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数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|Normal and Hermitian matrices

In this section we study transformations that interact particularly nicely with respect to the inner product. A main feature of these normal and Hermitian transformations is that its eigenvectors can be used to form an orthonormal basis for the underlying space.
A matrix $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ is called normal if $A^* A=A A^$. Lemma 5.5.1 (a) If $U$ is unitary, then $A$ is normal if and only if $U^ A U$ is normal.
(b) If $T$ is upper triangular and normal, then $T$ is diagonal.
Proof. (a). Let us compute $U^* A U\left(U^* A U\right)^=U^ A U U^* A^* U=U^* A A^* U$, and $\left.\left(U^* A U\right)^* U^* A U\right)=U^* A^* U U^* A U=U^* A^* A U$. The two are equal if and only if $A A^=A^ A$ (where we used that $U$ is invertible). This proves the first part.
(b). Suppose that $T=\left(t_{i j}\right){i, j=1}^n$ is upper triangular. Thus $t{i j}=0$ for $i>j$. Since $T$ is normal we have that $T^* T=T T^$. Comparing the $(1,1)$ entry on both sides of this equation we get $$ \left|t_{11}\right|^2=\left|t_{11}\right|^2+\left|t_{12}\right|^2+\cdots+\left|t_{1 n}\right|^2 . $$ This gives that $t_{12}=t_{13}=\cdots=t_{1 n}=0$. Next, comparing the $(2,2)$ entry on both sides of $T^ T=T T^*$ we get
$$
\left|t_{22}\right|^2=\left|t_{22}\right|^2+\left|t_{23}\right|^2+\cdots+\left|t_{2 n}\right|^2 .
$$
This gives that $t_{23}=t_{24}=\cdots=t_{2 n}=0$. Continuing this way, we find that $t_{i j}=0$ for all $i<j$. Thus $T$ is diagonal.

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The quotient space

Let $V$ be a vector space over $\mathbb{F}$ and $W \subseteq V$ a subspace. We define the relation $\sim$ via
$$
\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2 \Leftrightarrow \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W .
$$
Then $\sim$ is an equivalence relation:
(i) Reflexivity: $\mathbf{v} \sim \mathbf{v}$ for all $\mathbf{v} \in V$, since $\mathbf{v}-\mathbf{v}=\mathbf{0} \in W$.
(ii) Symmetry: Suppose $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2$. Then $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W$. Thus $-\left(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\right)=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1 \in W$, which yields $\mathbf{v}_2 \sim \mathbf{v}_1$.
(iii) Transitivity: Suppose $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2$ and $\mathbf{v}_2 \sim \mathbf{v}_3$. Then $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W$ and $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \in W$. Thus $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3=\left(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\right)+\left(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3\right) \in W$. This yields $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_3$.
As $\sim$ is an equivalence relation, it has equivalence classes, which we will denote as $\mathbf{v}+W$ :
$$
\mathbf{v}+W:={\hat{\mathbf{v}}: \mathbf{v} \sim \hat{\mathbf{v}}}={\hat{\mathbf{v}}: \mathbf{v}-\hat{\mathbf{v}} \in W}=
$$
${\hat{\mathbf{v}}:$ there exists $\mathbf{w} \in W$ with $\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}+\mathbf{w}}$.
Any member of an equivalence class is called a representative of the equivalence class.

Example 6.2.1 Let $V=\mathbb{R}^2$ and $W=\operatorname{Span}\left{\mathbf{e}_1\right}$. Then the equivalence class of $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{l}v_1 \ v_2\end{array}\right)$ is the horizontal line through $\mathbf{v}$. In this example it is simple to see how one would add two equivalence classes. Indeed, to add the horizontal line through $\left(\begin{array}{l}0 \ c\end{array}\right)$ to the horizontal line through $\left(\begin{array}{l}0 \ d\end{array}\right)$, would result in the horizontal line through $\left(\begin{array}{c}0 \ c+d\end{array}\right)$. Or, what is equivalent, to add the horizontal line through $\left(\begin{array}{l}5 \ c\end{array}\right)$ to the horizontal line through $\left(\begin{array}{c}10 \ d\end{array}\right)$, would result in the horizontal line through $\left(\begin{array}{c}15 \ c+d\end{array}\right)$. Similarly, one can define scalar multiplication for these equivalence classes. We give the general definition below.
The set of equivalence classes is denoted by $V / W$ :
$$
V / W:={\mathbf{v}+W: \mathbf{v} \in V} .
$$
We define addition and scalar multiplication on $V / W$ via
$$
\begin{gathered}
\left(\mathbf{v}_1+W\right)+\left(\mathbf{v}_2+W\right):=\left(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\right)+W, \
c(\mathbf{v}+W):=(c \mathbf{v})+W .
\end{gathered}
$$
These two operations are defined via representatives (namely, $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$, and $\mathbf{v}$ ) of the equivalence classes, so we need to make sure that if we had chosen different representatives for the same equivalence classes, the outcome would be the same. We do this in the following lemma.

