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管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Convexity of PL Functions of a Single Variable
We discuss convexity of PL functions next. As these functions are not differentiable at points where there slopes change, the arguments used in the previous section based on differentiability do not apply.
Result 2.2. Let $\theta(\lambda)$ be a PL function of a single variable $\lambda \in R^1$. Let $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ be the various breakpoints in increasing order where its slope changes. $\theta(\lambda)$ is convex iff at each breakpoint $\lambda_t$ its slope to the right of $\lambda_t$ is strictly greater than its slope to the left of $\lambda_t$; that is, iff its slopes are monotonic increasing with the variable.
Proof. Suppose at a breakpoint $\lambda_t, c_t=$ the slope of $\theta(\lambda)$ to the right of $\lambda_t$ is $\lambda_l$, where its slope is $c_t$. Then the graph of $\theta(\lambda)$ in the neighborhood of $\lambda_t$ will be as shown by the solid line in Fig. 2.5. The chord of the function in the interval $\bar{\lambda} \leq \lambda \leq \tilde{\lambda}$ shown by the dashed line segment is below the function, violating Jensen’s inequality for convex functions. So, $\theta(\lambda)$ cannot be convex.
If the slopes of the function satisfy the condition mentioned in the Result, then it can be verified that every chord lies above the function, establishing its convexity.
The corresponding result for concave functions is: a PL function of one variable is concave iff its slope to the right of every breakpoint is less than its slope to the left of that breakpoint, that is, its slopes are monotonic decreasing with the variable. These results provide a convenient way to check whether a PL function of one variable is convex, or concave, or neither. For example, the PL function in Example $2.1$ has monotonically increaasing slopess, so it is convex. For thé oné in Example 2.2, thé slope is not monotone, so it is neither convex nor concave.
管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|PL Convex and Concave Functions in Several Variables
Let $f(x)$ be a PL function of variables $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$ defined over $R^n$. So, there exists a partition $R^n=\cup_{t=1}^r K_t$, where $K_t$ is a convex polyhedral set for all $t$, the interiors of $K_1, \ldots, K_r$ are mutually disjoint, and $f(x)$ is affine in each $K_t$; that is, we have vectors $c^t$ and constants $c_0^t$ such that
$$
f(x)=c_0^T+c^t x \text { for all } x \in K_t, t=1 \text { to } r .
$$
Checking the convexity of $f(x)$ on $R^n$ is not as simple as in the one-dimensional case (when $n=1$ ), but the following theorem explains how it can be done.
Theorem 2.5. Let $K_1 \cup \ldots \cup K_r$ be a partition of $R^n$ into convex polyhedral regions, and $f(x)$ the PL function defined by the above equation (2.1). Then $f(x)$ is convex iff for each $t=1$ to $r$, and for all $x \in K_t$
$$
c_0^t+c^t x=\operatorname{Maximum}\left{c_0^p+c^p x: \quad p=1, \ldots, r .\right}
$$
In effect, this says that $f(x)$ is convex iff for each $x \in R^n$
$$
f(x)=\text { Maximum }\left{c_0^p+c^p x: p=1, \ldots, r .\right}
$$
Proof. Suppose $f(x)$ satisfies the condition (2.2) stated in the theorem. Let $x^1, x^2 \in$ $R^n$ and $0 \leq \alpha \leq 1$. Suppose
$f\left(x^1\right)=\operatorname{Miximum}\left{c_0^p+c^p x^1: p=1, \ldots, r.\right}=c_0^1+c^1 x^1$,
$f\left(x^2\right)=\operatorname{Maximum}\left{c_0^p+c^p x^2: p=1, \ldots, r.\right}=c_0^2+c^2 x^2$,
and $f\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right)=\max \left{c_0^p+c^p\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right): p=1, \ldots, r\right}$
$f\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right)=\alpha\left(c_0^a+c^a x^1\right)+(1-\alpha)\left(c_0^a+c^a x^2\right)$,
$\leq \alpha\left(c_0^1+c^1 x^1\right)+(1-\alpha)\left(c_0^2+c^2 x^2\right)$
from (2.3), (2.4),
$=\alpha f\left(x^1\right)+(1-\alpha) f\left(x^2\right)$.
As this holds for all $x^1, x^2 \in R^n$ and $0 \leq \alpha \leq 1, f(x)$ is convex by definition. Now suppose that $K_1 \cup \ldots \cup K_r$ is a partition of $R^n$ into convex polyhedral regions, and $f(x)$ the PL function defined by $f(x)=c_0^t+c^t x$ for all $x \in K_t$, $t=1$ to $r$, is convex. Let $\bar{x}$ be any point in $R^n$, suppose $\bar{x} \in K_{p_b}$. Let $x^1 \in$ $K_1, x^2 \in K_2$ be any two points such that $\bar{x}$ is on the line segment $L$ joining them, that is, $\bar{x}=\bar{\lambda} x^1+\left(1-\bar{\lambda} x^2\right)$ for some $0<\bar{\lambda}<1$. For $0 \leq \lambda \leq 1$ let $f\left(\lambda x^1+(1-\lambda) x^2\right)=\theta(\lambda)$.
