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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Multiplicative Structure

One surprising fact about finite fields is that their multiplicative structure is as simple as possible, in a sense that we will now make precise. In order to do this, we need a little more language from abstract algebra. We know that in general a field $F$ possesses both an addition and a multiplication which must obey certain rules, for example we know that every non-zero element of $F$ must have a multiplicative inverse in $F$. In abstract algebra we say that the elements of $F$ form a “group” under addition, and that the non-zero elements of $F$ (often denoted $F^*$ ) form a group under multiplication. If we now focus in on the case $F=\mathbb{F}_q$ (where $q$ is a prime power), we know that the additive group has order $q$ and the multiplicative group has order $q-1$. If $q=p^e$ ( $p$ prime), we also know that the additive structure is simply addition modulo $p$ if $e=$ 1 and is polynomial addition modulo $p$ if $e>1$. The multiplicative structure is multiplication modulo $p$ when $e=1$, but we saw in the previous section that when $e>1$, multiplication seems more complicated. It turns out, however and as we said above, that even though doing multiplication is tricky, the underlying multiplicative structure is not complicated.

One of the fundamental and beautiful theorems of the finite group theory is Lagrange’s Theorem, which says quite simply that the order of a subgroup of a finite group must divide the order of the group. Here we wish to apply this result to to a certain type of subgroup called a cyclic subgroup, as follows.

Suppose $a \neq 1$ is an element of $\mathbb{F}_q^$ (which is a multiplicative group of order $q-1$ ) and consider the set $\left{a, a^2, a^3, \ldots\right}$ of powers of $a$. Since $\mathbb{F}_q^$ is finite, eventually some power $a^m$ will be the first to have the same value as a previous power $a^n$. But $a^m=a^n$ tells us that $a^{m-n}=1$. Writing $k=m-n$, we say that $k$ is the order of the element $a$ in the multiplicative group $\mathbb{F}_q^$; i.e., $k$ is the smallest positive integer such that $a^k=1$. Moreover, the set of $k$ elements $\left{1, a, a^2, \ldots, a^{k-1}\right}$ form a subgroup of $\mathbb{F}_q^$. This subgroup is called the cyclic subgroup generated by $a$, and is often denoted $\langle a\rangle$. We may also denote the order of $a$ by $|a|$.

Now applying Lagrange’s Theorem, to the cyclic subgroup $<$ $a>$ inside the group $\mathbb{F}_q^$, we must have that $k$ (the multiplicative order of $a$ and hence of $\langle a\rangle)$ must divide $q-1$, say $q-1=s k$ for some integer $s$. Hence we have that $a^{q-1}=a^{s k}=\left(a^k\right)^s=1^s=1$; that is, we have shown that for every element $a$ of $\mathbb{F}_q^, a^{q-1}=1$, and the order $|a|$ of $a$ divides $q-1$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Counting Irreducible Polynomials

In Section 10.4, while discussing a procedure for constructing the finite field $\mathbb{F}_{p^n}$, we asserted that, given any prime $p$ and any positive integer exponent $e$, there always exists a monic irreducible polynomial $P(\theta)$ of degree $n$ with coefficients in the prime field $\mathbb{F}_p$. In this section we not only show that this is true, but we also show that we can count exactly how many such polynomials there are. It turns out that the Möbius Inversion Formula (Theorem 8.9) comes into play here.

Let $N_q(n)$ denote the number of monic irreducible polynomials of degree $n$ over the finite field $F_q$, i.e., with coefficients of the polynomial in the field $F_q$, where $q$ is a prime power.

Lemma 10.8. Let $T_n$ be the set of all monic irreducible polynomials over the field $F_q$ of degree dividing the positive integer $n$. Then the polynomial $\theta^{q^n}-\theta$ factors over the field $F_q$ as $\prod_{f \in T_n} f$.

Proof. A fundamental result from finite group theory in abstract algebra is that if the order of a multiplicative group $G$ is $|G|$ and if $a$ is an element of $G$, then $a^{|G|}=1$. Since the order of the multiplicative group $\mathbb{F}{q^n}^*$ is $q^n-1$, this tells us that if $a \neq 0$ is in $\mathbb{F}{q^n}$, then $a$ is a root of the polynomial $\theta^{q^n-1}-1$. Multiplying through by $\theta$ (and thus including the element 0 ) we get that the $q^n$ distinct elements of $\mathbb{F}{q^n}$ are exactly the roots of the polynomial $g(\theta)=\theta^{q^n}-\theta$. If we now factor $g(\theta)$ into its product of monic irreducible polynomials (just as we factor a positive composite integer into its product of primes), we see that every element of $\mathbb{F}{q^n}$ is a root of exactly one of these irreducibles.

A question now is, What are the possible degrees of these irreducible polynomials? The answer is: The degrees are numbers $k$ which divide $n$. The basic idea is the following: The roots of a monic irreducible of degree $k$ over $\mathbb{F}q$ all come from the set of elements of the field $\mathbb{F}{q^k}$ which do not lie in any proper subfields of $\mathbb{F}{q^k}$ (such elements are called primitive in $\mathbb{F}{q^k}$ ). However, all this is occurring inside the field $\mathbb{F}{q^n}$, so $\mathbb{F}{q^k}$ must be a subfield of $\mathbb{F}{q^n}$, and in Theorem $10.7$ we proved that $k$ must be a divisor of n. (For example, looking at the subfield lattice at the end of the previous section, the roots of a 6-th degree irreducible polynomial over $\mathbb{F}_p$ would come from those elements of $\mathbb{F}{p^6}$ which do not lie in either $\mathbb{F}{p^3}$ or $\mathbb{F}{p^2}$.) Since $g(\theta)$ factors into the product of all of these monic irreducibles, the proof is complete.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

