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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Model Complexity and Regularization

So far we have talked vaguely about what it means for a model to be ‘too complex’ (or too simple) and suggested that we should choose a model that is complex enough to fit the data but simple enough not to overfit. This idea is often referred to as Occam’s Razor, a philosophical principle which states that among several alternate hypotheses that explain some phenomenon, one should favor the simplest.

However, for these notions to be useful, we must be precise about what it means for a model to be ‘complex.’ We would like to define complexity in terms of the parameters $\theta$, such that given a fixed set of features and labels, we could select the ‘simplest’ $\theta$ that adequately explains (or models) the data.
We will discuss two candidate notions of ‘simplicity’ as follows:
(i) A simple model is one that includes only a few terms, that is, in which only a few values $\theta_k$ are nonzero.
(ii) A simple model is one in which all terms are about equally important, that is, one in which particularly large values of $\theta_k$ are rare.

These two potential notions of ‘complexity’ are captured by the following expressions:
$$
\begin{aligned}
&\Omega_1(\theta)=|\theta|_1=\sum_k\left|\theta_k\right|, \
&\Omega_2(\theta)=|\theta|_2^2=\sum_k \theta_k^2,
\end{aligned}
$$
that is, the sum of absolute values and the sum of squares, also called the $\ell_1$ and (squared) $\ell_2$ norms of $\theta$. We state without proof that these expressions penalize models that have many nonzero parameters (eq. (3.29)) or large parameters (eq. (3.30)), though we further characterize their behavior later.

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In order to fit a model which simultaneously explains the data but is not overly complex (corresponding to our goal above), we write down a new objective that combines our original accuracy objective with one of the complexity expressions above (in this case the squared $\ell_2$ norm). For a regression model we add the regularizer to the expression from Equation (2.16):
$$
\underbrace{\frac{1}{|y|} \sum_{i=1}^{|y|}\left(x_i \cdot \theta-y_i\right)^2}{\text {accuracy }}+\underbrace{\sum_k \theta_k^2}{\text {model complexity } |\left.\theta\right|2 ^2} . $$ For a classification model, we subtract the regularizer, since we seek to maximize accuracy rather than minimizing error (so we maximize $-\lambda|\theta|_2^2$ rather than minimizing $\lambda|\theta|_2^2$ ): $$ \sum_i-\log \left(1+e^{-x_i \cdot \theta}\right)+\sum{y_i=0}-x_i \cdot \theta-\lambda|\theta|_2^2 .
$$
This procedure-where we add a penalty term to control model complexityis known as regularization; the parameter $\lambda$, which controls the extent to which complexity is penalized, is termed a regularization parameter.

Note that we can straightforwardly adapt the derivatives (from eqs. (2.54) and (3.9)) to include the regularization term, $\lambda|\theta|_2^2$ by noting that $\frac{\partial}{\partial \theta_k}$ $\lambda|\theta|_2^2=2 \lambda \theta_k$.

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. Model Complexity and Regularization


到目前为止,我们已经模糊地讨论了一个模型“太复杂”(或太简单)的含义,并建议我们应该选择一个模型,它足够复杂来拟合数据,但又足够简单到不会过拟合。这一观点通常被称为奥卡姆剃刀,这是一种哲学原理,它指出在解释某种现象的几种备选假设中,人们应该倾向于选择最简单的假设


然而,为了使这些概念有用,我们必须精确地理解模型“复杂”的含义。我们希望根据参数$\theta$来定义复杂性,这样给定固定的特征和标签集,我们可以选择充分解释(或建模)数据的“最简单的”$\theta$。
我们将讨论“简单性”的两个候选概念如下:
(i)一个简单模型是一个只包含少数项的模型,也就是说,其中只有少数值$\theta_k$是非零。
(ii)一个简单模型是一个所有项都同等重要的模型,也就是说,其中$\theta_k$特别大的值是罕见的

$$
\begin{aligned}
&\Omega_1(\theta)=|\theta|_1=\sum_k\left|\theta_k\right|, \
&\Omega_2(\theta)=|\theta|_2^2=\sum_k \theta_k^2,
\end{aligned}
$$
即绝对值和平方和的和,也称为$\theta$的$\ell_1$和(平方)$\ell_2$规范。我们没有证据表明这些表达式会惩罚具有许多非零参数(eq.(3.29))或大参数(eq.(3.30))的模型,尽管我们稍后会进一步描述它们的行为

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为了拟合一个模型,同时解释数据,但不是太复杂(对应于我们上面的目标),我们写下一个新目标,它结合了我们原来的精度目标和上面的复杂度表达式之一(在这种情况下,平方$\ell_2$范数)。对于一个回归模型,我们在式(2.16)的表达式中添加正则化器:
$$
\underbrace{\frac{1}{|y|} \sum_{i=1}^{|y|}\left(x_i \cdot \theta-y_i\right)^2}{\text {accuracy }}+\underbrace{\sum_k \theta_k^2}{\text {model complexity } |\left.\theta\right|2 ^2} . $$对于一个分类模型,我们减去正则化器,因为我们寻求最大化的精度而不是最小化的错误(所以我们最大化$-\lambda|\theta|_2^2$而不是最小化$\lambda|\theta|_2^2$): $$ \sum_i-\log \left(1+e^{-x_i \cdot \theta}\right)+\sum{y_i=0}-x_i \cdot \theta-\lambda|\theta|_2^2 .
$$
这个过程——我们在控制模型的复杂度中添加一个惩罚项——被称为正则化;参数$\lambda$控制复杂性的惩罚程度,被称为正则化参数


注意,我们可以直接改编导数(从等式。(2.54)和(3.9))来包含正则化项$\lambda|\theta|_2^2$,注意$\frac{\partial}{\partial \theta_k}$$\lambda|\theta|_2^2=2 \lambda \theta_k$ . .

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