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数学代写|微积分代写Calculus代写|Antiderivative, Integration, and the Indefinite Integral

The goal of this section is to learn some techniques for integration, sometimes called antidifferentiation.

In this section we generally designate a function by $f(x)$. The concept of the antiderivative is fundamental to the process of integration and is easily explained. When a function $F(x)$ is differentiated to give $f(x)=d F / d x$, then $F(x)$ is an antiderivative of $f(x)$, that is,
$$
F^{\prime}(x)=f(x) .
$$
This notation describes the defining property of the antiderivative, although only in terms of the derivative $F^{\prime}(x)$, not $F(x)$ itself.
The antiderivative is usually written in the form:
$$
F(x)=\int f(x) d x .
$$
The expression $\int f(x) d x$ is also called the integral of $f(x)$. The symbol $\int$ is known as the integration symbol; it represents the inverse of differentiation.
To summarize the notation, if $F^{\prime}(x)=f(x)$, then $F(x)$ is the or
$3 0 7 \longdiv { 4 }$ Go to 307.
Indefinite Integral:
Often one can find the antiderivative simply by guesswork. For instance, if $f(x)=1$, then $F(x)=\int f(x) d x=x$. To prove this, note that
$$
F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}(x)=1=f(x) .
$$
However, $f(x)$ is not the only antiderivative of $f(x)=1 ; x+c$, where $c$ is a constant, is also an antiderivative because
$$
\frac{d}{d x}(x+c)=1+0=f(x) .
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Techniques of Integration

Often an unfamiliar function can be converted into a familiar function having a known integral by using a technique called change of variable. The method applies to integrating a “function of a function.” (Differentiation of such a function was discussed in frame 198. It is differentiated using the chain rule.) For example, $e^{-x^2}$ can be written $e^{-u}$, where $u=x^2$. With the following rule, the integral with respect to the variable $x$ can be converted into another integral, often simpler, depending on the variable $u$.
$$
\int w(x) d x=\int\left[w(u) \frac{d x}{d u}\right] d u .
$$
Let’s see how this works by applying it to a few problems.

Consider the problem of evaluating the integral
$$
\int x e^{-x^2} d x
$$
Let $u=x^2$, or $x=\sqrt{u}$, and $w(u)=\sqrt{u} e^{-u}$. Hence $\frac{d x}{d u}=\frac{1}{2 \sqrt{u}}$. Using the rule for change of variable, $\int w(x) d x=\int\left[u(u) \frac{d x}{d u}\right] d u$, the integral becomes
$$
\int x e^{-u} \frac{1}{2 x} d u=\frac{1}{2} \int e^{-u} d u=-\frac{1}{2} e^{-u}+c=-\frac{1}{2} e^{-x^2}+c .
$$
To prove that this result is correct, note that
$$
\frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}+c\right)=x e^{-x^2},
$$
as required.
Try the following somewhat tricky problem. If you need a hint, see frame $\mathbf{3 1 7}$. Evaluate
$$
\int \sin \theta \cos \theta d \theta=
$$
To check your answer, go to $\mathbf{3 1 7}$.

微积分代考

数学代写|微积分代写微积分代写|不定积分，积分和不定积分

本节的目的是学习一些积分的技巧，有时被称为反微分

在本节中，我们通常用$f(x)$来指定一个函数。不定积分的概念是积分过程的基础，很容易解释。当一个函数$F(x)$被微分得到$f(x)=d F / d x$时，那么$F(x)$就是$f(x)$的一个不定积分，即
$$
F^{\prime}(x)=f(x) .
$$
这个符号描述了不定积分的定义性质，尽管只是用导数$F^{\prime}(x)$来表示，而不是$F(x)$本身。不定积分通常写成这样的形式:
$$
F(x)=\int f(x) d x .
$$
表达式$\int f(x) d x$也被称为$f(x)$的积分。符号$\int$被称为积分符号;它代表了微分的逆。
为了总结符号，如果$F^{\prime}(x)=f(x)$，那么$F(x)$是或
$3 0 7 \longdiv { 4 }$转到307。不定积分:通常人们可以简单地通过猜测求出不定积分。例如，如果是$f(x)=1$，那么是$F(x)=\int f(x) d x=x$。为了证明这一点，注意
$$
F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}(x)=1=f(x) .
$$
然而，$f(x)$不是$f(x)=1 ; x+c$的唯一不定积分，其中$c$是一个常数，也是一个不定积分，因为
$$
\frac{d}{d x}(x+c)=1+0=f(x) .
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Techniques of Integration

通常，一个不熟悉的函数可以通过使用一种叫做变量变换的技巧，转换成一个具有已知积分的熟悉函数。该方法适用于“函数的函数”的积分。(这种函数的微分在第198帧中讨论过。用链式法则求导。)例如，$e^{-x^2}$可以写成$e^{-u}$，其中$u=x^2$。根据下面的规则，关于变量$x$的积分可以转换为另一个积分，通常更简单，取决于变量$u$。
$$
\int w(x) d x=\int\left[w(u) \frac{d x}{d u}\right] d u .
$$
让我们通过将它应用到一些问题来看看它是如何工作的。

考虑求积分的问题
$$
\int x e^{-x^2} d x
$$
令$u=x^2$，或$x=\sqrt{u}$，和$w(u)=\sqrt{u} e^{-u}$。因此，$\frac{d x}{d u}=\frac{1}{2 \sqrt{u}}$。使用变量变化规则$\int w(x) d x=\int\left[u(u) \frac{d x}{d u}\right] d u$，积分变成
$$
\int x e^{-u} \frac{1}{2 x} d u=\frac{1}{2} \int e^{-u} d u=-\frac{1}{2} e^{-u}+c=-\frac{1}{2} e^{-x^2}+c .
$$
为了证明这个结果是正确的，注意
$$
\frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}+c\right)=x e^{-x^2},
$$
。
试试下面这个有点棘手的问题。如果需要提示，请查看框架$\mathbf{3 1 7}$。Evaluate
$$
\int \sin \theta \cos \theta d \theta=
$$
要检查你的答案，请访问$\mathbf{3 1 7}$

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