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数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|On Significant Coefficients
If all the usual distributional assumptions hold, then $t$-tests can be used to decide whether particular coefficients are statistically-significantly different from zero. Pretty much any piece of statistical software, $R$ very much included, reports the results of these tests automatically. It is far too common to seriously over-interpret those results, for a variety of reasons.
Begin with what hypothesis, exactly, is being tested when $R$ (or whatever) runs those $t$-tests. Say, without loss of generality, that there are $p$ predictor variables, $\vec{X}=\left(X_1, \ldots X_p\right)$, and that we are testing the coefficient on $X_p$. Then the null hypothesis is not just ” $\beta_p=0$ “, but ” $\beta_p=0$ in a linear model which also includes $X_1, \ldots X_{p-1}$, and nothing else”. The alternative hypothesis is not just “ $\beta_p \neq 0$ “, but “ $\beta_p \neq 0$ in a model which also includes $X_1, \ldots X_{p-1}$, but nothing else”. The optimal linear coefficient on $X_p$ will depend not just on the relationship between $X_p$ and the response $Y$, but also on which other variables are included in the model. The $t$-test checks whether adding $X_p$ really improves predictions more than would be expected, under all these assumptions, if one is already using all the other variables, and only those other variables. It does not and cannot test whether $X_p$ is important in any absolute sense.
Even if you are willing to say “Yes, all I really want to know about this variable is whether adding it to the model really helps me predict in a linear approximation”, remember that the question which a $t$-test answers is whether adding that variable will help at all. Of course, as you know from your regression class, and as we’ll see in more detail in Chapter 3, expanding the model never hurts its performance on the training data. The point of the $t$-test is to gauge whether the improvement in prediction is small enough to be due to chance, or so large, compared to what noise could produce, that one could confidently say the variable adds some predictive ability. This has several implications which are insufficiently appreciated among users.
In the first place, tests on individual coefficients can seem to contradict tests on groups of coefficients. Adding multiple variables to the model could significantly improve the fit (as checked by, say, a partial $F$ test), even if none of the coefficients is significant on its own. In fact, every single coefficient in the model could be insignificant, while the model as a whole is highly significant (i.e., better than a flat line).
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Error and Inference
There are (at least) three ways we can use statistical models in data analysis: as summaries of the data, as predictors, and as simulators.
The least demanding use of a model is to summarize the data – to use it for data reduction, or compression. Just as the sample mean or sample quantiles can be descriptive statistics, recording some features of the data and saying nothing about a population or a generative process, we could use estimates of a model’s parameters as descriptive summaries. Rather than remembering all the points on a scatter-plot, say, we’d just remember what the OLS regression surface was.
It’s hard to be wrong about a summary, unless we just make a mistake. (It may not be helpful for us later, but that’s different.) When we say “the slope which minimized the sum of squares was $4.02^{\prime \prime}$, we make no claims about anything but the training data. That statement relies on no assumptions, beyond our calculating correctly. But it also asserts nothing about the rest of the world. As soon as we try to connect our training data to anything else, we start relying on assumptions, and we run the risk of being wrong.
Probably the most common connection to want to make is to say what other data will look like – to make predictions. In a statistical model, with random variables, we do not anticipate that our predictions will ever be exactly right, but we also anticipate that our mistakes will show stable probabilistic patterns. We can evaluate predictions based on those patterns of error $-$ how big is our typical mistake? are we biased in a particular direction? do we make a lot of little errors or a few huge ones?
Statistical inference about model parameters – estimation and hypothesis testing – can be seen as a kind of prediction, extrapolating from what we saw in a small piece of data to what we would see in the whole population, or whole process.
基础数据分析代考
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|关于显著系数
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如果所有通常的分布假设都成立，那么可以使用$t$ -tests来确定特定系数是否在统计上显著不同于零。几乎所有的统计软件(包括$R$)都能自动报告这些测试的结果。由于各种各样的原因，人们往往会严重过度解读这些结果
从什么假设，确切地说，在什么时候被检验开始 $R$ (或其他)运行这些 $t$-测试。在不丧失概括性的前提下，说有 $p$ 预测变量， $\vec{X}=\left(X_1, \ldots X_p\right)$我们在上面测试系数 $X_p$。零假设不仅仅是” $\beta_p=0$ ，但是” $\beta_p=0$ 在线性模型中，还包括 $X_1, \ldots X_{p-1}$没有别的了。”备择假设不仅仅是 $\beta_p \neq 0$ ，但是” $\beta_p \neq 0$ 在模型中还包括 $X_1, \ldots X_{p-1}$没有别的了。”最优线性系数 $X_p$ 会不会仅仅取决于之间的关系 $X_p$ 以及回应 $Y$，还要考虑模型中包含了哪些其他变量。。 $t$-test检查是否添加 $X_p$ 在所有这些假设下，如果一个人已经使用了所有其他变量，而且只使用了那些变量，那么它对预测的改善比预期的要多。它没有也不能测试是否 $X_p$ 在任何绝对意义上都很重要。
即使你愿意说“是的，我真正想知道的关于这个变量的一切是，把它添加到模型中是否真的有助于我在线性逼近中进行预测”，请记住$t$ -test回答的问题是，添加这个变量是否会有帮助。当然，正如您从回归类中了解到的，我们将在第3章中更详细地看到，扩展模型永远不会损害它在训练数据上的性能。$t$ -test的目的是衡量预测方面的改进是小到由于偶然，还是大到与噪声可能产生的结果相比，可以有把握地说变量增加了一些预测能力。这其中的一些含义并没有得到用户的充分理解
首先，对个别系数的检验似乎与对一组系数的检验相矛盾。向模型中添加多个变量可以显著提高拟合性(例如，通过部分$F$测试进行检验)，即使这些系数本身都不显著。事实上，模型中的每一个系数都可能是不显著的，而模型作为一个整体是高度显著的(即，优于一条平坦的线)
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|错误和推断
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在数据分析中，我们(至少)有三种方法可以使用统计模型:作为数据的摘要，作为预测器，和作为模拟器
对模型要求最低的使用是对数据进行汇总——将其用于数据缩减或压缩。正如样本均值或样本分位数可以是描述性统计，记录数据的一些特征，而不涉及总体或生成过程一样，我们可以使用模型参数的估计作为描述性摘要。我们不需要记住散点图上的所有点，我们只需要记住OLS回归曲面是什么
一个总结很难出错，除非我们只是犯了一个错误。(这可能对我们以后没有帮助，但那是两码事。)当我们说“最小化平方和的斜率是$4.02^{\prime \prime}$”时，除了训练数据之外，我们没有任何其他要求。除了我们正确的计算之外，这个陈述不依赖任何假设。但它也没有对世界其他地区作出任何断言。一旦我们试图将我们的训练数据与其他任何东西联系起来，我们就开始依赖于假设，并冒着出错的风险
可能最常见的联系是想要知道其他数据会是什么样子，从而做出预测。在随机变量的统计模型中，我们并不期望我们的预测会完全正确，但我们也期望我们的错误会显示出稳定的概率模式。我们可以根据这些错误模式来评估预测$-$我们的典型错误有多大?我们是否偏向某一特定方向?我们犯了很多小错误还是几个大错误?关于模型参数的统计推断——估计和假设检验——可以被看作是一种预测，从我们在一小块数据中看到的情况外推到我们将在整个群体或整个过程中看到的情况。
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