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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|PARTITIONING THE SUM OF SQUARES REGRESSION

In Table 5.3.1 the sum of squares regression was expressed with $p-1$ degrees of freedom. This sum of squares represented the total influence of the variables $x_1, \ldots, x_{p-1}$ in the ordinary least-squares regression. It is often of interest to check the contribution of a particular variable (or variables) given that other variables are already in the model. Such contributions can be calculated by partitioning the $n \times p$ matrix $\mathbf{X}$ as
$$
\mathbf{X}=\left(\mathbf{X}1\left|\mathbf{X}_2\right| \cdots \mid \mathbf{X}_m\right) $$ where $\mathbf{X}_j$ is an $n \times p_j$ matrix for $j=1, \ldots, m, p=\sum{j=1}^m p_j$, and $\mathbf{X}1=\mathbf{1}_n$. If $R_1=\mathbf{X}_1, R_2=\left(\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2\right), \ldots, R{m-1}=\left(\mathbf{X}1\left|\mathbf{X}_2\right| \ldots \mid \mathbf{X}{m-1}\right)$ and $\mathbf{R}m=\mathbf{X}$, then the sum of squares due to the $p_j$ variables in $\mathbf{X}_j$ given that $\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \ldots, X{j-1}$ are already in the model is given by
$$
\begin{aligned}
\operatorname{SS}\left(\mathbf{X}j \mid \mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \ldots, \mathbf{X}{j-1}\right)=& \mathbf{Y}^{\prime}\left[\mathbf{R}j\left(\mathbf{R}_j^{\prime} \mathbf{R}_j\right)^{-1} \mathbf{R}_j^{\prime}\right.\ &\left.-\mathbf{R}{j-1}\left(\mathbf{R}{j-1}^{\prime} \mathbf{R}{j-1}\right)^{-1} \mathbf{R}_{j-1}^{\prime}\right] \mathbf{Y} .
\end{aligned}
$$
Such conditional sums of squares are often called Type I sums of squares. The entire ANOVA table with the Type I sums of squares is presented in Table 5.6.1.

Note that the sum of squares due to all sources of variations still add up to the total sum of squares $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}$.

The Type I sums of squares for the fuel, speed, grade data set are provided below with the output provided in Appendix 1.

Example 5.6.1 Using the example data set from Table 5.1.1, the Type I sums of squares are provided for the overall mean, for the speed variable $x_1$ given the overall mean, and for the speed $\times$ grade variable $x_2$ given the overall mean and $x_1$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|THE MODEL $Y=X \beta+E$ IN COMPLETE, BALANCED FACTORIALS

The experiment presented in Section $4.1$ has $b$ random blocks, $t$ fixed treatments, and $r$ random replicates nested in each block treatment combination. The btr $\times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_{111}, \ldots, Y_{11 r}, \ldots, Y_{b r 1}, \ldots, Y_{b t r}\right)^{\prime} \sim \mathbf{N}{b t r}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ where the $b t r \times 1$ mean vector and the $b t r \times b t r$ covariance matrix are given by $\boldsymbol{\mu}=\mathbf{1}_b \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes \mathbf{1}_r$ and $\quad \mathbf{\Sigma}=\sigma_B^2\left[\mathbf{I}_b \otimes \mathbf{J}_t \otimes \mathbf{J}_r\right]+\sigma{B T}^2\left[\mathbf{I}b \otimes\left(\mathbf{I}_t-\frac{1}{t} \mathbf{J}_t\right) \otimes \mathbf{J}_r\right]$ $+\sigma{R(B T)}^2\left[\mathbf{I}b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{I}_r\right]$. This experiment can be characterized by the general linear model $\mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\mathbf{E}$. First, $\operatorname{cov}(\mathbf{E})$ equals the btr $\times$ btr covariance matrix $\Sigma$. Next, the btr $\times 1$ vector $\mu$ must be reconciled with the $b t r \times 1$ mean vector $E(Y)=\mathbf{X} \beta$ from the general linear model. Note that the $b t r \times 1$ mean vector $\mu$ is a function of the $t$ unknown parameters $\mu_1, \ldots, \mu_t$. Therefore, the general linear model mean vector $\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$ must also be written as a function of $\mu_1, \ldots, \mu_t$. One simple approach is to let the $t \times 1$ vector $\beta=\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime}$ and let the $b t r \times t$ matrix $\mathbf{X}=\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r$. Then the btr $\times 1$ mean vector of the general linear model is $$ \begin{aligned} \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} &=\left(\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r\right)\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \ &=\left(\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r\right)\left[1 \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes 1\right] \ &=\mathbf{1}_b \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes \mathbf{1}_r=\boldsymbol{\mu} . \end{aligned} $$ The preceding example suggests a general approach for writing the mean vector $\boldsymbol{\mu}$ as $\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$ for complete, balanced factorial experiments. First, if $\boldsymbol{\mu}$ is a function of $p$ unknown parameters, then let $\beta$ be a $p \times 1$ vector whose elements are the $p$ unknown parameters in $\boldsymbol{\mu}$. In general these elements will be subscripted, such as $\mu{i j k}$. The elements of $\beta$ should be ordered so the last subscript changes first, the second to the last subscript changes next, etc. The corresponding $\mathbf{X}$ matrix can then be constructed using a simple algorithm. The previous experiment is used to develop the algorithm rules.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|划分平方和回归

