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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Graeffe’s Method

Graeffe’s method is a global method, as it gives a simultaneous approximation of all roots.

Consider a monic polynomial $f$ of type (3.1.2). To $f$, the following adjoint function $\phi$ is associated
$$
\begin{aligned}
\phi(x) &=(-1)^n f(x) f(-x) \
&=\left(x^2-\alpha_1^2\right)\left(x^2-\alpha_2^2\right) \ldots\left(x^2-\alpha_n^2\right),
\end{aligned}
$$
where $\alpha_i$ are the searched roots, ordered by decreasing modulus. As $\phi(x)$ contains only even powers, a new function is defined
$$
f_2(x)=\phi(\sqrt{x})=\left(x-\alpha_1^2\right)\left(x-\alpha_2^2\right) \ldots\left(x-\alpha_n^2\right)
$$
which has the property that its roots are the squares of the roots of $f$. The operation can be repeated, and we obtain a sequence of polynomials $f_2, f_4, f_8 \ldots$ such that
$$
f_m(x)=\left(x-\alpha_1^m\right)\left(x-\alpha_2^m\right) \ldots\left(x-\alpha_n^m\right)
$$
where $m$ is an integer positive of 2 and $f_m$ has roots $\alpha_1^m, \alpha_2^m, \ldots, \alpha_n^m$. The aim of this sequence is to form an equation whose roots have very different orders of magnitude, that is, if the roots are real, the ratios $\left|\alpha_{i-1}^m / \alpha_i^m\right|$ can be made as small as desired when $m$ becomes large.
$f_m(x)$ can be developed
$$
\begin{aligned}
f_m(x) &=x^n-\left(\alpha_1^m+\ldots\right) x^{n-1}+\left(\alpha_1^m \alpha_2^m+\ldots\right) x^{n-2} \
&-\left(\alpha_1^m \alpha_2^m \alpha_3^m+\ldots\right) x^{n-3}+\cdots+(-1)^n\left(\alpha_1^m \alpha_2^m \ldots \alpha_n^m\right) \
&=x^n-A_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^i A_i x^{n-i}+\cdots+(-1)^n A_n
\end{aligned}
$$
the approximations result
$$
\alpha_1^m \doteq A_1, \quad \alpha_2^m \doteq \frac{A_2}{A_1} \quad, \ldots \quad \alpha_n^m \doteq \frac{A_n}{A_{n-1}}
$$
hence an approximation of the absolute values or of the moduli of the searched roots by taking the $m$ th root.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Bernoulli’s Method

Bernoulli’s method to find a root $\alpha_k$ of the polynomial
$$
P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} \quad \text { with } a_0=1
$$
first consists of building a sequence $\left{u_i\right}$ by associating to each monomial $x^{n-k}$ a term $u_{i-k}$ (thus $i \geq n$ ).

To understand the interest of the building of the sequence $u_i$, first consider the fact that the roots $\alpha_i$ of the polynomial $P(x)$ are supposed to be ordered according to their modulus $\left|\alpha_1\right|>\cdots>\left|\alpha_n\right|$.
Express that $\alpha_i$ is a root
$$
\begin{aligned}
&a_0 \alpha_1^n+a_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_1+a_n=0 \
&\vdots \
&a_0 \alpha_n^n+a_1 \alpha_n^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_n+a_n=0
\end{aligned}
$$

Each of the previous equations is then multiplied by an arbitrary coefficient $c_i$, we sum the rows, that is
$$
c_1\left(a_0 \alpha_1^n+a_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_1+a_n\right)+\cdots+c_n\left(a_0 \alpha_n^n+a_1 \alpha_n^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_n+a_n\right)=0
$$
and then we order again with respect to the coefficients $a_i$, i.e.
$$
a_0\left(c_1 \alpha_1^n+\cdots+c_n \alpha_n^n\right)+a_1\left(c_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+c_n \alpha_n^{n-1}\right)+\cdots+a_n\left(c_1+\cdots+c_n\right)=0 \text { (3.3.4) }
$$
We set
$$
u_i=c_1 \alpha_1^i+\cdots+c_n \alpha_n^i, \quad 0 \leq i \leq n
$$
hence
$$
a_0 u_n+a_1 u_{n-1}+\cdots+a_n u_0=0
$$
To simplify the writing, we consider $a_0=1$, hence
$$
u_n=-a_1 u_{n-1}-\cdots-a_n u_0=-\sum_{i=1}^n a_i u_{n-i}
$$
By extension, the sequence is defined
$$
u_i=-\sum_{j=1}^n a_j u_{i-j} \quad \text { for } i \geq n
$$
Thus, it can be seen that to define this sequence, it suffices to arbitrarily choose the real numbers $u_i$ for $0 \leq i<n$. From the form of the solutions $u_i$ previously given
$$
u_i=c_1 \alpha_1^i+\cdots+c_n \alpha_n^i, \quad 0 \leq i \leq n-1
$$
a system of $n$ equations with $n$ unknowns $\alpha_j^i$ results (Vandermonde determinant).