决策论代考
管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|单变量PL函数的凸性
我们接下来讨论PL函数的凸性。由于这些函数在斜率变化的点上是不可微的，因此前一节中使用的基于可微性的参数不适用
结果设$\theta(\lambda)$是单个变量$\lambda \in R^1$的PL函数。设$\lambda_1, \ldots, \lambda_r$为其斜率变化的各个断点，按递增顺序排列。$\theta(\lambda)$是每个断点$\lambda_t$上的凸iff，它在$\lambda_t$右侧的斜率严格大于其在$\lambda_t$左侧的斜率;也就是说，如果它的斜率随变量单调增加。
证明。假设在断点$\lambda_t, c_t=$处，$\theta(\lambda)$在$\lambda_t$右边的斜率是$\lambda_l$，它的斜率是$c_t$。那么$\theta(\lambda)$在$\lambda_t$附近的图形将如图2.5中的实线所示。虚线段表示的函数在$\bar{\lambda} \leq \lambda \leq \tilde{\lambda}$区间内的弦在函数的下方，违反了凸函数的Jensen不等式。因此，$\theta(\lambda)$不能为凸。
如果函数的斜率满足Result中提到的条件，则可以验证每个弦都位于函数的上方，建立函数的凸性。凹函数的对应结果是:一个变量的PL函数是凹的，如果它在每个断点的右边的斜率小于它在该断点左边的斜率，即它的斜率随变量的增加而单调递减。这些结果提供了一种方便的方法来检查PL函数的一个变量是凸的，还是凹的，或者两者都不是。例如，例$2.1$中的PL函数斜率是单调递增的，所以它是凸的。对于例2.2中的thé oné， thé斜率不是单调的，所以它既不是凸的也不是凹的
管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|PL多变量中的凸和凹函数
. .
设$f(x)$是定义在$R^n$上的变量$x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$的PL函数。因此，存在一个分区$R^n=\cup_{t=1}^r K_t$，其中$K_t$是所有$t$的凸多面体集，$K_1, \ldots, K_r$的内部互不相交，$f(x)$在每个$K_t$中是仿射的;也就是说，我们有向量$c^t$和常数$c_0^t$，使得
$$
f(x)=c_0^T+c^t x \text { for all } x \in K_t, t=1 \text { to } r .
$$
检查$f(x)$在$R^n$上的凸度不像在一维情况下(当$n=1$时)那么简单，但下面的定理解释了它是如何做到的
定理2.5。设$K_1 \cup \ldots \cup K_r$是$R^n$划分为凸多面体区域，$f(x)$为上式(2.1)定义的PL函数。然后$f(x)$对于每个$t=1$到$r$是凸iff，对于所有$x \in K_t$
$$
c_0^t+c^t x=\operatorname{Maximum}\left{c_0^p+c^p x: \quad p=1, \ldots, r .\right}
$$
实际上，这表示$f(x)$对于每个$x \in R^n$
$$
f(x)=\text { Maximum }\left{c_0^p+c^p x: p=1, \ldots, r .\right}
$$
证明是凸iff。假设$f(x)$满足定理中的条件(2.2)。让$x^1, x^2 \in$$R^n$和$0 \leq \alpha \leq 1$。假设
$f\left(x^1\right)=\operatorname{Miximum}\left{c_0^p+c^p x^1: p=1, \ldots, r.\right}=c_0^1+c^1 x^1$，
$f\left(x^2\right)=\operatorname{Maximum}\left{c_0^p+c^p x^2: p=1, \ldots, r.\right}=c_0^2+c^2 x^2$，
和$f\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right)=\max \left{c_0^p+c^p\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right): p=1, \ldots, r\right}$
$f\left(\alpha x^1+(1-\alpha) x^2\right)=\alpha\left(c_0^a+c^a x^1\right)+(1-\alpha)\left(c_0^a+c^a x^2\right)$，
$\leq \alpha\left(c_0^1+c^1 x^1\right)+(1-\alpha)\left(c_0^2+c^2 x^2\right)$
来自(2.3)，(2.4)，
$=\alpha f\left(x^1\right)+(1-\alpha) f\left(x^2\right)$ .
因为这对所有都成立$x^1, x^2 \in R^n$和$0 \leq \alpha \leq 1, f(x)$根据定义是凸的。现在假设$K_1 \cup \ldots \cup K_r$是$R^n$的一个凸多面体区域，而$f(x)$由$f(x)=c_0^t+c^t x$定义的PL函数对于所有$x \in K_t$，从$t=1$到$r$，是凸的。设$\bar{x}$是$R^n$中的任意一点，假设$\bar{x} \in K_{p_b}$。设$x^1 \in$$K_1, x^2 \in K_2$为任意两点，使$\bar{x}$在连接它们的$L$线段上，即$\bar{x}=\bar{\lambda} x^1+\left(1-\bar{\lambda} x^2\right)$对应某些$0<\bar{\lambda}<1$。对于$0 \leq \lambda \leq 1$，让$f\left(\lambda x^1+(1-\lambda) x^2\right)=\theta(\lambda)$ .
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