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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Method of Successive Substitutions

Thẻ methood of successsivé substitutions can bé āppliéd tó any typé of function. Thé original equation
$$
f(x)=0
$$
is written under the modified form
$$
x=F(x)
$$
Supposing that $\alpha$ is a root of Equation (3.7.2), $\alpha$ is called a fixed point of $F$ and the method is also named as fixed point iteration method (Burden and Faires 2011; Fortin 2008).
We use the recurrence relation
$$
x_{i+1}=F\left(x_i\right)
$$
hoping that the sequence $x_i$ converges to the desired solution $\alpha$ of the equation. Cauchy’s criterion is applicable:
A sequence $u_i$ of $R^n$ converges $\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)$ such that $\forall j, k>N(\epsilon), | u_j-$ $u_k |<\epsilon$

Take a given point $\alpha$ of $F$. For any vector $x_0$ taken in the neighborhood on $\mathcal{N}(\alpha)$, suppose that an inequality of the form
$$
\left|x_{i+1}-\alpha\right| \leq C\left|x_i-\alpha\right|^p
$$
is verified $\forall i$, with $0<C<1$ if $p=1$. In this case, the iteration method defined by $F$ is said to be a convergent method of order at least $p$ to determine $\alpha$. Any method of order $p$ to determine $\alpha$ is locally convergent (on $\mathcal{N}(\alpha)$ ). If $\mathcal{N}(\alpha)$ extends to $\mathcal{R}^n$, the method is globally convergent.
Let us reason on $\mathcal{R}, \alpha$ is such that $\alpha=F(\alpha)$. Suppose that we can write
$$
|F(x)-F(\alpha)| \leq C|x-\alpha|
$$
when $|x-\alpha| \leq\left|x_1-\alpha\right|$. It results
$$
\left|x_2-\alpha\right|=\left|F\left(x_1\right)-\alpha\right|=\left|F\left(x_1\right)-F(\alpha)\right| \leq C\left|x_1-\alpha\right|
$$
by iterating
$$
\left|x_3-\alpha\right|=\left|F\left(x_2\right)-\alpha\right| \leq C\left|x_2-\alpha\right| \leq C^2\left|x_1-\alpha\right|
$$
and in general
$$
\left|x_i-\alpha\right| \leq C^{i-1}\left|x_1-\alpha\right|
$$
hence
$$
\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=\alpha
$$
provided that $0 \leq C<1$.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Newton’s Method

Newton’s method can be applied to functions of a real variable as well as to functions of a complex variable.

Consider a second degree Taylor polynomial for the function $f$ at point $\alpha$, sought solution, belonging to the neighborhood of a given point $x$
$$
f(\alpha)=f(x)+(\alpha-x) f^{\prime}(x)+\frac{1}{2}(\alpha-x)^2 f^{\prime \prime}(x)+\frac{1}{3 !}(\alpha-x)^3 f^{(3)}(\xi), \quad \xi \text { between } x \text { and } \alpha
$$
We know that $f(\alpha)=0$. If the series expansion is truncated at first order, it gives $$
f(x)=(x-\hat{\alpha}) f^{\prime}(x) \quad \text { or } \hat{\alpha}=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$
where $\hat{\alpha}$ is an estimation of the root $\alpha$. This requires that $f^{\prime}(\alpha) \neq 0$, i.e. $\alpha$ is not a multiple root of $f(x)=0$.
Newton’s iterative formula results
$$
x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime}\left(x_k\right)}
$$
Thus, this formula amounts to drawing the tangent line to the curve $f(x)$ at the point of abscissa $x_k$ (Figure 3.6). Its intersection with the $x$-axis is equal to $x_{k+1}$.

Using the framework of the method of successive substitutions (Section 3.7) and setting
$$
F(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$
Newton’s method can be considered as a fixed point method.

最优化代考

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|连续替换法

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Thẻ方法的successsivé替换可以bé āppliéd tó任何typé的函数。Thé原方程
$$
f(x)=0
$$
写成修改形式
$$
x=F(x)
$$
设$\alpha$是式(3.7.2)的一个根，$\alpha$称为$F$的一个不动点，该方法也称为不动点迭代法(Burden and Faires 2011;Fortin 2008)。
我们使用递归关系
$$
x_{i+1}=F\left(x_i\right)
$$
，希望序列$x_i$收敛于方程的期望解$\alpha$。柯西准则是适用的:
$R^n$的序列$u_i$收敛于$\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N(\epsilon)$，使$\forall j, k>N(\epsilon), | u_j-$$u_k |<\epsilon$

取$F$中的一个给定点$\alpha$。对于$\mathcal{N}(\alpha)$附近的任何向量$x_0$，假设一个形式为
$$
\left|x_{i+1}-\alpha\right| \leq C\left|x_i-\alpha\right|^p
$$
的不等式被验证为$\forall i$，如果$p=1$则验证为$0<C<1$。在本例中，$F$定义的迭代方法被认为是一个至少为$p$的收敛方法来确定$\alpha$。为$p$排序以确定$\alpha$的任何方法都是本地收敛的(在$\mathcal{N}(\alpha)$上)。如果$\mathcal{N}(\alpha)$扩展到$\mathcal{R}^n$，则该方法全局收敛。
让我们推论$\mathcal{R}, \alpha$是这样的$\alpha=F(\alpha)$。假设我们可以写
$$
|F(x)-F(\alpha)| \leq C|x-\alpha|
$$
当$|x-\alpha| \leq\left|x_1-\alpha\right|$。它的结果是
$$
\left|x_2-\alpha\right|=\left|F\left(x_1\right)-\alpha\right|=\left|F\left(x_1\right)-F(\alpha)\right| \leq C\left|x_1-\alpha\right|
$$
，通过迭代
$$
\left|x_3-\alpha\right|=\left|F\left(x_2\right)-\alpha\right| \leq C\left|x_2-\alpha\right| \leq C^2\left|x_1-\alpha\right|
$$
和一般
$$
\left|x_i-\alpha\right| \leq C^{i-1}\left|x_1-\alpha\right|
$$
因此
$$
\lim _{i \rightarrow \infty} x_i=\alpha
$$
，如果$0 \leq C<1$ .

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|牛顿方法

牛顿法既可以应用于实变量函数，也可以应用于复变量函数

考虑函数$f$在点$\alpha$处的二阶泰勒多项式，求解，属于一个给定点的邻域$x$
$$
f(\alpha)=f(x)+(\alpha-x) f^{\prime}(x)+\frac{1}{2}(\alpha-x)^2 f^{\prime \prime}(x)+\frac{1}{3 !}(\alpha-x)^3 f^{(3)}(\xi), \quad \xi \text { between } x \text { and } \alpha
$$
我们知道$f(\alpha)=0$。如果级数展开被一阶截断，则给出$$
f(x)=(x-\hat{\alpha}) f^{\prime}(x) \quad \text { or } \hat{\alpha}=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$
，其中$\hat{\alpha}$是根节点$\alpha$的估计。这要求$f^{\prime}(\alpha) \neq 0$，即$\alpha$不是$f(x)=0$的多重根
牛顿迭代公式的结果
$$
x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime}\left(x_k\right)}
$$
因此，这个公式相当于在$x_k$的横坐标点绘制曲线$f(x)$的切线(图3.6)。它与$x$轴的交点等于$x_{k+1}$。

使用连续替换法的框架(第3.7节)并设置
$$
F(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$
牛顿法可以被认为是不动点法

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