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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Defining Groups from a Presentation

A group defined by a presentation is similar to a free group in that it is first understood through its symbols, rather than the symbols representing some function, matrix, or number. In a group defined by a presentation, the elements are simply reduced words in the generators but the relations impose additional simplifications beyond just the power rules that hold in any group.
Example 1.10.6. To illustrate similarities and differences in various sets of relations, consider the following three groups.
$$
\begin{aligned}
G_1 &=\left\langle x, y \mid x^3=y^7=1, x y=y x\right\rangle, \
G_2 &=\left\langle a, b \mid a^3=b^7=1, a b=b^2 a\right\rangle, \
G_3 &=\left\langle u, v \mid u^3=v^7=1, u v=v^2 u^2\right\rangle .
\end{aligned}
$$
In $G_1$, since $x y=y x$, in any word in the generators $x$ and $y$, all the $x$ symbols can be moved to the left. Thus, all clements in $C_1$ can be written as $x^k y^{\ell}$. Furthermore, since $x^3=y^7=1$, then $x^i y^j$ with $0 \leq i \leq 2$ and $0 \leq j \leq 6$ give all the elements of $G_1$. We claim that all 21 of these elements are distinct. To prove this, we must show that $x^i y^j$ are distinct for $0 \leq i \leq 2$ and $0 \leq j \leq 6$. If $x^k y^{\ell}=x^m y^n$, we have
$$
x^k y^{\ell}=x^m y^n \Longleftrightarrow x^{k-m}=y^{n-\ell} .
$$
By Corollary 1.3.7, since $x^3=1$, the order of $x^{k-m}$ divides 3 and, since $y^7=1$, the order of $y^{n-\ell}$ divides 7 . Since $x^{k-m}=y^{n-\ell}$, then the order of this element must divide $\operatorname{gcd}(3,7)=1$. Hence, $x^{k-m}=y^{n-\ell}=1$. Thus, 3 divides $k-m$ and 7 divides $n-\ell$, but if we assume that $0 \leq k, m \leq 2$ and $0 \leq \ell, n \leq 6$, then we conclude that $k=m$ and $n=\ell$. This proves the claim. Hence, $G_1$ is a group of order 21 in which the elements operate as $\left(x^k y^l\right)\left(x^m y^n\right)=x^{k+m} y^{l+n}$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Presentations and Homomorphisms

Suppose that $G$ has a presentation $\left\langle g_1, g_2, \ldots, g_k\right| \begin{array}{llll}R_1 & R_2 & \cdots & \left.R_s\right\rangle \text {. Every }\end{array}$ element $w \in G$ is a word in the generators, $w=u_1^{\alpha_1} u_2^{\alpha_2} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$, with $u_i \in$ $\left{g_1, g_2, \ldots, g_k\right}$, so for a homomorphism $\varphi: G \rightarrow H$ we have
$$
\varphi(w)=\varphi\left(u_1\right)^{\alpha_1} \varphi\left(u_2\right)^{\alpha_2} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}} .
$$
Hence, $\varphi$ is entirely determined by the values of $\varphi\left(g_1\right), \varphi\left(g_2\right), \ldots, \varphi\left(g_k\right)$.

When trying to construct a homomorphism from $G$ to a group $H$, it is not possible to associate arbitrary elements in $H$ to the generators of $G$ and always obtain a homomorphism. The following theorem makes this precise.

Proof. We define the function $\varphi: G \rightarrow H$ by $\varphi\left(g_i\right)=h_i$ for $i=1,2, \ldots, k$ and for each element $g \in G$, if $g=u_1^{\alpha_1} u_2^{\alpha_2} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$ with $u_j \in\left{g_1, g_2, \ldots, g_k\right}$, then
$$
\varphi(g) \stackrel{\text { def }}{=} \varphi\left(u_1\right)^{\alpha_1} \varphi\left(u_2\right)^{\alpha_2} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}} .
$$
By construction, $\varphi$ satisfies the homomorphism property $\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$ for all $x, y \in G$. However, since different words can be equal, we have not yet determined if $\varphi$ is a well-defined function.

Two words $v$ and $w$ in the generators $g_1, g_2, \ldots, g_k$ are equal if and only if there is a finite sequence of words $w_1, w_2, \ldots, w_n$ such that $v=w_1, w=w_n$, and $w_i$ to $w_{i+1}$ are related to each other by either one application of a power rule (as given in Proposition 1.2.12) or one application of a relation $R_j$. Since the elements $h_1, h_2, \ldots, h_k \in H$ satisfy the same relations $R_1, R_2, \ldots, R_s$ as $g_1, g_2, \ldots, g_k$, then the same equalities apply between the words $\varphi\left(w_i\right)$ and $\varphi\left(w_{i+1}\right)$ as between $w_i$ and $w_{i+1}$. This establishes the chain of equalities
$$
\varphi(v)=\varphi\left(w_1\right)=\varphi\left(w_2\right)=\cdots=\varphi\left(w_n\right)=\varphi(w) .
$$
Hence, if $v=w$ are words in $G$, then $\varphi(v)=\varphi(w)$. Thus, $\varphi$ is a well-defined function and hence is a homomorphism.

