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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Cayley’s Theorem and its Applications

In earlier sections, we mentioned the difficulty of describing all groups and their elements in a consistent manner. Cayley’s Theorem offers one approach.

Before giving the proof of this theorem and illustrating it with examples, we mention the importance for computational methods. Because of Cayley’s Theorem implementing operations and methods for permutation groups (subgroups of some $S_n$ ) ultimately encompasses all finite groups. For example, in SAGE, the command G=DihedralGroup (5) defines the group $G$ as the subgroup of $S_5$ expressed as
$$
\langle(12345),(25)(34)\rangle .
$$
In particular, every finite group is isomorphic to one constructed as described in Subsection 1.7.3.

Both Maple (GRoupTHEORY package) and SaGE offer many commands that construct spécific groups. For example, both have commands for the nth dicyclic group, for the Baby Monster Group, for a projective symplectic group over a finite field, and many more.

Proof (of Theorem 1.9.27). Write the elements of $G$ as $G=\left{g_1, g_2, \ldots, g_n\right}$. Define the function $\psi: G \rightarrow S_n$ by $\psi(g)=\sigma$ where
$$
g g_i=g_{\sigma(i)} \quad \text { for all } i \in{1,2, \ldots, n}
$$

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Generators and Relations

In Section 1.1.2, where we introduced the abstract notation for the dihedral group $D_n$, we saw that all dihedral symmetries can be obtained as various compositions of $r$ (the rotation by angle $2 \pi / n$ ) and $s$ (the reflection through the $x$-axis). We also know that $r^n=1$ because $r$ has order $n$, and that $s^2=1$ because $s$ has order 2 . However, we also proved that $r$ and $s$ satisfy $s r=r^{-1} s$.
Since every element in $D_n$ can be created from operations on $r$ and $s$, we say that $r$ and $s$ generate $D_n$ and that $r^n=1, s^2=1$, and $s r=r s^{-1}$ are relations on $r$ and $s$. In group theory, we write
$$
D_n=\left\langle r, s \mid r^n=s^2=1, s r=r^{-1} s\right\rangle
$$
to express that every element in $D_n$ can be obtained by a finite number of repcated opcrations betwoen $r$ and $s$ and that cvery algebraic relation betwecn $r$ and $a$ can be deduced from the relations $r^n=1, a^2=1$, and $a r=r^{-1} a$. The expression (1.9) is the standard presentation of $D_n$.

The relation $s r=r^{-1} s$ shows that in any term $s^k r^l$ it is possible to “move” the $s$ to the left of the term by appropriately changing the power on $r$. Hence, in any word involving the generators $r$ and $s$, it is possible, by appropriate changes on powers, to move all the powers of $s$ to the right and all the powers of $r$ to the left. Hence, every expression in the $r$ and $s$ can be rewritten as $r^l s^k$ with $0 \leq k \leq 1$ and $0 \leq l \leq n-1$. Though we already knew $\left|D_n\right|=2 n$ from geometry, this reasoning shows that there are at most $2 n$ terms in the group given by this presentation.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

抽象代数代考

数学代写|抽象代数作业代写抽象代数代考|Cayley定理及其应用


在前面的部分中,我们提到了以一致的方式描述所有组及其元素的困难。Cayley定理提供了一种方法


在给出这个定理的证明并举例说明之前,我们先要提到计算方法的重要性。由于Cayley定理,实现置换群(某些$S_n$的子群)的操作和方法最终包含了所有有限群。例如,在SAGE中,命令G=DihedralGroup(5)将组$G$定义为$S_5$的子组,表示为
$$
\langle(12345),(25)(34)\rangle .
$$


Maple (GRoupTHEORY包)和SaGE都提供了许多构造spécific组的命令。例如,它们都有针对第n个双环群的命令,针对小怪物群的命令,针对有限域上的投影辛群的命令,以及更多的命令

证明(定理1.9.27)。将$G$的元素写成$G=\left{g_1, g_2, \ldots, g_n\right}$。通过$\psi(g)=\sigma$定义函数$\psi: G \rightarrow S_n$,其中
$$
g g_i=g_{\sigma(i)} \quad \text { for all } i \in{1,2, \ldots, n}
$$

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Generators and Relations


在第1.1.2节中,我们介绍了二面体群$D_n$的抽象符号,我们看到所有的二面体对称都可以由$r$(按角度$2 \pi / n$旋转)和$s$(通过$x$ -轴的反射)的不同组合得到。我们还知道$r^n=1$是因为$r$的阶数是$n$, $s^2=1$是因为$s$的阶数是2。但是,我们也证明了$r$和$s$满足$s r=r^{-1} s$。由于$D_n$中的每一个元素都可以从$r$和$s$的操作中创建,我们说$r$和$s$生成$D_n$,并且$r^n=1, s^2=1$和$s r=r s^{-1}$是$r$和$s$的关系。在群论中,我们写
$$
D_n=\left\langle r, s \mid r^n=s^2=1, s r=r^{-1} s\right\rangle
$$
来表示$D_n$中的每个元素都可以通过$r$和$s$之间的有限次重复操作得到,并且$r$和$a$之间的所有代数关系都可以从$r^n=1, a^2=1$和$a r=r^{-1} a$的关系中推导出来。表达式(1.9)是$D_n$的标准表示。

关系$s r=r^{-1} s$表明,在任何术语$s^k r^l$中,通过适当地改变$r$上的功率,都可以将$s$“移动”到术语的左侧。因此,在任何涉及生成器$r$和$s$的单词中,通过适当的幂变换,都有可能将$s$的所有幂移到右边,而将$r$的所有幂移到左边。因此,$r$和$s$中的每个表达式都可以用$0 \leq k \leq 1$和$0 \leq l \leq n-1$重写为$r^l s^k$。虽然我们已经从几何中知道了$\left|D_n\right|=2 n$,但这个推理表明,在这个表示所给出的组中,最多有$2 n$个项

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