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数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit of a Function

Definition of a Limit:
Let $f(x)$ be defined for all $x$ in an interval about $x=a$, but not necessarily at $x=a$. If there is a number $L$ such that to each positive number $\varepsilon$ there corresponds a positive number $\delta$ such that
$$
|f(x)-L|<\varepsilon \text { provided } 0<|x-a|<\delta,
$$
we say that $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ and write
$$
\lim {x \rightarrow a} f(x)=L . $$ The ordinary algebraic manipulations can be performed with limits as shown in Appendix A2; thus, $$ \lim {x \rightarrow a}[F(x)+G(x)]=\lim {x \rightarrow a} f(x)+\lim {x \rightarrow a} G(x) .
$$
Two trigonometric limits are of particular interest (Appendix A3):
$$
\lim {\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1 \text { and } \lim {\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta}=0 .
$$
The following limit is of such great interest in calculus that it is given the special name $e$, as discussed in frame 109 and Appendix A3:
$$
e=\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=2.71828 \ldots
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Differentials (frames 264–273)

If $x$ is an independent variable and $y=f(x)$, the differential $d x$ of $x$ is defined as the increment, $x_2-x_1$, where $x_1$ is the point of interest. The differential $d x$ can be positive or negative, large or small, as we please. Then $d x$, like $x$, is an independent variable. The differential $d y$ is then defined by the following rule: $d y=\gamma^{\prime} d x$ where $\gamma^{\prime}$ is the derivative of $\gamma$ with respect to $x$. Although the meaning of the derivative, $\gamma^{\prime}$, is $\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$, we see that this can also be interpreted as the ratio of the differentials $d y$ and $d x$. As discussed in frames 265 and 266 , $d y$ is not the same as $\Delta \gamma$, although $$ \begin{aligned} &\lim {d x=\Delta x \rightarrow 0} \frac{d y}{\Delta y}=1 . \
&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=d y
\end{aligned}
$$
Differentiation formulas can easily be written in terms of differentials. Thus if $y=x^n$,
$$
d y=d\left(x^n\right)=\left(\frac{d}{d x} x^n\right) d x=n x^{n-1} d x .
$$
The relation, $\frac{d x}{d y}=\frac{1}{d y / d x}$, implied by the differential notation can be extremely useful. It’s use is discussed in Appendix A4.

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数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH7000

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|函数的极限

.函数的极限

限制的定义:
$f(x)$ 为所有人定义 $x$ 在一段时间内 $x=a$,但不一定在 $x=a$。如果有数字的话 $L$ 对于每一个正数 $\varepsilon$ 对应一个正数 $\delta$ 这样
$$
|f(x)-L|<\varepsilon \text { provided } 0<|x-a|<\delta,
$$
我们这么说 $L$ 是极限 $f(x)$ 作为 $x$ 方法 $a$ 并写入
$$
\lim {x \rightarrow a} f(x)=L . $$ 一般的代数运算可以在附录A2所示的极限下进行;因此, $$ \lim {x \rightarrow a}[F(x)+G(x)]=\lim {x \rightarrow a} f(x)+\lim {x \rightarrow a} G(x) .
$$两个三角极限特别有趣(附录A3):
$$
\lim {\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1 \text { and } \lim {\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta}=0 .
$$下面的极限在微积分中非常有趣,因此给了它一个特殊的名字 $e$,如第109帧和附录A3所述:
$$
e=\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=2.71828 \ldots
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写| differential (frames 264-273)

.微分

如果$x$是一个自变量,$y=f(x)$,则将$x$的差值$d x$定义为增量$x_2-x_1$,其中$x_1$是兴趣点。差别$d x$可以是正的或负的,大的或小的,随我们的便。那么$d x$,像$x$一样,是一个自变量。微分$d y$由以下规则定义:$d y=\gamma^{\prime} d x$,其中$\gamma^{\prime}$是$\gamma$对$x$求导。虽然导数$\gamma^{\prime}$的含义是$\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$,但我们看到,这也可以解释为微分$d y$和$d x$之比。正如第265和266帧所讨论的,$d y$与$\Delta \gamma$不同,尽管$$ \begin{aligned} &\lim {d x=\Delta x \rightarrow 0} \frac{d y}{\Delta y}=1 . \
&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=d y
\end{aligned}
$$
微分公式可以很容易地写成微分的形式。因此,如果$y=x^n$,
$$
d y=d\left(x^n\right)=\left(\frac{d}{d x} x^n\right) d x=n x^{n-1} d x .
$$
微分表示法所隐含的关系$\frac{d x}{d y}=\frac{1}{d y / d x}$是非常有用的。它的使用在附录A4中讨论。

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数学代写|微积分代写Calculus代写

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