在表 $5.3 .1$ 中，平方和回归表示为 $p-1$ 自由程度。这个平方和代表了变量的总影响 $x_1, \ldots, x_{p-1}$ 在普通的 最小二乘回归中。考虑到其他变量已经在模型中，检查特定变量 (或多个变量) 的贡献通常是有意义的。 这种贡献可以通过划分 $n \times p$ 矩阵 $\mathbf{X}$ 作为
$$
\mathbf{X}=\left(\mathbf{X} 1\left|\mathbf{X}2\right| \cdots \mid \mathbf{X}_m\right) $$ 在哪里 $\mathbf{X}_j$ 是一个 $n \times p_j$ 矩阵 $j=1, \ldots, m, p=\sum j=1^m p_j$ ，和 $\mathbf{X} 1=\mathbf{1}_n$. 如果 $R_1=\mathbf{X}_1, R_2=\left(\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2\right), \ldots, R m-1=\left(\mathbf{X} 1\left|\mathbf{X}_2\right| \ldots \mid \mathbf{X} m-1\right)$ 和 $\mathbf{R} m=\mathbf{X}$ ，那么平方和由于 $p_j$ 变量 $\mathbf{X}_j$ 鉴于 $\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \ldots, X j-1$ 已经在模型中 $$ \operatorname{SS}\left(\mathbf{X}_j \mid \mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2, \ldots, \mathbf{X} j-1\right)=\mathbf{Y}^{\prime}\left[\mathbf{R}_j\left(\mathbf{R}_j^{\prime} \mathbf{R}_j\right)^{-1} \mathbf{R}_j^{\prime} \quad-\mathbf{R} j-1\left(\mathbf{R} j-1^{\prime} \mathbf{R} j-1\right)^{-1} \mathbf{R}{j-1}^{\prime}\right] \mathbf{Y}
$$
这种有条件的平方和通常称为 I 型平方和。表 $5.6 .1$ 给出了具有类型 I 平方和的整个 ANOVA 表。
请注意，由于所有变化源而产生的平方和仍然等于总平方和 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{Y}$.
下面提供了燃料、速度、坡度数据集的 I 类平方和以及附录 1 中提供的输出。
示例 5.6.1 使用表 5.1.1 中的示例数据集，为速度变量的总体平均值提供类型 I 平方和 $x_1$ 给定整体平均值，
以及速度 $\times$ 等级变量 $x_2$ 给定总体平均值和 $x_1$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|THE MODEL 是=Xb+和在完整、平衡的因子中

本节介绍的实验 $4.1$ 有 $b$ 随机块， $t$ 固定治疗，和 $r$ 嵌套在每个块处理组合中的随机重复。btr $\times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_{111}, \ldots, Y_{11 r}, \ldots, Y_{b r 1}, \ldots, Y_{b t r}\right)^{\prime} \sim \mathbf{N} b \operatorname{tr}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 在哪里 $b t r \times 1$ 均值向量和btr $\times b t r$ 协方差矩 阵由下式给出 $\boldsymbol{\mu}=\mathbf{1}_b \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes \mathbf{1}_r$ 和
$\boldsymbol{\Sigma}=\sigma_B^2\left[\mathbf{I}_b \otimes \mathbf{J}_t \otimes \mathbf{J}_r\right]+\sigma B T^2\left[\mathbf{I} b \otimes\left(\mathbf{I}_t-\frac{1}{t} \mathbf{J}_t\right) \otimes \mathbf{J}_r\right]+\sigma R(B T)^2\left[\mathbf{I} b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{I}_r\right]$. 这个实验可 以用一般线性模型来表征 $\mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\mathbf{E}$. 第一的， $\operatorname{cov}(\mathbf{E})$ 等于 $b \operatorname{tr} \times \mathrm{btr}$ 协方差矩阵 $\Sigma$. 接下来， btr $\times 1$ 向量 $\mu$ 必须与 $b t r \times 1$ 平均向量 $E(Y)=\mathbf{X} \beta$ 从一般线性模型。请注意， $b t r \times 1$ 平均向量 $\mu$ 是一个函数 $t$ 末知参数 $\mu_1, \ldots, \mu_t$. 因此，一般线性模型均值向量 $\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$ 也必须写成 $\mu_1, \ldots, \mu_t$. 一种简单的方法是让 $t \times 1$ 向量 $\beta=\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime}$ 并让btr $\times t$ 矩阵 $\mathbf{X}=\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r$. 然后 $\mathrm{btr} \times 1$ 一般线性模型的平均向量是 $\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}=\left(\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r\right)\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \quad=\left(\mathbf{1}_b \otimes \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{1}_r\right)\left[1 \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes 1\right]=\mathbf{1}_b \otimes\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes \mathbf{1}_r$
前面的例子提出了一种写均值向量的通用方法 $\mu$ 作为 $\mathrm{X} \beta$ 用于完整、平衡的因子实验。首先，如果 $\mu$ 是一个 函数 $p$ 末知参数，然后让 $\beta$ 做一个 $p \times 1$ 向量，其元龶是 $p$ 末知参数 $\boldsymbol{\mu}$.一般来说，这些元素都会下标，例如 $\mu i j k$. 的元素 $\beta$ 应该排序，所以最后一个下标首先改变，第二个到最后一个下标接下来改变，依此类推。对 应的 $\mathbf{X}$ 然后可以使用简单的算法构造矩阵。前面的实验用于开发算法规则。

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