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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|AXIOMATIC DETERMINANT

This section is a bit more on the theoretical side than on the application side. It can be easily skipped, but some students may find it mathematically interesting. In it we determine the axioms for which the determinant is uniquely defined. One consequence is that all our definitions of determinant in earlier sections must coincide since they all satisfy these axioms. For the definition below, recall the notation for the cartesian product of vector spaces, namely for a vector space $V$,
$$
V^n=\underbrace{V \times V \times \cdots \times V}_{\mathrm{n} \text { times }}=\left{\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right): v_1, v_2, \ldots, v_n \in V\right}
$$
Definition 4.14 Let $V=\mathbb{R}^n$. A function $d: V^n \rightarrow \mathbb{R}$ is $n$-linear if it is linear in each of its cootdinates, i.e. for any $1 \leq i \leq n$ and any $v_1, \ldots, v_i, v_i^{\prime}, \ldots, v_n \in V$ we have

  1. $d\left(v_1, \ldots, v_i+v_i^{\prime}, \ldots, v_n\right)=d\left(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n\right)+d\left(v_1, \ldots, v_i^{\prime}, \ldots, v_n\right)$ and
  2. $d\left(v_1, \ldots, a v_i, \ldots, v_n\right)=a d\left(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n\right)$ for any $a \in \mathbb{R}$.

Example 4.33 We list here several important examples of $n$-linear functions.

  1. Any linear transformation $T \in L\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}\right)$ is a 1-linear function (these functions are sometimes called linear functionals).
  2. Any inner product on $\mathbb{R}^n$ is a 2-linear (or bilinear) function.
  3. If we represent a matrix $A=\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$ as an $n$-tuple of its columns, then the determinant is an $n$-linear function.

We list a couple results about $n$-linear functions which are left as exercises for the reader.
Lemma $4.8$

  1. If $\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right)$ includes a coordinate which is the zero vector, then $d\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right)=0$.
  2. Any linear combination of n-linear functions is again n-linear.
  3. An n-linear function on $\mathbb{R}^n$ is completely determined by its values on the inputs
    $$
    \left(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \ldots, e_{\sigma(n)}\right),
    $$
    where $e_1, e_2, \ldots, e_n$ is the standard basis for $\mathbb{R}^n$ and $\sigma$ is any permutation of the numbers $1,2, \ldots, n$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|QUOTIENT VECTOR SPACE

If one is dealing with any algebraic structure, there is always a notion of a quotient structure. The reader should already have some good experience with equivalence relations and classes, otherwise it would be strongly recommended to study or review these concepts. In the first subsection of this section, we provide the reader with all the necessary review if needed. Quotient structures are important in the study of algebraic structures. Some important applications are the ability to equate algebraic structure via an isomorphism to a quotient structure. One important application we will see in this section is the First Isomorphism Theorem. Quotient structures can be useful in induction proofs where one has a notion of measuring size. In the case of a vector space, it is dimension which can be used for measuring size and therefore allows us to prove things by induction. One important application which is at the end of this section is the fact that every matrix is triagularizable over the complex numbers.

We begin with a review of equivalence relations which the reader may skip if they are already comfortable with this concept.

The notion of a relation on a set is important in many fields of mathematics. We shall see many applications of a particular type of relation (called an equivalence relation) in this text. We start by defining a relation and then narrow things down to an equivalence relation.

Definition $4.16 A$ relation $\sim$ on a set $A$ is simply any subset of the cartesian product $A \times A$. If $(a, b) \in \sim$ we instead write $a \sim b$ and we say a relates to $b$.

Example 4.35 Here, we list a number of examples including several that you have already seen in this text.

  1. Let $A={a, b, c, d}$ and set $\sim={(a, b),(b, b),(c, d)}$. For instance, according to our definition of $\sim$, we have $c \sim d$ or $c$ relates to $d$.
  2. Let $A=\mathbb{Z}$ and $\sim$ be $<$. In other words, $(n, m) \in \sim$ or $n \sim m$ exactly when $n<m$.
  3. Set $A=\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ which represents all the subsets of $\mathbb{Z}$ (called the power set of $\mathbb{Z})$. Let $\sim$ be $\subseteq$, i.e. subset. In other words, two subsets $X$ and $Y$ of $\mathbb{Z}$ will relate exactly when $X \subseteq Y$.
  4. Take any set $A$ and let $\sim$ be equality, i.e. $a \sim b$ exactly when $a=b$. In other words $\sim={(a, a): a \in A}$.
  5. Let $f: A \rightarrow B$ be a function from a set $A$ to another set $B$. Define a relation on $A$ as follows: $a \sim b$ iff $f(a)=f(b)$.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MAST10007

