $\mathbb{Z}_p$. This is simply a notational change; $\mathbb{F}_p$ and $\mathbb{Z}_p$ both denote the exact same set with the exact same algebraic structure.

By a prime power we mean a positive integer of the form $p^e$ where $p$ is a prime and $e \geq 1$ is a positive integer. For example, $2^4$, $5^{10}$, and $97^2$ are prime powers, but numbers like 6, 10, 12, 24, 96 are not prime powers. We note that prime numbers are also prime powers since the exponent $e$ can be 1 . Below we shall often use $q$ to represent a prime power; that is, $q=p^e$ for some prime $p$ and some positive integer exponent $e$.

Here then is the answer to our question above about the existence of finite fields besides the collection $\left{\mathbb{F}_p \mid p\right.$ prime $}$.

Theorem 10.1. (a) If $p$ is a prime and $e \geq 1$ is a positive integer, there is a finite field $\mathbb{F}_{p^e}$ of order $p^e$, i.e., which contains exactly $p^e$ distinct elements.
(b) Moreover if $F$ is a finite field, then $F$ must contain exactly $p^e$ distinct elements for some prime $p$ and some positive integer $e \geq 1$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Constructing Finite Fields

We now turn to the following question: Given a prime number $p$ and a positive integer $e$, how can we construct both the elements and the arithmetic operations of a finite field $\mathbb{F}_{p^e}$ ? Of course we’ve long since known how to do this when $e=1$, but we have to this point not considered how to do it when $e>1$. It turns out that a convenient way to do this construction is to utilize polynomials in a single unknown whose coefficients are taken from the prime finite field $\mathbb{F}_p$. We shall denote by $\mathbb{F}_p[\theta]$ the set of all polynomials in the single unknown $\theta$ with coefficients in $\mathbb{F}_p$, where $p$ is any prime. This set has algebraic structure by using standard addition and multiplication of polynomials. Here are two important definitions:
A polynomial $f(\theta)$ is called monic if its leading term (i.e., nonzero term of highest degree) has a coefficient of 1 . So, for example $\theta^2+4 \theta+3$ is monic but $2 \theta+4$ is not. Important idea: Monic polynomials in $\mathbb{F}_p[\theta]$ are the analogue of positive numbers in the integers $\mathbb{Z}$.

A polynomial $f(\theta)$ is called irreducible if it cannot be factored into two polynomials of positive degree. For example, in $\mathbb{F}_2[\theta], \theta^2+\theta+1$ is irreducible, but $\theta^2+1=(\theta+1)(\theta+1)$ is not. We note that the irreducibility of a polynomial depends on the field of coefficients. For example, the polynomial $x^2-2$ is irreducible over the field of $\mathbb{Q}$ of rational numbers, but it is reducible over the field $\mathbb{R}$ of real numbers since there $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. Important idea: Irreducible polynomials in $\mathbb{F}_p[\theta]$ are the analogue of prime numbers in the integers $\mathbb{Z}$.

数论代考

数学代写|数论作业代写数论代考|有限域

为了强调我们有一个字段，从这里开始，我们将用$\mathbb{F}_p$而不是$\mathbb{Z}_p$来表示具有$p$元素的有限字段。这只是一个符号上的变化;$\mathbb{F}_p$和$\mathbb{Z}_p$都表示具有完全相同的代数结构的完全相同的集合

我们所说的素数幂指的是$p^e$形式的正整数，其中$p$是素数，$e \geq 1$是正整数。例如，$2^4$、$5^{10}$和$97^2$是素数幂，但像6、10、12、24、96这样的数字不是素数幂。我们注意到，素数也是素数幂，因为指数$e$可以是1。下面我们将经常使用$q$来代表一个主要的力量;也就是说，对于某个素数$p$和某个正整数指数$e$, $q=p^e$。

这是我们上面关于集合外存在有限域的问题的答案$\left{\mathbb{F}_p \mid p\right.$ prime $}$ .

定理10.1。(a)如果 $p$ 是质数 $e \geq 1$ 是正整数，有一个有限域吗 $\mathbb{F}_{p^e}$ 有序的 $p^e$，即包含确切的 $p^e$
(b)此外，如果 $F$ 是有限域吗 $F$ 必须包含精确的 $p^e$ 质数的不同元素 $p$ 和某个正整数 $e \geq 1$

数学代写|数论作业代写数论代考|构造有限域

我们现在转到下面的问题:给定素数$p$和正整数$e$，如何构造有限域$\mathbb{F}_{p^e}$的元素和算术运算?当然，我们早就知道在$e=1$时如何做到这一点，但我们到目前为止还没有考虑在$e>1$时如何做到这一点。事实证明，一个方便的方法来做这个构造是利用多项式在一个单一的未知数，其系数从质数有限域$\mathbb{F}_p$。我们用$\mathbb{F}_p[\theta]$表示单个未知的$\theta$中所有多项式的集合，其中系数为$\mathbb{F}_p$，其中$p$是任意素数。该集合利用多项式的标准加法和乘法，具有代数结构。如果多项式$f(\theta)$的前项(即最高次的非零项)的系数为1，则该多项式称为monic多项式。例如，$\theta^2+4 \theta+3$是monic，而$2 \theta+4$不是。重要思想:$\mathbb{F}_p[\theta]$中的Monic多项式是整数$\mathbb{Z}$中的正数模拟。

如果一个多项式$f(\theta)$不能被分解成两个正次多项式，则称为不可约多项式。例如，在$\mathbb{F}_2[\theta], \theta^2+\theta+1$中是不可约的，但$\theta^2+1=(\theta+1)(\theta+1)$不是。我们注意到多项式的不可约性取决于系数场。例如，多项式$x^2-2$在有理数的$\mathbb{Q}$域上是不可约的，但它在实数的$\mathbb{R}$域上是可约的，因为那里有$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$。重要思想:$\mathbb{F}_p[\theta]$中的不可约多项式是整数$\mathbb{Z}$中的素数的类似物。

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