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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Exercise Set
Exercise 2.8.1 (Easy)
Calculate the following integral:
$$
\int_{-2}^3 x^4 d x
$$
first by the trapezoidal method, then Simpson’s method, and finally Gauss-Legendre quadrature with 3 points ( $n=2$ ), by using in the three cases the bounds of the integration interval as calculation interval. Comment.
Exercise 2.8.2 (Easy)
The error function $\operatorname{erf}(x)$ is defined by
$$
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \exp \left(-t^2\right) d t=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{+\infty} \exp \left(-t^2\right) d t
$$
- Using Gauss-Legendre quadrature with 4 points, give an approximation of both integrals for $x=1$. For the calculation of the second integral, it will be useful to think about the choice of the bound to use to replace $+\infty$ and the influence of the value of the term $\exp \left(-t^2\right)$. It may be useful to make a few trials to better understand this influence. Discuss the results thus obtained. Deduce an approximation of $\operatorname{erf}(x)$.
- Do the same estimation with the first integral by Simpson’s method with a step $h=0.1$. Compare the result thus obtained.
Remark: The error function is used in many problems of physics. Consider a solid plate where the one-dimensional heat transfer is ruled by Fourier’s law
$$
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}
$$
subjected to a constant temperature at the interface $T(x=0, t)=T_s$. Let $T(x, t=0)=$ $T_0$ he the initial temperature. The temperature along time (Incropera and DeWitt 1996) is expressed as
$$
\frac{T(x, t)-T_s}{T_0-T_s}=\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{\alpha t}}\right)
$$ where α is the thermal diffusivity.
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Equation Solving by Iterative Methods
The problem is to develop adequate methods to find the solutions of the general equation
$$
f(x)=0
$$
The roots will be noted $\alpha_i$. In a given number of cases, $f(x)$ will be supposed to be a polynomial of degree $n$
$$
f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x^1+a_n
$$
but some methods are applicable to any type of function.
There exist four main classes of methods (Gritton et al. 2001) to find the roots of a nonlinear equation of the form
$$
f(x)=0
$$
- Local methods that require an initial estimation of the root (e.g. successive substitutions, Newton). Frequently, local methods are designed to search for only one real root of the nonlinear equation, even if multiple roots exist. Nevertheless, they are often very robust and nearly always converge (e.g. Newton, quasi-Newton), but they present the drawback to need to provide an initial estimation sufficiently close to the root.
- Global methods that find a root from an arbitrary initial value (e.g. homotopy). They are adapted to the search of multiple roots.
- Interval methods that find all the roots in a specified domain of $x$ (e.g. dichotomy, regula falsi). They are robust but slow.
- Graphical methods or spreadsheet that uses a graphical view of $f(x)$ in a specified domain of $x$.
Some of the methods presented below (Graeffe, Bernoulli, Bairstow) are more interesting from a mathematical point of view than for real applications, but they present a historical interest and their exposure may promote future ideas.
最优化代考
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|习题集
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练习2.8.1(简单)
计算以下积分:
$$
\int_{-2}^3 x^4 d x
$$
先用梯形法，再用Simpson法，最后用三点高斯- legendre积分法($n=2$)，三种情况下都以积分区间的边界作为计算区间。评论。错误函数$\operatorname{erf}(x)$由
$$
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \exp \left(-t^2\right) d t=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{+\infty} \exp \left(-t^2\right) d t
$$
定义
使用4点高斯-勒让德积分，给出两个积分的近似值 $x=1$。对于第二个积分的计算，考虑一下用什么边界来替换是很有用的 $+\infty$ 和影响价值的术语 $\exp \left(-t^2\right)$。做一些试验来更好地理解这种影响可能是有用的。讨论由此得到的结果。推导出近似 $\operatorname{erf}(x)$， 对第一个积分用Simpson的方法做同样的估计 $h=0.1$。
注:误差函数在许多物理问题中被使用。考虑一个固体板，其一维传热受傅里叶定律
$$
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}
$$
支配，在界面$T(x=0, t)=T_s$处受恒定温度的影响。让$T(x, t=0)=$$T_0$他的初始温度。随时间变化的温度(Incropera和DeWitt 1996)表示为
$$
\frac{T(x, t)-T_s}{T_0-T_s}=\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{\alpha t}}\right)
$$，其中α为热扩散率
数学代写|最优化作业代写优化理论代考|方程迭代解法
问题是发展足够的方法来找到一般方程的解
$$
f(x)=0
$$
根将被注意$\alpha_i$。在一定的情况下，$f(x)$应该是一个$n$
$$
f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x^1+a_n
$$
的多项式，但有些方法适用于任何类型的函数。有四种主要的方法(greton et al. 2001)来寻找形式为
$$
f(x)=0
$$ 的非线性方程的根
- 需要对根进行初始估计的局部方法(例如，连续替换，Newton)。通常，局部方法被设计为只搜索非线性方程的一个实根，即使存在多个根。尽管如此，它们通常是非常稳健的，并且几乎总是收敛的(例如牛顿，准牛顿)，但它们的缺点是需要提供一个足够接近根的初始估计。
- 从任意初始值查找根的全局方法(例如同伦)。它们适应于多根搜索。
- 在$x$的指定域中找到所有根的区间方法(例如二分法，regula falsi)。它们强壮但缓慢。
- 在$x$的指定域中使用$f(x)$的图形视图的图形方法或电子表格下面介绍的一些方法(Graeffe, Bernoulli, Bairstow)从数学角度看比从实际应用来看更有趣，但它们具有历史意义，它们的曝光可能促进未来的想法
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