抽象代数代考

数学代写|线性代数代写线性代数代考|AXIOMATIC det


这一节更多的是在理论方面而不是在应用方面。它可以很容易地跳过,但一些学生可能会发现它在数学上很有趣。其中我们确定了行列式是唯一定义的公理。一个结果是,我们在前几节中对行列式的所有定义必须一致,因为它们都满足这些公理。对于下面的定义,回想一下向量空间的笛卡尔积的符号,即向量空间$V$,
$$
V^n=\underbrace{V \times V \times \cdots \times V}_{\mathrm{n} \text { times }}=\left{\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right): v_1, v_2, \ldots, v_n \in V\right}
$$
定义4.14令$V=\mathbb{R}^n$。如果函数$d: V^n \rightarrow \mathbb{R}$在其每一个坐标上都是线性的,则它是$n$ -线性的,即对于任意$1 \leq i \leq n$和任意$v_1, \ldots, v_i, v_i^{\prime}, \ldots, v_n \in V$,我们有

  1. $d\left(v_1, \ldots, v_i+v_i^{\prime}, \ldots, v_n\right)=d\left(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n\right)+d\left(v_1, \ldots, v_i^{\prime}, \ldots, v_n\right)$和
  2. $d\left(v_1, \ldots, a v_i, \ldots, v_n\right)=a d\left(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n\right)$ for any $a \in \mathbb{R}$ .


例4.33我们在这里列出了$n$ -线性函数的几个重要例子


任何线性变换$T \in L\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}\right)$都是1-线性函数(这些函数有时被称为线性泛函)。$\mathbb{R}^n$上的任何内积都是2-线性(或双线性)函数。如果我们将一个矩阵$A=\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$表示为其列的$n$ -元组,那么行列式就是一个$n$ -线性函数


我们列出了一些关于$n$ -linear函数的结果,留给读者作为练习。
Lemma $4.8$

  1. $\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right)$ 包括一个坐标,它是零向量,那么 $d\left(v_1, v_2, \ldots, v_n\right)=0$n-线性函数的任何线性组合也是n-线性的。n-线性函数 $\mathbb{R}^n$ 是否完全由输入值
    $$
    \left(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \ldots, e_{\sigma(n)}\right),
    $$
    where $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 标准的依据是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\sigma$ 这些数字有排列吗 $1,2, \ldots, n$.

数学代写|线性代数代写线性代数代考|QUOTIENT向量空间


如果一个人在处理任何代数结构,总是有商结构的概念。读者应该已经对等价关系和类有了一些很好的经验,否则强烈建议学习或复习这些概念。在本节的第一小节中,如果需要,我们将为读者提供所有必要的回顾。商结构在代数结构的研究中占有重要地位。一些重要的应用是通过同构将代数结构等同于商结构的能力。我们将在本节中看到的一个重要应用是第一同构定理。商结构在归纳证明中是很有用的,因为人们有测量大小的概念。在向量空间中,维度可以用来测量大小,因此我们可以用归纳法来证明。本节末尾的一个重要应用是,每个矩阵都可以在复数上三角化


我们首先回顾一下等价关系,如果读者已经熟悉这个概念,可以略过


集合上关系的概念在许多数学领域中都很重要。在本文中,我们将看到一种特殊类型的关系(称为等价关系)的许多应用。我们首先定义一个关系,然后将范围缩小到等价关系

定义$4.16 A$关系$\sim$在集合$A$上是笛卡尔积$A \times A$的任何子集。如果我们把$(a, b) \in \sim$写成$a \sim b$,我们说a与$b$有关。


在这里,我们列出了一些例子,包括一些你已经在本文中看到的例子

  1. 让 $A={a, b, c, d}$ 然后设置 $\sim={(a, b),(b, b),(c, d)}$。例如,根据我们的定义 $\sim$,我们有 $c \sim d$ 或 $c$ 涉及到 $d$.
  2. 让 $A=\mathbb{Z}$ 和 $\sim$ 是 $<$。换句话说, $(n, m) \in \sim$ 或 $n \sim m$ 确切的时间 $n<m$.
  3. 设置 $A=\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ 的所有子集 $\mathbb{Z}$ 的幂集 $\mathbb{Z})$。让 $\sim$ 是 $\subseteq$,即子集。换句话说,两个子集 $X$ 和 $Y$ 的 $\mathbb{Z}$ 会准确地联系到 $X \subseteq Y$.
  4. 取任意一组 $A$ 让 $\sim$ 平等,即。 $a \sim b$ 确切的时间 $a=b$。换句话说 $\sim={(a, a): a \in A}$.
  5. 让 $f: A \rightarrow B$ 是集合中的一个函数 $A$ 到另一组 $B$。定义上的关系 $A$ 具体如下: $a \sim b$ iff $f(a)=f(b)$.
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