高等线性代数代考

数学代写|高等线性代数代写高级线性代数代考|法线和厄米矩阵

在本节中，我们研究那些与内积相互作用特别好的变换。这些法变换和厄米变换的一个主要特征是，它的特征向量可以用来形成基础空间的标准正交基。
如果矩阵$A^* A=A A^$ . $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$被称为正常矩阵。引理5.5.1 (a)如果$U$是酉的，那么$A$是正规的当且仅当$U^ A U$是正规的。
(b)如果$T$是上三角形且正规的，那么$T$是对角线的。
证明。(a)让我们计算$U^* A U\left(U^* A U\right)^=U^ A U U^* A^* U=U^* A A^* U$和$\left.\left(U^* A U\right)^* U^* A U\right)=U^* A^* U U^* A U=U^* A^* A U$。当且仅当$A A^=A^ A$(这里我们使用$U$是可逆的)，两者相等。这证明了第一部分
(b)。假设$T=\left(t_{i j}\right){i, j=1}^n$是上三角形。因此，$t{i j}=0$为$i>j$。因为$T$是正常的，我们有$T^* T=T T^$。比较这个等式两边的$(1,1)$条目，我们得到$$ \left|t_{11}\right|^2=\left|t_{11}\right|^2+\left|t_{12}\right|^2+\cdots+\left|t_{1 n}\right|^2 . $$，这就得到$t_{12}=t_{13}=\cdots=t_{1 n}=0$。接下来，比较$T^ T=T T^*$两边的$(2,2)$条目，我们得到
$$
\left|t_{22}\right|^2=\left|t_{22}\right|^2+\left|t_{23}\right|^2+\cdots+\left|t_{2 n}\right|^2 .
$$
这就得到了$t_{23}=t_{24}=\cdots=t_{2 n}=0$。继续这样做，我们发现$t_{i j}=0$对于所有$i<j$。因此$T$是对角线

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|商空间

让 $V$ 是一个向量空间 $\mathbb{F}$ 和 $W \subseteq V$ 一个子空间。我们定义关系 $\sim$ via
$$
\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2 \Leftrightarrow \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W .
$$
那么 $\sim$
(i)反身性: $\mathbf{v} \sim \mathbf{v}$ 为所有人 $\mathbf{v} \in V$，因为 $\mathbf{v}-\mathbf{v}=\mathbf{0} \in W$.
(ii)对称性:假设 $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2$。然后 $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W$。因此 $-\left(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\right)=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1 \in W$，得到 $\mathbf{v}_2 \sim \mathbf{v}_1$.
(iii)传递性:假设 $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_2$ 和 $\mathbf{v}_2 \sim \mathbf{v}_3$。然后 $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in W$ 和 $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \in W$。因此 $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3=\left(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\right)+\left(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3\right) \in W$。这产生了 $\mathbf{v}_1 \sim \mathbf{v}_3$.
As $\sim$ 是等价关系，它有等价类，我们将其表示为 $\mathbf{v}+W$ :
$$
\mathbf{v}+W:={\hat{\mathbf{v}}: \mathbf{v} \sim \hat{\mathbf{v}}}={\hat{\mathbf{v}}: \mathbf{v}-\hat{\mathbf{v}} \in W}=
$$
${\hat{\mathbf{v}}:$ 存在的 $\mathbf{w} \in W$ 用 $\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}+\mathbf{w}}$
等价类的任何成员都被称为等价类的代表 6.2.1让$V=\mathbb{R}^2$和$W=\operatorname{Span}\left{\mathbf{e}_1\right}$。那么$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{l}v_1 \ v_2\end{array}\right)$的等价类就是穿过$\mathbf{v}$的水平线。在本例中，很容易看出如何添加两个等价类。实际上，将通过$\left(\begin{array}{l}0 \ c\end{array}\right)$的水平线与通过$\left(\begin{array}{l}0 \ d\end{array}\right)$的水平线相加，将得到通过$\left(\begin{array}{c}0 \ c+d\end{array}\right)$的水平线。或者，等价的是，将通过$\left(\begin{array}{l}5 \ c\end{array}\right)$的水平线与通过$\left(\begin{array}{c}10 \ d\end{array}\right)$的水平线相加，将得到通过$\left(\begin{array}{c}15 \ c+d\end{array}\right)$的水平线。类似地，可以为这些等价类定义标量乘法。我们在下面给出一般的定义。
等价类的集合用$V / W$:
$$
V / W:={\mathbf{v}+W: \mathbf{v} \in V} .
$$
我们通过
$$
\begin{gathered}
\left(\mathbf{v}_1+W\right)+\left(\mathbf{v}_2+W\right):=\left(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\right)+W, \
c(\mathbf{v}+W):=(c \mathbf{v})+W .
\end{gathered}
$$
在$V / W$上定义加法和标量乘法，这两个操作是通过等价类的代表(即$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$和$\mathbf{v}$)定义的，因此我们需要确保，如果我们为相同的等价类选择了不同的代表，结果将是相同的。我们在以下引理中这样做:

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