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经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|Bringing in the firm

We now need to solve for the path of investment and output. But we have done that already, when we solved the problem of the firm. We know that the firm’s behaviour can be summarised by the initial condition $k_0>0$, plus the pair of differential equations
$$
k_t=\chi\left(q_t-1\right) k_t .
$$
and
$$
\dot{q}_t=r q_t-A f^{\prime}\left(k_t\right)-\frac{1}{2} \chi\left(q_t-1\right)^2 .
$$
Recall that (13.37) and (13.38) are a system of two differential equations in two unknowns, which can be solved independently of the other equations in the system.
Recall also that profits are defined as
$$
\pi_t=A f\left(k_t\right)-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)-\dot{k}_t .
$$

  • Once we have a solution (13.37) and (13.38), we know what $k_t, \dot{k}_t, q_t$ and $\dot{q}_t$ are.
  • With that information in hand, we can use (13.39) to figure out what the whole path for profits $\pi_t$ will be.
  • Knowing that, we can use equation (13.36) to solve for consumption levels.
  • Knowing output levels $A f\left(k_t\right)$, investment rates $\dot{k}_t$, and consumption levels $c_0$, we can use this information plus the budget constraint (13.31) to figure out what the current account $\dot{b}_t$ is and, therefore, the path of bond-holdings $b_t$.

经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|The surprising effects of productivity shocks

Suppose again that, starting at this steady state, the productivity parameter $A$ falls to a lower permanent level $A^{\prime}<A$. To make life simpler, suppose that initially bond-holdings are zero $\left(b_0=0\right)$.

Focus first on the evolution of the capital stock $k_t$ and its price $q_t$, shown in Figure 13.3. The drop in $A$ shifts the $\dot{q}=0$ schedule to the left. The other locus is unaffected. The steady state of the economy also moves left. The new steady state capital stock is $k^{* \prime}<k^*$.

At time zero, $q$ falls on impact all the way to the saddle path that goes through the new steady state. Over time the system moves along the new saddle path until it reaches the new steady state. Along this trajectory the rate of investment is negative, eventually hitting $\dot{k}_t=0$ as the economy lands on the new steady state.

Notice that net output, defined as $y_t-\dot{k}_t-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)$, may either go up or down initially, depending on whether the fall in gross output $y_t$ is larger or smaller than the change in costs associated with the decline in investment. Over the long run, however, the effect is unambiguous: Net output is lower, since gross output falls and investment tends to zero. Figure $13.4$ shows net output falling initially, and then declining further to its new steady state level.
The level of consumption is constant and given by
$$
c_0^{\prime}=r \int_0^{\infty}\left(A^{\prime} f\left(k_t\right)-\dot{k}_t-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)\right) e^{-r t} d t<c_0 \quad t \geq 0 .
$$
Graphically (in terms of Figure 13.4), consumption is determined by the condition that the thatched areas above and below it be equal in present value.

What about the current account? Since initial bonds are zero, having consumption below net output (see Figure 13.4) must imply that the economy is initially running a current account surplus, saving in anticipation of the lower output in the future. In the new steady state, the net foreign asset position of the economy is that of a creditor: $b^{* \prime}>0$ and the current account goes back to zero.

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经济代写|宏观经济学代写宏观经济学代考|引入公司


我们现在需要解出投资和产出的路径。但当我们解决公司的问题时,我们已经做到了。我们知道,公司的行为可以用初始条件$k_0>0$,加上一对微分方程
$$
k_t=\chi\left(q_t-1\right) k_t .
$$

$$
\dot{q}_t=r q_t-A f^{\prime}\left(k_t\right)-\frac{1}{2} \chi\left(q_t-1\right)^2 .
$$
来总结,回想一下(13.37)和(13.38)是两个未知量的两个微分方程的系统,它们可以独立于系统中的其他方程来求解。还记得利润被定义为
$$
\pi_t=A f\left(k_t\right)-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)-\dot{k}_t .
$$


一旦我们有了一个解(13.37)和(13.38),我们就知道$k_t, \dot{k}_t, q_t$和$\dot{q}_t$是什么了。有了这些信息,我们可以用(13.39)来计算利润$\pi_t$的整个路径。知道了这些,我们可以用(13.36)式来求解消费水平。知道了产出水平$A f\left(k_t\right)$,投资率$\dot{k}_t$和消费水平$c_0$,我们可以利用这些信息加上预算约束(13.31)来计算出经常账户$\dot{b}_t$是什么,从而计算出债券持有路径$b_t$

经济代写|宏观经济学代写宏观经济学代考|生产率冲击的惊人影响


再次假设,从这个稳定状态开始,生产力参数$A$下降到一个较低的永久水平$A^{\prime}<A$。为了简化问题,假设最初的债券持有为零$\left(b_0=0\right)$ .


首先关注资本存量$k_t$及其价格$q_t$的演变,如图13.3所示。$A$中的下降将$\dot{q}=0$调度向左移动。另一个位点不受影响。稳定的经济状况也向左转。新的稳定资本存量为$k^{* \prime}<k^*$。

在时间零点,$q$在撞击中一直下落到经过新的稳态的鞍形路径。随着时间的推移,系统沿着新的鞍形路径移动,直到达到新的稳态。沿着这条轨迹,投资率为负,随着经济进入新的稳定状态,投资率最终达到$\dot{k}_t=0$


请注意,净产出,定义为$y_t-\dot{k}_t-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)$,最初可能上升或下降,取决于总产值$y_t$的下降是大于还是小于与投资下降相关的成本变化。然而,从长期来看,其影响是明确的:净产出下降,因为总产出下降,投资趋于零。图$13.4$显示净产出开始下降,然后进一步下降到新的稳定水平。
消费水平是恒定的,由
$$
c_0^{\prime}=r \int_0^{\infty}\left(A^{\prime} f\left(k_t\right)-\dot{k}_t-\psi\left(\dot{k}_t, k_t\right)\right) e^{-r t} d t<c_0 \quad t \geq 0 .
$$
给出,从图形上看(如图13.4所示),消费是由上面和下面的茅草面积的现值相等的条件决定的

往来账户呢?由于初始债券为零,消费低于净产出(见图13.4)必然意味着经济最初运行经常账户盈余,储蓄是预期未来产出下降。在新的稳定状态下,经济的净外国资产头寸是一个债权人的头寸:$b^{* \prime}>0$,经常账户回到零

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