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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|SUBSPACES ASSOCIATED WITH A MATRIX

In this section we address some results that were earlier discussed but never formally proved. This section also gives a justification for the process of finding a basis for a span of a set of vectors. We now remind the reader of some definitions as well as introduce some new notation and terminology.

Definition $3.18$ For $A \in M_{m n}$ with rows $r_1, \ldots, r_m \in \mathbb{R}^n$ and columns $c_1, \ldots, c_n \in$ $\mathbb{R}^m$

  1. the row space of $A$, which we will denote by
    $$
    \operatorname{rowsp}(A)=\operatorname{span}\left(r_1, \ldots, r_m\right) \text { a subspace of } \mathbb{R}^n .
    $$
  2. the column space of $A$, which we will denote by
    $$
    \operatorname{colsp}(\mathrm{A})=\operatorname{span}\left(c_1, \ldots, c_n\right) \text { a subspace of } \mathbb{R}^m .
    $$
  3. the null space of $A$, which we will denote by
    $$
    \text { nullsp(A) }=\left{u \in \mathbb{R}^n \mid A u=0\right} \text { a subspace of } \mathbb{R}^n \text {. }
    $$
  4. the dimension of $\operatorname{rowsp}(A)$ will be called the rank of $A$ (for good reason) and will be denoted by $r(A)$.
  5. the dimension of nullsp $(A)$ will be called the nullity of $A$ and will be denoted by $n(A)$.
    We leave the proof of the following lemma as an exercise:
    Lemma 3.8 If $A \in M_{m n}$ and $B \in \mathbb{R}^m$, then
    i. $\operatorname{rowsp}\left(A^T\right)=\operatorname{colsp}(A)$ and $\operatorname{colsp}\left(A^T\right)=\operatorname{rowsp}(A)$.
    ii. $\operatorname{colsp}(A)=\left{A v \mid v \in \mathbb{R}^n\right}$.
    iii. The linear system $A X=B$ is consistent iff $B \in \operatorname{colsp}(A)$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|APPLICATION: DIMENSION THEOREMS

In this section, we illustrate a technique called a counting argument. These counting arguments will be a consequence of the two dimension theorems proved in this section. The first dimension theorem is a result we would expect to be true if dimension is indeed measuring size in some sense. First, we need a lemma.
Lemma $3.12$ For $v_1, \ldots, v_n \in V$ a vector space, the following are equivalent:
i. The vectors $v_1, \ldots, v_n$ represent a maximal number of linearly independent vectors in $V$.
ii. $v_1, \ldots, v_n$ form a basis for $V$.
Proof $3.21$ To show that $i$. implies ii, We need to show that $v_1, \ldots, v_n$ span $V$. Suppose lo lhe conlrury llual lhey don’l spun $V$. This means lhere exisls a $v \in V$ mol in the span of $v_1, \ldots, v_n$. By Lemma $3.7, v_1, \ldots, v_n, v$ are linearly independent. But this contradicts the fact that $v_1, \ldots, v_n$ is a largest number of linearly independent vectors in $V$. Hence, it must be that case that $v_1, \ldots, v_n$ form a basis for $V$. The reverse implication is left as an exercise.

Theorem $3.13$ (Subspace Dimension Theorem) Let $V$ be a vector space with finite dimension and $U$ be a subspace of $V$. Then
i. $\operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V$.
ii. $\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$ iff $U=V$

Proof $3.22$ Let $v_1, \ldots, v_n$ be a basis for $V($ so $\operatorname{dim} V=n)$. To prove $i$, if $U={0}$ then certainly $\operatorname{dim} U=0 \leq \operatorname{dim} V$, so we can assume that $U \neq{0}$. Consider all collections $u_1, \ldots, u_k \in U$ which are linearly independent. Such collections exist since, for instance, a single $0 \neq u \in U$ is linearly independent. By Lemma 3.6, for every such collection we have $k \leq n$ (i.e. there is a bound on how large $k$ can be). Hence, there is a collection $u_1, \ldots, u_k$ linearly independent with $k$ largest. By Lemma 3.12, this largest collection forms a basis for $U$. Thus, $\operatorname{dim} U=k \leq n=\operatorname{dim} V$.