抽象代数代考

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Defining Groups from a Presentation

由表象定义的群类似于自由群，因为它首先是通过符号来理解的，而不是通过表示某个函数、矩阵或数字的符号。在由表示定义的组中，元素只是生成器中的简化单词，但关系施加了额外的简化，超出了任何组中的幂规则。
示例1.10.6。为了说明各种关系集合中的相似点和不同点，考虑以下三组关系。
$$
\begin{aligned}
G_1 &=\left\langle x, y \mid x^3=y^7=1, x y=y x\right\rangle, \
G_2 &=\left\langle a, b \mid a^3=b^7=1, a b=b^2 a\right\rangle, \
G_3 &=\left\langle u, v \mid u^3=v^7=1, u v=v^2 u^2\right\rangle .
\end{aligned}
$$
在$G_1$中，由于$x y=y x$，在生成器$x$和$y$中的任何单词中，所有$x$符号都可以向左移动。因此，$C_1$中的所有元素都可以写成$x^k y^{\ell}$。此外，由于$x^3=y^7=1$，那么$x^i y^j$加上$0 \leq i \leq 2$和$0 \leq j \leq 6$给出$G_1$的所有元素。我们声称这21个元素都是不同的。为了证明这一点，我们必须证明$x^i y^j$对于$0 \leq i \leq 2$和$0 \leq j \leq 6$是不同的。如果$x^k y^{\ell}=x^m y^n$，我们有
$$
x^k y^{\ell}=x^m y^n \Longleftrightarrow x^{k-m}=y^{n-\ell} .
$$
根据推论1.3.7，因为$x^3=1$, $x^{k-m}$的顺序能整除3，因为$y^7=1$, $y^{n-\ell}$的顺序能整除7。因为$x^{k-m}=y^{n-\ell}$，那么这个元素的顺序必须除以$\operatorname{gcd}(3,7)=1$。因此，$x^{k-m}=y^{n-\ell}=1$。因此，3除$k-m$, 7除$n-\ell$，但如果我们假设$0 \leq k, m \leq 2$和$0 \leq \ell, n \leq 6$，那么我们可以得出$k=m$和$n=\ell$。这证明了这种说法。因此，$G_1$是一个21阶的组，其中元素操作为$\left(x^k y^l\right)\left(x^m y^n\right)=x^{k+m} y^{l+n}$ .

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| presentation and homoomorphisms

假设 $G$ 有一个演讲 $\left\langle g_1, g_2, \ldots, g_k\right| \begin{array}{llll}R_1 & R_2 & \cdots & \left.R_s\right\rangle \text {. Every }\end{array}$ 元素 $w \in G$ 是发电机里的一个字， $w=u_1^{\alpha_1} u_2^{\alpha_2} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$，与 $u_i \in$ $\left{g_1, g_2, \ldots, g_k\right}$对于同态 $\varphi: G \rightarrow H$ 我们有
$$
\varphi(w)=\varphi\left(u_1\right)^{\alpha_1} \varphi\left(u_2\right)^{\alpha_2} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}} .
$$
因此， $\varphi$ 是完全由价值观决定的吗 $\varphi\left(g_1\right), \varphi\left(g_2\right), \ldots, \varphi\left(g_k\right)$.

当试图构造一个从$G$到组$H$的同态时，不可能将$H$中的任意元素关联到$G$的生成器而总是得到一个同态。下面的定理使其更加精确

证明。我们通过$\varphi\left(g_i\right)=h_i$定义了函数$\varphi: G \rightarrow H$对于$i=1,2, \ldots, k$和每个元素$g \in G$，如果$g=u_1^{\alpha_1} u_2^{\alpha_2} \cdots u_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$和$u_j \in\left{g_1, g_2, \ldots, g_k\right}$，则
$$
\varphi(g) \stackrel{\text { def }}{=} \varphi\left(u_1\right)^{\alpha_1} \varphi\left(u_2\right)^{\alpha_2} \cdots \varphi\left(u_{\ell}\right)^{\alpha_{\ell}} .
$$
通过构造，$\varphi$对所有$x, y \in G$满足同态性质$\varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)$。但是，由于不同的单词可以相等，我们还没有确定$\varphi$是否是一个定义良好的函数

生成器$g_1, g_2, \ldots, g_k$中的两个单词$v$和$w$是相等的，当且仅当有一个有限的单词$w_1, w_2, \ldots, w_n$序列，使得$v=w_1, w=w_n$和$w_i$到$w_{i+1}$通过一个幂规则的应用(如命题1.2.12所示)或一个关系$R_j$的应用彼此相关。由于元素$h_1, h_2, \ldots, h_k \in H$满足与$g_1, g_2, \ldots, g_k$相同的关系$R_1, R_2, \ldots, R_s$，因此在单词$\varphi\left(w_i\right)$和$\varphi\left(w_{i+1}\right)$之间应用与$w_i$和$w_{i+1}$之间相同的等式。这建立了等式
$$
\varphi(v)=\varphi\left(w_1\right)=\varphi\left(w_2\right)=\cdots=\varphi\left(w_n\right)=\varphi(w) .
$$
的链。因此，如果$v=w$是$G$中的单词，那么$\varphi(v)=\varphi(w)$。因此，$\varphi$是一个定义良好的函数，因此是一个同态

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