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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Cayley Graph of a Presentation

The Cayley graph of a presentation of a group is another visual tool to understand the internal structure of a group, particularly a group of small order. The vertices of the Cayley graph are the elements of the group $G$ and the edges are pairs ${x, y}$ if there is a generator $g$ such that $y=g x$. One variant of the Cayley graph colors the edges accordingly to distinguish which generator corresponds to which edge. Yet another variant is a directed graph that places an arrow from $x$ to $y$ if there is a generator $g$ such that $y=g x$.

It is important to note that Cayley graph depends on the set of generators in the presentation. So if $G=\langle S\rangle=\left\langle S^{\prime}\right\rangle$, where $S$ and $S^{\prime}$ are different subsets of $G$, the set of vertices will be the same, corresponding to elements of $G$, but the edges of the graph will be different.

As an example, it is not hard to show that $S_4=\langle(123),(1234)\rangle$. Figure $1.11$ shows the Cayley graph for $S_4$ using these generators. The double edges correspond to left multiplication by (123) and the single edges to left multiplication by (1234). This Cayley graph has the adjacency structure of the Archimedean solid named a rhombicuboctahedron.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Frieze Groups

For hundreds of years, people have adorned the walls of rooms with repetitive patterns. Borders as a crown to a wall, as a chair rail, as molding to a door, or as a frame to a picture are particularly common artistic and architectural details. Frieze patterns are the patterns of symmetries used in borders.

In the usual group of isometries in the plane, the translations form a subgroup isomorphic to $\mathbb{R}^2$. We sometimes use the description of “discrete” for frieze groups in contrast to “continuous” because there is a translation of least positive displacement.

Example 1.11.10. Consider for example the following pattern and let $G$ be the group of isometries of the plane that preserve the structure of the pattern.

The subgroup of translations of $G$ consists of all translations that are an integer multiple of $2 \overrightarrow{P Q}$. Some other transformations in $G$ include

  • reflections through a vertical line $L_1$ through $P$ or any line parallel to $L_1$ displaced by an integer multiple of $\overrightarrow{P Q}$;
  • reflection through the horizontal line $L_3=\overleftrightarrow{P Q}$;
  • rotations by an angle of $\pi$ about $P, Q$, or any point translated from $P$ by an integer multiple of $\overrightarrow{P Q}$.

It is possible to describe $G$ with a presentation. Let $s_i$ be the reflection through $L_i$, for $i=1,2,3$. We claim that
$$
G=\left\langle s_1, s_2, s_3 \mid s_1^2=s_2^2=s_3^2=1,\left(s_1 s_3\right)^2=1,\left(s_2 s_3\right)^2=1\right\rangle .
$$
In order to prove the claim, we first should check that $s_1, s_2, s_3$ do indeed generate all of $G$. By Exercise $1.11 .8, s_1 s_3$ corresponds to rotation by $\pi$ about $P$ and $s_2 s_3$ corresponds to rotation by $\pi$ about $Q$. By Exercise 1.11.7 $s_2 s_1$ corresponds to a translation by $2 \overrightarrow{P Q}$. In order to obtain a reflection through another vertical line besides $L_1$ or $L_2$, or a rotation about another point besides $P$ or $Q$, we can translate the strip to center it on $P$ and $Q$, apply the desired transformation $\left(s_1, s_2, s_1 s_3\right.$, or $\left.s_2 s_3\right)$, and then translate back. For example, the rotation by an angle of $\pi$ about $Q_3$, can be described by $\left(s_2 s_1\right)^2 s_2 s_3\left(s_2 s_1\right)^{-2}$. This shows that our choice of generators is sufficient to generate $G$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH417

抽象代数代考

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Cayley图的演示


一个群的Cayley图是理解一个群的内部结构的另一个可视化工具,特别是一个小阶的群。Cayley图的顶点是组的元素 $G$ 边是成对的 ${x, y}$ 如果有发电机的话 $g$ 如此这般 $y=g x$。Cayley图的一种变体将边缘相应地着色,以区分哪个生成器对应哪条边。还有一种变体是有向图,它的箭头是从 $x$ 到 $y$ 如果有发电机的话 $g$ 如此这般 $y=g x$.


值得注意的是,Cayley图依赖于演示中的生成器集。因此,如果$G=\langle S\rangle=\left\langle S^{\prime}\right\rangle$,其中$S$和$S^{\prime}$是$G$的不同子集,顶点集将是相同的,对应$G$的元素,但图的边将是不同的


作为一个例子,我们不难看出$S_4=\langle(123),(1234)\rangle$。图$1.11$显示了使用这些生成器的$S_4$的Cayley图。双边对应于左乘法(123),单边对应于左乘法(1234)。这个Cayley图具有阿基米德固体的邻接结构,称为菱形面体

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Frieze Groups


几百年来,人们用重复的图案装饰房间的墙壁。镶边是一堵墙的冠,椅子的扶手,门的模子,或一幅画的框架,是特别常见的艺术和建筑细节。浮雕图案是用于边框的对称图案。


在平面上通常的等距群中,翻译形成了一个同构子群$\mathbb{R}^2$。我们有时用“离散”来描述frieze群,而不是用“连续”,因为有一个最小正位移的平移

示例1.11.10。例如,考虑下面的图案,并设$G$为平面的一组等距线,它保留了图案的结构

$G$的翻译子组由$2 \overrightarrow{P Q}$整数倍的所有翻译组成。$G$中的其他一些转换包括 通过垂直直线$L_1$到$P$或平行于$L_1$的任何直线位移为$\overrightarrow{P Q}$的整数倍的直线;通过水直线$L_3=\overleftrightarrow{P Q}$的反射;通过$\pi$围绕$P, Q$的角度旋转,或从$P$平移为$\overrightarrow{P Q}$的整数倍的任何点

用演示文稿描述$G$是可能的。让$s_i$成为$L_i$对$i=1,2,3$的反映。我们声明
$$
G=\left\langle s_1, s_2, s_3 \mid s_1^2=s_2^2=s_3^2=1,\left(s_1 s_3\right)^2=1,\left(s_2 s_3\right)^2=1\right\rangle .
$$
为了证明这个声明,我们首先应该检查$s_1, s_2, s_3$确实生成了所有的$G$。$1.11 .8, s_1 s_3$对应$\pi$关于$P$的旋转,$s_2 s_3$对应$\pi$关于$Q$的旋转。$s_2 s_1$对应于$2 \overrightarrow{P Q}$的翻译。为了通过$L_1$或$L_2$之外的另一条垂直线获得反射,或围绕$P$或$Q$之外的另一个点旋转,我们可以将条转换为$P$和$Q$的中心,应用所需的转换$\left(s_1, s_2, s_1 s_3\right.$或$\left.s_2 s_3\right)$,然后再转换回来。例如,旋转一个角度$\pi$关于$Q_3$,可以用$\left(s_2 s_1\right)^2 s_2 s_3\left(s_2 s_1\right)^{-2}$来描述。这表明我们选择的生成器足以生成$G$ .

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