To prove ii, one direction is trivial: If $U=V$ then certainly $\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$. Now lets assume that $\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$. Choose $u_1, \ldots, u_n$ a basis for $U$. Since $u_1, \ldots, u_n$ are linearly independent in $V$, by Lemma 3.10, $u_1, \ldots, u_n$ is a basis for $V$, and so they span V. Thus,
$$
V=\operatorname{span}\left(u_1, \ldots, u_n\right)=U
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|МАTH1014

抽象代数代考

数学代写|线性代数代写线性代数代考|SUBSPACES ASSOCIATED WITH A MATRIX


在本节中,我们将讨论一些先前讨论过但从未得到正式证明的结果。这一节还给出了寻找一组向量张成的空间的基的过程的证明。现在我们提醒读者一些定义,并介绍一些新的符号和术语

定义$3.18$对于$A \in M_{m n}$,行$r_1, \ldots, r_m \in \mathbb{R}^n$,列$c_1, \ldots, c_n \in$$\mathbb{R}^m$


的行空间

  1. $A$,我们将用
    表示$$
    \operatorname{rowsp}(A)=\operatorname{span}\left(r_1, \ldots, r_m\right) \text { a subspace of } \mathbb{R}^n .
    $$的列空间
  2. $A$,我们将用
    表示$$
    \operatorname{colsp}(\mathrm{A})=\operatorname{span}\left(c_1, \ldots, c_n\right) \text { a subspace of } \mathbb{R}^m .
    $$的零空间 $A$,我们将用
    表示$$
    \text { nullsp(A) }=\left{u \in \mathbb{R}^n \mid A u=0\right} \text { a subspace of } \mathbb{R}^n \text {. }
    $$的维度
  3. $\operatorname{rowsp}(A)$ 会被称为军衔吗 $A$ (有充分的理由),并将表示为 $r(A)$.
  4. nullsp的维度 $(A)$ 会被称为的零 $A$ 并表示为 $n(A)$
    我们将下列引理的证明留作练习:
    引理3.8 If $A \in M_{m n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^m$,则
    i。 $\operatorname{rowsp}\left(A^T\right)=\operatorname{colsp}(A)$ 和 $\operatorname{colsp}\left(A^T\right)=\operatorname{rowsp}(A)$.
    $\operatorname{colsp}(A)=\left{A v \mid v \in \mathbb{R}^n\right}$.
    线性系统 $A X=B$ 是一致的 $B \in \operatorname{colsp}(A)$.

数学代写|线性代数代写线性代数代考|应用:维定理


在本节中,我们将演示一种称为计数参数的技术。这些计数参数将是本节中证明的二维定理的结果。第一维数定理是我们期望成立的结果如果维数确实在某种意义上衡量了大小。首先,我们需要引理
引理 $3.12$ 对于 $v_1, \ldots, v_n \in V$ 一个向量空间,以下是等价的:
i。向量 $v_1, \ldots, v_n$ 中的线性无关向量的最大值 $V$.
$v_1, \ldots, v_n$ 形成基础 $V$.
证明 $3.21$ 为了证明 $i$。我们需要证明这一点 $v_1, \ldots, v_n$ 跨度 $V$。假设他们不旋转 $V$。这意味着lhere放逐a $v \in V$ 摩尔在张成的空间中 $v_1, \ldots, v_n$。引理 $3.7, v_1, \ldots, v_n, v$ 是线性无关的。但这与事实相矛盾 $v_1, \ldots, v_n$ 线性无关向量的最大个数是 $V$。因此,一定是那种情况 $v_1, \ldots, v_n$ 形成基础 $V$。相反的含义留作练习。

定理$3.13$(子空间维数定理)设$V$是一个维数有限的向量空间,$U$是$V$的子空间。然后
i。$\operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V$ .
ii。$\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$ iff $U=V$

证明$3.22$让$v_1, \ldots, v_n$成为$V($的基础,所以$\operatorname{dim} V=n)$。为了证明$i$,如果$U={0}$那么肯定是$\operatorname{dim} U=0 \leq \operatorname{dim} V$,那么我们可以假设$U \neq{0}$。考虑所有线性无关的集合$u_1, \ldots, u_k \in U$。这样的集合存在的原因是,例如,单个$0 \neq u \in U$是线性无关的。根据引理3.6,对于每一个这样的集合,我们都有$k \leq n$(即$k$的大小有一个限制)。因此,有一个集合$u_1, \ldots, u_k$与$k$最大线性无关。在引理3.12中,这个最大的集合构成了$U$的基础。因此,$\operatorname{dim} U=k \leq n=\operatorname{dim} V$ .

为了证明ii,一个方向是微不足道的:如果$U=V$,那么肯定是$\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$。现在让我们假设$\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V$。选择$u_1, \ldots, u_n$作为$U$的基础。由于$u_1, \ldots, u_n$在$V$中是线性无关的,根据引理3.10,$u_1, \ldots, u_n$是$V$的一组基,因此它们张成v,因此,
$$
V=\operatorname{span}\left(u_1, \ldots, u_n\right)=U
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考

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