数论代考

数学代写|数论作业代写数论代考|The乘法结构

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关于有限域的一个令人惊讶的事实是,它们的乘法结构是尽可能简单的,在某种意义上,我们现在将使之精确。为了做到这一点,我们需要更多的抽象代数语言。我们知道,通常情况下,字段$F$同时具有一个加法和一个乘法,它们必须遵守一定的规则,例如,我们知道$F$的每个非零元素在$F$中必须有一个乘法逆。在抽象代数中,我们说$F$的元素在加法下形成一个“群”,而$F$(通常表示为$F^*$)的非零元素在乘法下形成一个“群”。如果我们现在关注$F=\mathbb{F}_q$(其中$q$是质数幂),我们知道加法基团的阶是$q$,乘法基团的阶是$q-1$。如果$q=p^e$ ($p$ prime),我们也知道加性结构只是对$p$ ($e=$ 1)的加法模,对$p$ ($e>1$)的多项式加法模。乘法结构是在$e=1$时对$p$进行模乘法,但我们在前一节中看到,当$e>1$时,乘法似乎更加复杂。然而,正如我们上面所说,尽管做乘法是棘手的,但底层的乘法结构并不复杂


有限群理论中一个基本而美丽的定理是拉格朗日定理,它很简单地说,一个有限群的子群的阶必须除以这个群的阶。在这里,我们希望将这一结果应用到一种称为循环子组的特定类型的子组,如下所示

假设$a \neq 1$是$\mathbb{F}_q^$ (是一个$q-1$阶乘群)的一个元素,并考虑$a$的幂的集合$\left{a, a^2, a^3, \ldots\right}$。由于$\mathbb{F}_q^$是有限的,最终一些幂$a^m$将首先具有与之前的幂$a^n$相同的值。但是$a^m=a^n$告诉我们$a^{m-n}=1$。写$k=m-n$时,我们说$k$是乘法组$\mathbb{F}_q^$中元素$a$的顺序;例如,$k$是最小的正整数,使得$a^k=1$。此外,$k$元素集$\left{1, a, a^2, \ldots, a^{k-1}\right}$构成$\mathbb{F}_q^$的子组。这个子组称为由$a$生成的循环子组,通常表示为$\langle a\rangle$。我们也可以用$|a|$表示$a$的顺序 现在应用拉格朗日定理,对循环子群 $<$ $a>$ 小组内部 $\mathbb{F}_q^$,我们必须拥有它 $k$ 的乘法顺序 $a$ 因此 $\langle a\rangle)$ 必须分开 $q-1$,说 $q-1=s k$ 对于某个整数 $s$。因此我们有了这个 $a^{q-1}=a^{s k}=\left(a^k\right)^s=1^s=1$;也就是说,我们已经证明了,对于每一个元素 $a$ 的 $\mathbb{F}_q^, a^{q-1}=1$,和顺序 $|a|$ 的 $a$ 除 $q-1$.

数学代写|数论作业代写数论代考|计数不可约多项式


在第10.4节讨论有限域$\mathbb{F}_{p^n}$的构造过程中,我们断言,对于任意素数$p$和任意正整数指数$e$,总存在一个次$n$的一元不可约多项式$P(\theta)$,其系数在素数域$\mathbb{F}_p$中。在本节中,我们不仅证明了这是正确的,而且还证明了我们可以精确地计算出有多少这样的多项式。结果是Möbius逆公式(定理8.9)在这里发挥了作用

设$N_q(n)$表示有限域$F_q$上$n$次的一元不可约多项式的个数,也就是说,在域$F_q$中有多项式的系数,其中$q$是素数幂

引理10.8。设$T_n$是正整数$n$除度的域$F_q$上的所有一元不可约多项式的集合。然后多项式$\theta^{q^n}-\theta$除以字段$F_q$得到$\prod_{f \in T_n} f$。

证明。抽象代数有限群论的一个基本结果是,如果乘群$G$的顺序是$|G|$,如果$a$是$G$的一个元素,那么$a^{|G|}=1$。由于乘法组$\mathbb{F}{q^n}^*$的顺序是$q^n-1$,这告诉我们,如果$a \neq 0$在$\mathbb{F}{q^n}$中,那么$a$是多项式$\theta^{q^n-1}-1$的根。乘以$\theta$(因此包含元素0),我们得到$\mathbb{F}{q^n}$的$q^n$不同元素恰好是多项式$g(\theta)=\theta^{q^n}-\theta$的根。如果我们现在把$g(\theta)$分解为它的一元不可约多项式的乘积(就像我们把一个正的复合整数分解为它的素数的乘积),我们会看到$\mathbb{F}{q^n}$的每一个元素都是这些不可约多项式中的一个的根


现在的问题是,这些不可约多项式的可能度是多少?答案是:度是$k$除以$n$的数字。其基本思想如下:度$k$ / $\mathbb{F}q$的一元不可约数的根都来自字段$\mathbb{F}{q^k}$的元素集,这些元素不位于$\mathbb{F}{q^k}$的任何固有子字段中(这样的元素在$\mathbb{F}{q^k}$中称为原语)。然而,所有这些都发生在$\mathbb{F}{q^n}$域内部,所以$\mathbb{F}{q^k}$一定是$\mathbb{F}{q^n}$的子域,在定理$10.7$中,我们证明了$k$一定是n的除数。(例如,看一下上一节最后的子域格,一个6次不可约多项式对$\mathbb{F}_p$的根来自于$\mathbb{F}{p^6}$的那些元素,这些元素既不位于$\mathbb{F}{p^3}$也不位于$\mathbb{F}{p^2}$。)因为$g(\theta)$分解了所有这些一约不可约量的积,证明就完成了

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