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经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stochastic Integrators

Let us fix an r.c.l.l. $(\mathcal{F}$.) adapted stochastic process $X$.
Recall, $S$ consists of the class of processes $f$ of the form
$$
f(s)=a_0 1_{[0}}(s)+\sum_{j=0}^m a_{j+1} 1_{\left(s_j, s_{j+1}\right]}(s)
$$
where $0=s_0<s_1<s_2<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_j$ is bounded $\mathcal{F}{s{j-1}}$ measurable random variable, $1 \leq j \leq(m+1)$, and $a_0$ is bounded $\mathcal{F}_0$ measurable.

For simple predictable $f \in \mathbb{S}$ given by $(4.2 .1)$, let $J_X(f)$ be the r.c.l.1. process defined by
$$
J_X(f)(t)=a_0 X_0+\sum_{j=0}^m a_{j+1}\left(X_{s_{j+1} \wedge t}-X_{s_j \wedge t}\right)
$$
One needs to verify that $J_X$ is unambiguously defined on $\mathbb{S}$. That is, if a given $f$ has two representations of type (4.2.1), then the corresponding expressions in (4.2.2) agree. This as well as linearity of $J_X(f)$ for $f \in \mathbb{S}$ can be verified using elementary algebra. By definition, for $f \in \mathbb{S}, J_X(f)$ is an r.c.l.l. adapted process. In analogy with the Ito’s integral with respect to Brownian motion discussed in the earlier chapter, we wish to explore if we can extend $J_X$ to the smallest $b p$-closed class of integrands that contain $\mathbb{S}$. Each $f \in \mathbb{S}$ can be viewed as a real-valued function on $\widetilde{\Omega}=[0, \infty) \times \Omega$. Since $\mathcal{P}$ is the $\sigma$-field generated by $\mathbb{S}$, by Theorem $2.66$, the smallest class of functions that contains $\mathbb{S}$ and is closed under $b p$-convergence is $\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$.

When the space, filtration and the probability measure are clear from the context, we will write the class of adapted r.c.l.l. processes $\mathbb{R}^0(\Omega,(\mathcal{F}$. $), \mathrm{P})$ simply as $\mathbb{R}^0$.

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Properties of the Stochastic Integral

First we note linearity of $(f, X) \mapsto \int f d X$.
Theorem 4.27 Let $X, Y$ be stochastic integrators, $f, g$ be predictable processes and $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
(i) Suppose $f, g \in \mathbb{L}(X)$. Let $h=\alpha f+\beta g$. Then $h \in \mathbb{L}(X)$ and
$$
\int h d X=\alpha \int f d X+\beta \int g d X
$$
(ii) Let $Z=\alpha X+\beta Y$. Then $Z$ is a stochastic integrator. Further, if $f \in \mathbb{L}(X)$ and $f \in \mathbb{L}(Y)$. then $f \in \mathbb{L}(Z)$ and $$
\int f d Z=\alpha \int f d X+\beta \int f d Y
$$
Proof We will begin by showing that (4.3.1) is true for $f . g$ bounded predictable processes. For a bounded predictable process $f$, let
$$
\mathbb{K}(f)=\left{g \in \mathbb{B}(\tilde{\Omega}, \mathcal{P}): \int(\alpha f+\beta g) d X=\alpha \int f d X+\beta \int g d X, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right}
$$
If $f \in \mathbb{S}$, it easy to see that $\mathbb{S} \subseteq \mathbb{K}(f)$ and Theorem $4.22$ implies that $K(f)$ is $b p$ closed. Hence invoking Theorem $2.66$, it follows that $\mathbb{K}(f)=\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$.

Now we take $f \in \mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$ and the part proven above yields $\mathbb{S} \subseteq \mathbb{K}(f)$. Once again, using that $K(f)$ is $b p$-closed we conclude that $\mathbb{K}(f)=\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$. Thus $(4.3 .1)$ is true when $f, g$ are bounded predictable process.

Now let us fix $f, g \in \mathbb{L}(X)$. We will show $(|\alpha f|+|\beta g|) \in \mathbb{L}(X)$, let $u^n$ be bounded predictable processes converging to $u$ pointwise and
$$
\left|u^n\right| \leq(|\alpha f|+|\beta g|) ; \forall n \geq 1 .
$$
Let $v^n=u^n 1_{\langle|\alpha f| \leq| \beta g |}$ and $w^n=u^n 1_{\langle|\alpha f|>|\beta g|}}$. Then $v^n$ and $w^n$ converge pointwise to $v=u 1_{{|\alpha f| \leq|\beta g| \mid}$ and $w=u 1_{\lfloor|\alpha f|>|\beta g| \mid}$, respectively, and further
$$
\begin{gathered}
\left|v^n\right| \leq 2|\beta g| \
\left|w^n\right| \leq 2|\alpha f| .
\end{gathered}
$$