最优化代考

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|格拉夫方法

Graeffe方法是一种全局方法，因为它给出了所有根的同时逼近

考虑类型为(3.1.2)的一多项式$f$。对于$f$，下面的伴随函数$\phi$与
$$
\begin{aligned}
\phi(x) &=(-1)^n f(x) f(-x) \
&=\left(x^2-\alpha_1^2\right)\left(x^2-\alpha_2^2\right) \ldots\left(x^2-\alpha_n^2\right),
\end{aligned}
$$
相关联，其中$\alpha_i$是搜索的根，按模数递减排序。由于$\phi(x)$只包含偶数幂，因此定义了一个新函数
$$
f_2(x)=\phi(\sqrt{x})=\left(x-\alpha_1^2\right)\left(x-\alpha_2^2\right) \ldots\left(x-\alpha_n^2\right)
$$
，它的根是$f$的根的平方。该操作可以重复，我们得到一个多项式序列$f_2, f_4, f_8 \ldots$，满足
$$
f_m(x)=\left(x-\alpha_1^m\right)\left(x-\alpha_2^m\right) \ldots\left(x-\alpha_n^m\right)
$$
，其中$m$是2的正整数，$f_m$有根$\alpha_1^m, \alpha_2^m, \ldots, \alpha_n^m$。这个序列的目的是形成一个方程，它的根具有非常不同的数量级，也就是说，如果根是实数，当$m$变大时，比值$\left|\alpha_{i-1}^m / \alpha_i^m\right|$可以取到所需的最小值。
$f_m(x)$可以发展
$$
\begin{aligned}
f_m(x) &=x^n-\left(\alpha_1^m+\ldots\right) x^{n-1}+\left(\alpha_1^m \alpha_2^m+\ldots\right) x^{n-2} \
&-\left(\alpha_1^m \alpha_2^m \alpha_3^m+\ldots\right) x^{n-3}+\cdots+(-1)^n\left(\alpha_1^m \alpha_2^m \ldots \alpha_n^m\right) \
&=x^n-A_1 x^{n-1}+\cdots+(-1)^i A_i x^{n-i}+\cdots+(-1)^n A_n
\end{aligned}
$$
近似结果
$$
\alpha_1^m \doteq A_1, \quad \alpha_2^m \doteq \frac{A_2}{A_1} \quad, \ldots \quad \alpha_n^m \doteq \frac{A_n}{A_{n-1}}
$$
因此是通过求$m$次根的搜索根的绝对值或模的近似

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|伯努利方法

伯努利找到多项式
$$
P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} \quad \text { with } a_0=1
$$
的根$\alpha_k$的方法首先包括通过将一个项$u_{i-k}$关联到每个单项$x^{n-k}$来构建一个序列$\left{u_i\right}$(因此$i \geq n$)

理解序列构建的兴趣 $u_i$，首先考虑根 $\alpha_i$ 多项式的 $P(x)$ 是根据它们的模量排序的吗 $\left|\alpha_1\right|>\cdots>\left|\alpha_n\right|$
表达出来 $\alpha_i$ 根是否
$$
\begin{aligned}
&a_0 \alpha_1^n+a_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_1+a_n=0 \
&\vdots \
&a_0 \alpha_n^n+a_1 \alpha_n^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_n+a_n=0
\end{aligned}
$$ 前面的每个方程乘以一个任意系数 $c_i$，我们对行求和，结果是
$$
c_1\left(a_0 \alpha_1^n+a_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_1+a_n\right)+\cdots+c_n\left(a_0 \alpha_n^n+a_1 \alpha_n^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha_n+a_n\right)=0
$$
然后我们根据系数重新排序 $a_i$，即
$$
a_0\left(c_1 \alpha_1^n+\cdots+c_n \alpha_n^n\right)+a_1\left(c_1 \alpha_1^{n-1}+\cdots+c_n \alpha_n^{n-1}\right)+\cdots+a_n\left(c_1+\cdots+c_n\right)=0 \text { (3.3.4) }
$$
设置
$$
u_i=c_1 \alpha_1^i+\cdots+c_n \alpha_n^i, \quad 0 \leq i \leq n
$$
因此
$$
a_0 u_n+a_1 u_{n-1}+\cdots+a_n u_0=0
$$
为了简化写作，我们考虑 $a_0=1$，因此
$$
u_n=-a_1 u_{n-1}-\cdots-a_n u_0=-\sum_{i=1}^n a_i u_{n-i}
$$通过扩展，该序列被定义为
$$
u_i=-\sum_{j=1}^n a_j u_{i-j} \quad \text { for } i \geq n
$$因此，可以看出，要定义这个序列，任意选择实数就足够了 $u_i$ 为 $0 \leq i<n$。从解的形式 $u_i$ 先前给出
$$
u_i=c_1 \alpha_1^i+\cdots+c_n \alpha_n^i, \quad 0 \leq i \leq n-1
$$
一个系统的 $n$ 带的方程 $n$ 未知数 $\alpha_j^i$ 结果(Vandermonde行列式)。

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