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stochastic Integrators

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让我们修复一个r.c.l.l。 $(\mathcal{F}$)适应随机过程 $X$
回忆， $S$ 由流程类组成 $f$ 形式
$$
f(s)=a_0 1_{[0}}(s)+\sum_{j=0}^m a_{j+1} 1_{\left(s_j, s_{j+1}\right]}(s)
$$
where $0=s_0<s_1<s_2<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_j$ 是有界的 $\mathcal{F}{s{j-1}}$ 可测量随机变量， $1 \leq j \leq(m+1)$，以及 $a_0$ 是有界的 $\mathcal{F}_0$

对于$(4.2 .1)$给出的简单可预测的$f \in \mathbb{S}$，设$J_X(f)$为r.c.l.1。
$$
J_X(f)(t)=a_0 X_0+\sum_{j=0}^m a_{j+1}\left(X_{s_{j+1} \wedge t}-X_{s_j \wedge t}\right)
$$
需要验证$J_X$在$\mathbb{S}$上的定义是否明确。也就是说，如果给定的$f$有类型(4.2.1)的两种表示形式，则(4.2.2)中相应的表达式是一致的。这一点以及$J_X(f)$对$f \in \mathbb{S}$的线性关系可以用初等代数来验证。根据定义，$f \in \mathbb{S}, J_X(f)$是一个rc.l.l.改编的过程。与前一章中讨论的关于布朗运动的伊藤积分类似，我们希望探索是否可以将$J_X$扩展到包含$\mathbb{S}$的最小的$b p$ -封闭被积函数类。每个$f \in \mathbb{S}$都可以被看作$\widetilde{\Omega}=[0, \infty) \times \Omega$上的实值函数。由于$\mathcal{P}$是由$\mathbb{S}$生成的$\sigma$ -字段，根据定理$2.66$，包含$\mathbb{S}$并且在$b p$ -收敛下关闭的函数的最小类是$\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$

当空间、过滤和概率度量从上下文清楚时，我们将编写改编的r.c.l.l.过程的类$\mathbb{R}^0(\Omega,(\mathcal{F}$。$), \mathrm{P})$简写为$\mathbb{R}^0$。

经济代写|随机微积分代写随机积分代考|随机积分的性质

首先我们注意到线性 $(f, X) \mapsto \int f d X$.
定理4.27让 $X, Y$ 做随机积分器， $f, g$ 是可预测的过程 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
(i)假设 $f, g \in \mathbb{L}(X)$。让 $h=\alpha f+\beta g$。然后 $h \in \mathbb{L}(X)$ 和
$$
\int h d X=\alpha \int f d X+\beta \int g d X
$$
(ii)让 $Z=\alpha X+\beta Y$。然后 $Z$ 是一个随机积分器。此外，如果 $f \in \mathbb{L}(X)$ 和 $f \in \mathbb{L}(Y)$。然后 $f \in \mathbb{L}(Z)$ 和 $$
\int f d Z=\alpha \int f d X+\beta \int f d Y
$$我们将首先证明(4.3.1)对…是正确的 $f . g$ 有界可预测过程。对于有界可预测过程 $f$，让
$$
\mathbb{K}(f)=\left{g \in \mathbb{B}(\tilde{\Omega}, \mathcal{P}): \int(\alpha f+\beta g) d X=\alpha \int f d X+\beta \int g d X, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right}
$$
如果 $f \in \mathbb{S}$，这很容易看出来 $\mathbb{S} \subseteq \mathbb{K}(f)$ 和定理 $4.22$ 意味着 $K(f)$ 是 $b p$ 关闭。因此调用定理 $2.66$，可以得出 $\mathbb{K}(f)=\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$.

现在我们取$f \in \mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$，上面证明的部分得到$\mathbb{S} \subseteq \mathbb{K}(f)$。同样，使用$K(f)$是$b p$ -closed，我们得出的结论是$\mathbb{K}(f)=\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$。因此，当$f, g$是有界的可预测过程时，$(4.3 .1)$为真

现在让我们修复$f, g \in \mathbb{L}(X)$。我们将显示$(|\alpha f|+|\beta g|) \in \mathbb{L}(X)$，设$u^n$是有界的可预测过程，收敛于$u$，且
$$
\left|u^n\right| \leq(|\alpha f|+|\beta g|) ; \forall n \geq 1 .
$$
设$v^n=u^n 1_{\langle|\alpha f| \leq| \beta g |}$和$w^n=u^n 1_{\langle|\alpha f|>|\beta g|}}$。然后$v^n$和$w^n$分别点向收敛到$v=u 1_{{|\alpha f| \leq|\beta g| \mid}$和$w=u 1_{\lfloor|\alpha f|>|\beta g| \mid}$，进一步
$$
\begin{gathered}
\left|v^n\right| \leq 2|\beta g| \
\left|w^n\right| \leq 2|\alpha f| .
\end{gathered}
$$

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